Hola

Cita de: danizafa en Hoy a las 08:22 pm

La clave en tu respuesta es el "puede",

Ya que para que esté completo el producto, debes reconocer que existe un \( 1\cdot \)

¿Por qué?Esa afirmación es completamente arbitraria. ¿Acaso es falso que \( 8=2\cdot 2\cdot 2 \)?.

También es cierto que \( 8=2\cdot 2\cdot 2\cdot 1 \) si; y también que tex]8=2\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1[/tex], por ejemplo...

Y simplemente yo lo que digo es que si el uno no se considera primo, la ÚNICA forma de escribir \( 8 \) como producto de primos es \( 8=2\cdot 2\cdot 2 \). Pero si se considera el uno como primo hay muchas formas (de hecho infinitas) de escribir \( 8 \) como producto de primos \( 8=2\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot \ldots \) con tantos unos como queramos.

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y con eso se soluciona un problema que tiene el teorema... Ya que el Teorema excluye del rango al 1... El 1 no es Primo ni es no primo...

No, no. Con las definiciones usuales es \( 1 \) no es primo (nada de que es primo no ni no primo). Y realmente con los convenios usuales el Teorema Fundamental de la Aritmética puede enunciarse así: todo número entero positivo \( n \) se descompone de manera única (salvo orden) en producto de primos \( \displaystyle\prod_{I}p_i \)  (\( p_i \) primos, \( I \) finito).

¿Por qué encaja con el \( 1 \)? Por que el uno se pondría como producto de un conjunto vacío de primos y el convenio al manejar productos es que si no se multiplica "nada", el resultado es el neutro del producto: el \( 1 \). Pero a lo mejor esto te lía más...

También encaja con los números primos, que tendrían un sólo factor primo, porque el convenio para un producto es que si se multiplica un sólo número el resultado es ese número.

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Pero todo número tiene implícito en ese producto de primos, un factor que es 1. El hecho de que no sea escrito es otra cosa, pero cuando reconocen al 1 como divisor propio, están reconociendo ese factor que no escribieron... Pero para el teoréma el 1 no existe...

El Teorema Fundamental de la Arimética, no dice nada en contra de la existencia del \( 1 \); no se de donde sacas eso. Ya ye he explicado lo que dice, y con ejemplos.

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EDITO: La factorización prima implica expresar un número como producto de potencias de números primos siempre reducidos a su mínima expresión... Para que ese producto este completo, debe estar el factor que representa la unidad.

De nuevo esa exigencia marcada en roja es arbitraría: \( 6=2\cdot 3 \) y no hace falta usar el \( 1 \) en esa descomposición.

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Porque luego ese factor lo reconocerás como "divisor propio" incluso de los números primos...

¿Y eso qué tiene que ver? De nuevo eso no tiene nada que ver con el Teorema Fundamental de la Aritmética que versa sobre la descomposición única de los números enteros positivos como producto de primos.

Es más, cuando uno usa esa factorización para escribir todos los divisores de un número, lo hace así (y te pongo un ejemplo):

\( 12=2^2\cdot 3 \)

Entonces todos los divisores de \( 12 \) son los números de la forma:

\( 2^a\cdot 3^b \)

con \( 0\leq a\leq 2 \), \( 0\leq b\leq 1 \). Y eso incluye \( 2^0\cdot 3^0=1 \).

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Si me dices que no puedo escribirlo de esa manera 3 = 3 x 1, porque el 1 no es primo...Tendrias que decirme que el 1 no existe...

Es que te lo he dicho en mi primera respuesta y vuelvo a repetírtelo. Yo no digo que no puedas escribirlo de esa forma. ¡Claro que puedes!.

Puedes escribir \( 3=3\cdot 1=3\cdot 1\cdot 1=3\cdot 1\cdot 1\cdot 1 \) y en fin, muchas otras opciones. Nadie dice que eso está mal.

Simplemente que con el convenio usual (que no considera al \( 1 \) primo) de todas esas formas de escribir \( 3 \) la única forma de hacerlo como producto de primos es \( 3=3 \).

¡Qué tendrá que ver eso con la exitencia o no del uno!.

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De lo contrario tengo dos formas de escribir el mismo producto con los números primos...

Ahí das en el clavo  (pero no se si te das cuenta de que eso es precisamente un argumento a favor de considerar al uno NO primo).

Es decir si considerases al uno primo, efectivamente, tendrías no dos, sino infinitas formas de escribir el \( 3 \) como producto de primos \( 3=3\cdot 1=3\cdot 1\cdot 1=3\cdot 1\cdot 1\cdot 1 \).

