Hola

Me declaro un ignorante en este tema y creo que no puedo aportar nada; no obstante, me parece que del hecho de que el \( 1 \) carezca de divisores propios se podría deducir tanto que la suma de ellos sea \( 0 \) como que sea \( 1 \) o cualquier otro valor. Este asunto me recuerda a un comentario que ha hecho Masacroso en alguno de sus mensajes aludiendo a la verdad vacía. Si el conjunto de divisores propios del \( 1 \) es vacío ¿no se podría sostener que no hay propiedad alguna que no cumplan sus elementos? Es solo una pregunta y un interés en conocer otras opiniones.

Lo que se tiene es que la proposición:

\( x\in \emptyset\quad \Rightarrow{}\quad x \) cumple \( P(x) \)  (*)

es cierta independientemente de la propiedad \( P(x) \) que pongas.

Pero no se muy bien que tiene que ver con este asunto, aquí en todo caso está el matiz de como interpretar:

\( \displaystyle\sum_{a\in A}a \)

Cuando \( A \) es el conjunto vacío.  Asignarle cualquier valor a esa suma no tiene nada que ver con una proposición del tipo (*).

Si \( A \) es el vacío se le suele asignar por definición a ese sumatorio el valor cero; tiene bastante sentido porque uno no está sumando nada y además digamos que las fórmulas que involucran sumatorios suelen funcionar bien con ese convenio. Pero no deja de ser un convenio.

Por ejemplo en el caso de productorios el convenio es que si no se multiplica nada, se le asigne el valor \( 1 \) (el neutro del producto). Y en general si se hace un análogo con cualquier operación de grupo, cuando el conjunto de elementos que opera es vacío el convenio suele ser asignarle como resultado el elemento neutro.

Saludos.

Hola

 Antes de nada dainzafa, Fernando Revilla te está insistiendo mucho en que lo que estás haciendo es cambiar la definición de lo que la comunidad matemática entiende por número perfecto (o divisor propio), y no hay debate al respecto:

- Con las definiciones usuales que se manejan en matemáticas de número perfecto. El \( 1 \) NO es perfecto.


- Tu modificas esas definiciones considerando que el \( 1 \) si es divisor propio de si mismo y entonces \( 1=1 \) y si es perfecto. Bien. Pero en ese caso no es que tu hayas descubierto un número perfecto nuevo; no es que nadie se hubiese dado cuenta hasta ahora de que el \( 1 \) era perfecto, si no que para ti número perfecto es algo sutilmente distinto a lo que la matemática usual llama número perfecto y por eso consideras al uno como tal. ¿De acuerdo en esto?.

 Entonces, el debate ahí no tiene demasiado interés.

 Tendría interés si pudieses probar que no hay números perfectos impares mayores que el \( 1 \) o que dieses un ejemplo de número perfecto impar mayor que \( 1 \)..

 Afirmas que SI has probado que hay números perfectos impares, pero sinceramente no le veo sentido a tu argumento ya te he explicado porqué y no me has contestado explícitamente a mis críticas. Rescato lo que puse al respecto:

Cita de: danizafa en Hoy a las 08:43 am

1- Un número perfecto es un número triangular, lo que es igual a la sumatoria desde k = 1 hasta n de k = n(n+1)/2

Cada uno de esos valores de k es un factor del número perfecto.

desde k = 2 en adelante, es imposible encontrar un número perfecto impar debido a que el 2 es un factor para cualquier número perfecto. Lo que quiere decir que todos los números perfectos son divisibles por 2, por lo que TODOS LOS NÚMEROS PERFECTOS MAYORES A 1, SON PARES.

No acabo de entender lo que haces. En primer lugar está demostrado que todo número perfecto PAR es triangula; pero no se sabe si todo número perfecto impar (en caso de que existiese) es triangular.

En segundo lugar un número triangular es de la forma \( n(n+1)/2 \) y ese cociente en principio pude ser par o impar. Así que incluso usando (sólo) que un número perfecto es triangular de ahí no se deduce que sea impar.

¿Algo qué decir sobre la frase subrayada en rojo?

Además no se de donde sacaste ese concepto de que N tiene que ser igual a la sumatoria de los divisores propios y ademas igual a la productoria de los divisores propios

Efectivamente no sé porqué Richard trajo a colación el productorio porque aquí no influye para nada; no interviene en la definición del número perfecto. Creo que se confundió.

Ese es el camino, no una convención matematicamente aceptada para hacer lo que no pudieron hacer con un razonamiento.

La RAE define:
“Primo: Del lat. primus.
1. adj. primero.
Sin.: primero, inicial.”

