[Setibs]

Buenas, necesito calcular el volumen de un sólido limitado por el plano, el cilindro y el cono:

\(
\displaystyle z= 0   \quad\quad   x^2+y^2=2x   \quad\quad   z=\sqrt{x^2+y^2}
 \)

Dado que:

\(
\displaystyle r^2=x^2+y^2   \quad\quad   x=r\cos\theta  \quad \quad   y=r\sin\theta
 \)

tenemos, por un lado:

\(
\displaystyle r^2=2r\cos\theta  \quad \textrm{luego} \quad r(r-2\cos\theta)=0 \quad \textrm{luego} \quad 0\leq r\leq 2\cos\theta \quad \textrm{y} \quad 0\leq \theta \leq 2\pi
 \)

y por el otro:

\(
\displaystyle z=\sqrt{r^2} \quad \textrm{luego} \quad z= r
 \)

Integrando, tenemos:

\(
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\cos\theta}rrdrd\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\cos\theta}r^2drd\theta=
\int_{0}^{2\pi}\frac{r^3}{3}\Big|_0^{2\cos\theta} d\theta= \frac{8}{3}\int_{0}^{2\pi}cos^3\theta d\theta = \frac{8}{3}(\sin\theta-\frac{sin^3\theta}{3})\Big|_0^{2\pi}= 0
 \)

No consigo entender qué estoy haciendo mal y por qué me da 0.

[ani_pascual]

Hola:

...
No consigo entender qué estoy haciendo mal y por qué me da 0.

Quizás una parametrización de la región sobre la que se integra sea \( D: \left\{\begin{array}{l}x=1+r\cos\theta\\y=r\sen\theta\end{array}\right. \hspace{1cm}0\leq \theta \leq 2\pi, \,\,0\leq r\leq 1 \)
Saludos

[Setibs]

Perdón, pero no consigo entender de dónde sale esa parametrización

[ani_pascual]

Hola:

Perdón, pero no consigo entender de dónde sale esa parametrización

La ecuación del cilindro se puede poner así: \( (x-1)^2+y^2=1^2 \); se ve que su eje es la recta \( \left\{\begin{array}{l}x=1\\y=0\\z=\lambda \end{array}\right.\hspace{1cm}\lambda\in\mathbb{R} \). Su intersección con el plano \( z=0 \) es la región \( D \), es decir, un círculo centrado en el punto \( (1,0,0) \) y de radio \( 1 \).

Así, un punto \( P(x,y,z) \) arbitrario de dicho círculo se puede expresar como \( \left\{\begin{array}{l}x=1+r\cos\theta\\y=r\sen\theta\\z=0 \end{array}\right. \) para algunos valores \( 0\leq r\leq 1,0\leq\theta\leq 2\pi \)

Saludos

[ani_pascual]

\(
\displaystyle r^2=2r\cos\theta  \quad \textrm{luego} \quad r(r-2\cos\theta)=0 \quad \textrm{luego} \quad 0\leq r\leq 2\cos\theta \quad \textrm{y} \quad \textcolor{red}{0\leq \theta \leq 2\pi}
 \)
...

No consigo entender qué estoy haciendo mal y por qué me da 0.

Si usas la parametrización \( \left\{\begin{array}{l}x=r\cos\theta \\y=r\sen\theta\end{array}\right. \), y haces variar \( 0\leq r\leq 2\cos\theta \) entonces te sugiero hacer \( \dfrac{-\pi}{2}\leq \theta\leq\dfrac{\pi}{2} \)
Saludos

[Setibs]

Hola:

Perdón, pero no consigo entender de dónde sale esa parametrización

La ecuación del cilindro se puede poner así: \( (x-1)^2+y^2=1^2 \); se ve que su eje es la recta \( \left\{\begin{array}{l}x=1\\y=0\\z=\lambda \end{array}\right.\hspace{1cm}\lambda\in\mathbb{R} \). Su intersección con el plano \( z=0 \) es la región \( D \), es decir, un círculo centrado en el punto \( (1,0,0) \) y de radio \( 1 \).

Así, un punto \( P(x,y,z) \) arbitrario de dicho círculo se puede expresar como \( \left\{\begin{array}{l}x=1+r\cos\theta\\y=r\sen\theta\\z=0 \end{array}\right. \) para algunos valores \( 0\leq r\leq 1,0\leq\theta\leq 2\pi \)

Saludos

No queda una integral mucho más compleja utilizando esa parametrización?

[Setibs]

\(
\displaystyle r^2=2r\cos\theta  \quad \textrm{luego} \quad r(r-2\cos\theta)=0 \quad \textrm{luego} \quad 0\leq r\leq 2\cos\theta \quad \textrm{y} \quad \textcolor{red}{0\leq \theta \leq 2\pi}
 \)
...

No consigo entender qué estoy haciendo mal y por qué me da 0.

Si usas la parametrización \( \left\{\begin{array}{l}x=r\cos\theta \\y=r\sen\theta\end{array}\right. \), y haces variar \( 0\leq r\leq 2\cos\theta \) entonces te sugiero hacer \( \dfrac{-\pi}{2}\leq \theta\leq\dfrac{\pi}{2} \)
Saludos

Quizás es una pregunta muy básica pero, cómo puedo deducir que debo usar el intervalo \( \dfrac{-\pi}{2}\leq \theta\leq\dfrac{\pi}{2} \) en vez de \( 0\leq \theta\leq 2\pi \)?

He comprendido que si hago \( 0\leq \theta\leq 2\pi \) estaría dando dos vueltas, pero por qué no valdría el intervalo \( 0\leq \theta\leq \pi \)?, dado que al ser \( r=2\cos\theta \) cuando el coseno es negativo \( r \) sería negativa.

[ani_pascual]

Hola:

...
No queda una integral mucho más compleja utilizando esa parametrización?

Así es, por eso creo que es mejor usar la parametrización que has propuesto tú, pero tomando \( \dfrac{-\pi}{2}\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{2} \) y \( 0\leq r\leq 2\cos\theta \), donde es  \( \cos\theta \geq 0 \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

He comprendido que si hago \( 0\leq \theta\leq 2\pi \) estaría dando dos vueltas, pero por qué no valdría el intervalo \( 0\leq \theta\leq \pi \)?, dado que al ser \( r=2\cos\theta \) cuando el coseno es negativo \( r \) sería negativa.

\( r \) no puede ser negativa en las coordenadas cilíndricas. Entonces que  \( r=2\cos\theta\geq 0 \) es lo que restringe el ángulo a los valores en los cuáles el coseno es positivo.

Saludos.