Sin embargo si el uno NO es primo, la descomposición de un número en producto de primos ahora si es única.

Saludos.

Cita de: danizafa en Hoy a las 08:22 pm

Cita de: Luis Fuentes en Hoy a las 08:11 pm

Hola

Cita de: danizafa en Hoy a las 08:05 pm

Fernando Revilla explicame esto por favor.

 "el teorema fundamental de la aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un único producto de números primos."

Sin embargo, cuando deben sacar los divisores propios reconocen este producto:

N = N x 1

Entonces, todos los números están formados por un producto que tiene un factor que no es número primo. Lo que si resulta en un contraejemplo válido.

Es que eso no contradice el Teorema Fundamental de la Aritmetica. Éste dice que todo número entero positivo mayor que \( 1 \) o es primo o puede ponerse de manera única como producto de primos. Por ejemplo:

\( 2=2 \)
\( 3=3 \)
\( 4=2\cdot 2 \)
\( 5=5 \)
\( 6=2\cdot 3 \)
\( 7=7 \)
\( 8=2\cdot 2\cdot 2 \)

\( 12=2\cdot 2\cdot 3 \)

Estas descomposiciones como producto de primos son únicas; por ejemplo no hay otra manera de escribir \( 12 \) como producto de números primos que no sea \( 2\cdot 2\cdot 3 \) (salvo cambio de orden, es decir, podríamos poner \( 2\cdot 3\cdot 2 \) pero son los mismos primos).

Ahora eso no impide que los números puedan descomponerse de otras formas como producto de números que ya no tienen porque ser primos. Por ejemplo:

\( 12=6\cdot 2=3\cdot 4=12\cdot 1=12\cdot 1\cdot 1 \)

Saludos.

\( 2=2\cdot 1 \)
\( 3=3\cdot 1 \)
\( 4=2\cdot 2 \)
\( 5=5\cdot 1 \)
\( 6=2\cdot 3\cdot 1 \)
\( 7=7\cdot 1 \)
\( 8=2\cdot 2\cdot 2\cdot 1 \)


La clave en tu respuesta es el "puede",

Ya que para que esté completo el producto, debes reconocer que existe un \( 1\cdot \)

y con eso se soluciona un problema que tiene el teorema... Ya que el Teorema excluye del rango al 1... El 1 no es Primo ni es no primo... Pero todo número tiene implícito en ese producto de primos, un factor que es 1. El hecho de que no sea escrito es otra cosa, pero cuando reconocen al 1 como divisor propio, están reconociendo ese factor que no escribieron... Pero para el teoréma el 1 no existe...

Si tu trabajas con Números Naturales, no invocas un número negativo...

EDITO: La factorización prima implica expresar un número como producto de potencias de números primos siempre reducidos a su mínima expresión... Para que ese producto este completo, debe estar el factor que representa la unidad. Porque luego ese factor lo reconocerás como "divisor propio" incluso de los números primos... Entonces forma parte del producto que conforma su expresion mínima como potencia de números primos...


Si me dices que no puedo escribirlo de esa manera 3 = 3 x 1, porque el 1 no es primo... Tendrias que decirme que el 1 no existe... De lo contrario tengo dos formas de escribir el mismo producto con los números primos... Y al no haber números que sean compuestos está en su mínima expresión... Y es que de todas maneras el factor "x1" es tácito en tu igualdad... Lo reconoces de todas maneras... y encima luego lo usas...

En realidad cualquier número natural, como el $$3$$ por ejemplo, es $$3=3·1^i=3·1·1·1·1·...$$, siendo $$i$$ un natural cualquiera. Con lo cual podríamos entonces decir que todo número natural tiene infinitos factores, es decir, tantos factores como queramos.

Como ves, es mejor dejar el 1 como elemento neutro. Y con ello definir "número primo" como aquel número natural que sólo es divisible por $$1$$ y por él mismo.

Pero esto no es algo que sea cierto o falso, es una clasificación completamente arbitraria y conveniente nuestra. Lo asumimos porque nos gusta lo que nos permite hacer.

Como ves, es mejor dejar el 1 como elemento neutro. Y con ello definir "número primo" como aquel número natural que sólo es divisible por 1 y por él mismo.

N = N x 1

N = N x 1

Fernando Revilla explicame esto por favor.

 "el teorema fundamental de la aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un único producto de números primos."

Sin embargo, cuando deben sacar los divisores propios reconocen este producto:

N = N x 1

Entonces, todos los números están formados por un producto que tiene un factor que no es número primo. Lo que si resulta en un contraejemplo válido.