Si vas a usar la RAE para revisar la definición de primo mal vamos... Porque primo en matemáticas no significa primero. En ese caso sólo habría un primo, el primer elemento de algún conjunto (si es los enteros positivos el \( 1 \)). Pero eso no tiene nada que ver con la definición matemática de primo: un número primo es un número entero mayor que \( 1 \) que no puede ponerse como producto de dos números enteros positivos distintos del uno; o equivalentemente número entero mayor que uno que sólo es divisible por si mismo y por la unidad; o equivalentemente un número entero positivo que tiene exactamente dos divisiores.

Eso justifica al primer número natural, como el Número Primo por excelencia... Y ahora comproba todo lo que dije antes:

Entonces justificar la consideración de uno como primo por esa definición de la RAE no tiene sentido alguno.

En fin...

Saludos.

P.D. Nadie de burla de ti.

Hola

It does not have a very simplified solution

What about this?

\( \displaystyle \sum^{n}_{k=1}\frac{\binom{n+k}{k}}{\binom{n}{k}}\frac{2k-1}{n+k}=\displaystyle\binom{2n}{n}-1 \)

But, for now I don't know how to prove it

Best regards:

Hola

 danizafa: Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Cumple las mismas condiciones que todos los números perfectos. A saber:

1) Es igual a la suma de sus divisores, sin tener en cuenta a él mismo.

El único divisor del \( 1 \) es el \( 1 \); pero no es un divisor propio, por es "él mismo" como tu dices. Por tanto el \( 1 \) NO tiene divisores propios. Como no tiene divisores propios la suma de ellos es \( 0\neq 1 \) y por tanto el \( 1 \) no es un número perfecto.

4) Además reafirma que el número 1 es el número primo por excelencia

El número uno NO es primo con la definición usual de primo que se usa en matemáticas; otra cosa es que cambies la definición y lo consideres primo. Sea como sea como apunta Fernando un debate sobre este punto sería una pérdida de tiempo: es pura cuestión de nombres y convenio. Si puede decirse algo sobre el porqué de esos convenios, aunque sería otra historia; si te interesa el tema busco algún hilo en el foro donde ya se haya tratado (lo hay, si mal no recuerdo).

1- Un número perfecto es un número triangular, lo que es igual a la sumatoria desde k = 1 hasta n de k = n(n+1)/2

Cada uno de esos valores de k es un factor del número perfecto.

desde k = 2 en adelante, es imposible encontrar un número perfecto impar debido a que el 2 es un factor para cualquier número perfecto. Lo que quiere decir que todos los números perfectos son divisibles por 2, por lo que TODOS LOS NÚMEROS PERFECTOS MAYORES A 1, SON PARES.

No acabo de entender lo que haces. En primer lugar está demostrado que todo número perfecto PAR es triangula; pero no se sabe si todo número perfecto impar (en caso de que existiese) es triangular.

En segundo lugar un número triangular es de la forma \( n(n+1)/2 \) y ese cociente en principio pude ser par o impar. Así que incluso usando (sólo) que un número perfecto es triangular de ahí no se deduce que sea impar.

simplemente queria compartir mis analisis... Pero veo que no son bienvenidos

Eres bienvenido en el foro.

Saludos.

P.D. También podría ser que en la línea que apunta Fernando estés considerando otra definición distinta de número perfecto y con ella \( 1 \) si lo sea. En ese sentido deberías de reflexionar: ¿realmente crees que si con la definición usual el \( 1 \) fuese considerado perfecto la cuestión de la existencia de un número perfecto impar permanecería como un problema abierto? 

Hola

En el conjunto de los números enteros \( Z \) se define la siguiente topología:
\( T=\{{A\subset{Z}/2n\in{A}\Longleftrightarrow{2n-1}\in{A}}, \forall{n\in{Z}}\} \)

No me queda claro cómo se interpretaría esto. Es decir no me queda claro qué característica deben poseer los conjuntos para que en esta topología sean abiertos, porque en la definición dice que la condición de que tanto un número par como su anterior deben pertencer al conjunto, pero "\( \forall{n\in{Z}} \)", lo que hace pensar que el único conjunto que puede cumplir esto sería el propio connjunto de los enteros \( Z \). Leído coloquialmente diría que: "Un subconjunto de los enteros es abierto si contiene a todos los números pares e impares". Porque si se hubiera referido a que \( \exists{n\in{Z}/2n\in{Z}\wedge2n-1\in{Z}} \) no debería aparecer el símbolo de "para todo" y, por ejemplo, el conjunto \( A=\{4;3\} \) sería abierto.
Pero no me queda claro cómo interpretarlo.

Significa que \( T \) está formado por los conjuntos \( A \) que cumplen la siguiente propiedad:

Si \( 2n\in A \) entonces \( 2n-1\in A \)

Es decir si un número par está en \( A \) entonces también está su número impar inmediatamente anterior; pero eso no obliga a que estén todos los pares.

