[jeswww]

Alguien me ayuda con este problema, gracias

Sea en \( \Bbb R^n \) el cambio de coordenadas cartesianas \( (x^1,\ldots,x^n) \) a coordenadas \( (\tilde x^1,\ldots,\tilde
 x^n) \) dado por:

\( \begin{cases}{x^1=\tilde x^n}\\{x^2=\tilde x^{n-1}}\\{x^3=\tilde x^{n-2}}\\\vdots \\{x^n=\tilde x^{n}}\end{cases} \)

(a) Probar que es una transformación de coordenadas o un cambio de coordenadas regular en \( \Bbb R^n \) y obtener (matricialmente) el cambio inverso.

(b) Sea \( T \) un campo tensorial contravariante de orden \( 1 \) con componentes \( T^i \), \( i=1,2,\ldots,n \) respecto al sistema de coordenadas \( (x^1,\ldots,x^n) \), hallar \( \tilde T^1+\tilde T^2+\ldots+\tilde T^n \) en el sistema de coordenadas \( (\tilde x^1,\ldots,\tilde x^n) \). ¿Es \( T^1+T^2+\ldots+T^n \) invariante por este cambio de coordenadas.

(c) Sea \( S \) un campo tensorial mixto de orden \( 2 \) con componentes:

\( S_j^i=x^i-x^j,\quad i,j=1,2,\ldots,n \)

hallar las componentes \( \tilde S_k^k \), \( k=1,\ldots,n \) en el nuevo sistema de coordenadas.

(d) Consideramos el campo tensorial \( V=T\oplus S \). ¿Es posible calcular \( C_1^1(V) \)? ¿Y \( C_2^1(V) \) ó \( C_1^2(V) \)?. En caso de que sea posible calcular la correspondiente contracción, donde las componentes de \( T \) con \( T^i=x^i \), \( i=1,2,\ldots,n \).
Mensaje de la moderación: Aquí tienes un tutorial sobre cómo se inserta una imagen en el foro.

No obstante éstas deben de reservarse para gráficos complementarios.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.[/b][/size]

[Masacroso]

No me queda claro a qué se refiere el punto c) y d). En c) porque si \( S^i_j \) es un componente entonces es una función escalar, pero te dicen que es igual a \( x^i-x^j \) que es un vector. ¿¿?? Luego en d) te dicen que \( V=T\otimes S \), vale, pero luego parece que \( T \) es un tensor en vez de un espacio vectorial. No entiendo nada, la notación me resulta sumamente confusa.

Luego para el a) (según entiendo, aunque ya con esa notación no estoy totalmente seguro) se trataría de demostrar que la matriz \( M \) tal que \( M\tilde x^k=x^k \) es invertible, sabiendo que \( \tilde x^k=x^{n-k+1} \), lo cual es trivial ya que \( M \) sería simplemente una permutación de los elementos \( x^1,\ldots ,x^n \).

El b) sería más o menos lo mismo, al ser un tensor contravariante de orden uno, si he entendido bien la notación (lo cual posiblemente no sea así) tienes \( T=\sum_{k=1}^n T^k x_k \) (ahí en el ejercicio ponen \( x^k \) en vez de \( x_k \), lo cual es confuso tratándose de vectores, no covectores). Al margen de eso tienes que \( x^k=\tilde x^{n-k+1} \), de donde se deduce que \( \tilde T^k=T^{n-k+1} \) y por tanto \( \sum_{k=1}^n T^k=\sum_{k=1}^n \tilde T^k \), ya que en definitiva \( T \) tiene los mismos componentes, aunque cambiados de orden, en cada una de las bases.

Igualmente, como digo, tengo dudas en que mi interpretación sea la correcta porque la notación se me hace extraña.

Actualización: ok, dicen que \( V \) es un campo tensorial... Me he dejado llevar por la costumbre de denotar a un espacio vectorial como \( V \). Entonces una interpretación (muy aventurada por cierto) que puedo hacer para c) y d) es la siguiente: que \( S=S^i_j x_i\otimes x^j \) y \( T=T^kx_k \), por tanto \( V=T^kS^i_j x_k\otimes x_i\otimes x^j \), usando la notación de Einstein, y te piden las contracciones de, en primer lugar los \( x_k \) con los \( x^j \) y en segundo de los \( x_i \) con los \( x^j \). Como asumimos que \( x^j \) es la base dual de los \( x_j \) entonces tendríamos que

\( \displaystyle{
C^1_1(V)=T^kS^i_k x_i,\quad C^2_1(V)=T^kS^j_j x_k
} \)

usando la notación de Einstein. Pero como digo, esto son interpretaciones que hago con la notación dada, no me queda del todo claro.