O por oposición: no es abierto el conjunto contiene a un número par pero no a su impar inmediatamente anterior.

Por ejemplo serían abiertos:

\( \emptyset, \{3,4\},\{7\},\{1,3,5,6\},\{11,12,19,20,101,117,119\} \)

(el vacío también; en caso contrario debería de contener un par pero no su impar anterior y no es así simplemente porque no contiene ningún elemento par).

No lo serian:

\( \{1,3,18\},\{6\},\{4,5,6,7,8\},\{12\} \)

Es topología:

1) Claramente el vacío y el total están en \( T \).
2) Si \( A,B\in T \) entonces \( A\cap B\in T \).

Efectivamente, si \( 2n\in A\cap B \), entonces:

- \( 2n\in A \) y como \( A\in T \) entonces \( 2n-1\in A \).
- \( 2n\in B \) y como \( B\in T \) entonces \( 2n-1\in B \).

y por tanto \( 2n-1\in A\cap B \).

3) Si \( \{A_i\}_{i\in I}\subset T \) entonces \( \displaystyle\bigcup_{i\in T}A_i\in T \).

Efectivamente, si \( 2n\in \displaystyle\bigcup_{i\in T}A_i \), entonces \( 2n\in A_{i_0} \) para algún \( i_0\in I \). Como \( A_{i_0}\in T \) entonces \( 2n-1\in A_{i_0} \) y \( 2n-1\in\displaystyle\bigcup_{i\in T}A_i \).

Saludos.

Hola

¿Puede qué aquí también haya erratas similares?

Spoiler

[cerrar]

Similares no, pero ERRORES si.

Está definición está MAL:

\( A=\{u_1;u_2;\ldots;u_n\}\subset V \) es linealmente independiente si \( \vec 0=\alpha_1\cdot u_1+\alpha_2\cdot u_2+\ldots+\alpha_n\cdot u_n \) y \( \exists i:\alpha_i=0 \)

Sería:

\( A=\{u_1;u_2;\ldots;u_n\}\subset V \) es linealmente independiente si

 \( \vec 0=\alpha_1\cdot u_1+\alpha_2\cdot u_2+\ldots+\alpha_n\cdot u_n\quad \Rightarrow\quad\alpha_i=0 \) para todo \( i\in \{1,2,\ldots,n\} \)

Tampoco está muy bien redactada la definición de linelamente dependientes.

Debería de ser: es linealmente dependiente si y sólo si existe alguna combinación lineal  \( \alpha_1\cdot u_1+\alpha_2\cdot u_2+\ldots+\alpha_n\cdot u_n \) igual al vector cero con algún \( \alpha_i\neq 0 \).

Los ejemplos están casi bien. No obstante al resolver los sistemas debería de poner una equivalencia y no un implica y además al segundo le falta un signo menos:

\( \left\{\begin{array}{l}{\alpha_1+2\alpha_2=0}\\ {2\alpha_1+4\alpha_2=0}\\\end{array}\right.\quad\color{red} \Longleftrightarrow{}\quad \alpha_1=-2\alpha_2\color{black} \)

en lugar de:

\( \left\{\begin{array}{l}{\alpha_1+2\alpha_2=0}\\ {2\alpha_1+4\alpha_2=0}\\\end{array}\right.\quad\color{red} \Longrightarrow{}\quad \alpha_1=2\alpha_2\color{black} \)

Saludos.

Hola

No me cierra que el ángulo sea constante si se varía la longitud de los lados de los cuadrados, que no esta indicada en el enunciado, No he hecho cuentas pero...¿ a que se debería su constancia?

No hay que hacer cuentas; fíjate que el lado del cuadrado \( AB\color{red}C\color{black}D \) queda determinado por el lado del lado \( EFG\color{red}C\color{black} \). Remarco en rojo que tiene un vértice común.

- Dibuja el cuadrado \( EFGC \).
- Dibuja la diagonal del cuadrado \( GE \).
- Sobre esa diagonal \( GE \) mide la misma distancia \( GE \) y te da el punto \( D \).
- Y listo \( CD \) es la arista del cuadrado \( ABCD \) totalmente determinada.

Gracias por tu ayuda... pero busqué la pregunta original y faltaba un detalle importante..se menciona que el punto E es exterior, al cuadrado ABCD, entonces creo que el dibujo quedaría así.

Es simplemente considerar entonces el cuadrado verde de mi dibujo, hacia el otro lado. Con los mismos cálculos que he hecho:

\( \widehat{EA'D}=180^o-\widehat{A'ED}-\widehat{EDA'}=180^o-45^o-90^o-\widehat{CDE}=45^o-18.43^o=26.57^o \)

Saludos.

Hola

Profesor no entiendo lo siguiente queda así?

Fila 3 = Fila 3 - (2.3/ 5.5) * Fila 2
La matriz aumentada después de este paso es:

\( \left(\begin{array}{rrr|r}
4&-1&1&8\\
0&5.5&\color{red}2\color{black}&\color{red}-2\color{black}\\
0&0&3&0.9\\\end{array}\right) \)

   \( x_3= -0.09 / 3 = -0.03
 \)
\(    x_2 = (-2 - (2 * (-0.03))) / 5.5 ≈ -1 \)

\(    x_1 = (8 + (-1) + (1 * (-0.03))) / 4 ≈ 1
 \) no entiendo, no me coincide el resultado con el que proporcionan en el ejercicio profesor

 Es que ya has cambiado la segunda fila. ¿Por qué pones los términos que he marcado en rojo? No están bien. Recuerda que se obtenían restando a la segunda fila original \( 1/4 \) de la primera, te lo detalle en mi primera respuesta. De manera que llegaríamos a:

\( \left(\begin{array}{rrr|r} 4&-1&1&8\\ 0&5.5&1.5&-1\\ 0&2.3&3.8&9\\\end{array}\right) \)

 Ahora tenemos que hacer un cero donde está el \( 2.3 \) usando el \( 5.5 \). Para ello a la tercera fila le sumamos la segunda dividirá por \( 5.5 \) y multiplicada por \( -2.3 \):

 Tienes \( 1.5/5.5=0.2727\ldots\approx 0.27 \). Y \( 0.27\cdot 2.3=0.621\approx 0.62 \). Después \( 3.8-0.62=3.18\approx 3.2 \).

 Análogamente tenemos que hacer \( 9+(-2.3)\cdot (-1/5.5) \) redondeando en cada paso a dos cifras significativas. Quedará \( 9.4 \).

 Llegamos a:

\( \left(\begin{array}{rrr|r} 4&-1&1&8\\ 0&5.5&1.5&-1\\ 0&0&3.1&9.4\\\end{array}\right) \)

 Entonces de la última ecuación:

 \( 3.1x_3=9.4 \) y \( x_3=9.4/3.1=3.0322\ldots \approx 3 \).

 De la anterior:

 \( 5.5x_2+1.5x_3=-1 \) y \( x_2=(-1-1.5\cdot x_3)/5.5=-5.5/5.5=-1 \)

 De la primera:

\( 4x_1-x_2+x_3=8 \) y \( x_1=(8+x_2-x_3)/4=4/4=1 \)

Saludos.

Hola

 Por ampliar un poco más el segundo caso, comprueba que los autovalores son \( 1,1,c \) lo cuál te lleva a distinguir dos casos:

- Si \( c\neq 1 \) hay dos autovalores:

\( \lambda_1=1 \) con multiplicidad algebraica \( 2 \).
\( \lambda_2=c \) con multiplicidad algebraica \( 1 \).

 La suma de algebraicas coincide con el tamaño de la matriz (o si quieres todos los autovalores son reales) y por tanto siempre triangulariza (de hecho la matriz original es triangular). Diagonaliza si además las multiplicidades geométricas y algebraicas de cada autovalor coinciden. Si la algebraica es uno, al geométrica también; así que sólo tienes que comprobar la geométrica para \( \lambda_1=1 \)

\( mg(1)=3-rango(A-1\cdot Id) \)

 Termina...

- Si \( c=1 \) hay un autovalor:

\( \lambda_1=1 \) con multiplicidad algebraica \( 3 \).

 La suma de algebraicas coincide con el tamaño de la matriz (o si quieres todos los autovalores son reales) y por tanto siempre triangulariza (de hecho la matriz original es triangular). Ahora tienes que comprobar si la multiplicidad geométrica coincide con la algebraica:

\( mg(1)=3-rango(A-1\cdot Id) \)

 Termina...

Saludos.

Hola

Suponga que \( P_n \) es un polinomio de grado \( \leq{n} \) que interpola a la función \( f(x)=e^{\displaystyle\frac{x-2}{2}} \) en los nodos
\( 0=x_0<...<x_n=2 \) con \( x_i=2\displaystyle\frac{i}{n} \) para \( i=0,...,n \).
Construya el polinomio \( Pn \)

El nodo cero, es 0, pero me estoy haciendo lio para poder hallar los demás (nodo uno y nodo dos); alguna ayuda/sugerencia.

¿Pero te refieres a calcular los \( x_i \)?.

\( x_0=2\cdot \dfrac{0}{n}=0 \)

\( x_1=2\cdot \dfrac{1}{n}=\dfrac{2}{n} \)

\( x_2=2\cdot \dfrac{2}{n}=\dfrac{4}{n} \)

\( x_3=2\cdot \dfrac{3}{n}=\dfrac{6}{n} \)

\( \ldots \)

Evidentemente si no fijas \( n \) lo le puedes dar un valor concreto.

Saludos.