Hola, estoy trabajando en un ejercicio sobre convergencia puntual y uniforme con \(f_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), donde \(f_n(x) = \arctan(nx)\) en \(\mathbb{R}\) y en \(\mathbb{R} - (-k,k)\), con \(k > 0\). Hasta el momento, he avanzado en el siguiente análisis y me gustaría confirmar su validez con ustedes.
Para la convergencia puntual, consideramos:
\[
\lim_{n \to \infty} \arctan(nx) =
\begin{cases}
\frac{\pi}{2}, & \text{si } x > 0 \\
0, & \text{si } x = 0 \\
-\frac{\pi}{2}, & \text{si } x < 0
\end{cases}
\]
Esto se obtiene aplicando el teorema que establece que si \( \lim_{x \to a} g(x) = b \) y \( f(x) \) es continua en \( x = b \), y \( \lim_{u \to b} f(u) = L \), entonces \( \lim_{x \to a} f(g(x)) = L \). (no lo voy a poner para no escribir tanto...)En este caso, la convergencia puntual significa que \(f_n(x)\) converge a \(f(x)\) para cada \(x\) en el dominio de \(f_n\). Este comportamiento se observa tanto en \(\mathbb{R}\) como en \(\mathbb{R} - (-k,k)\), excepto en \(x = 0\) debido a que \(x = 0\) no está en el intervalo \((-k,k)\) con \(k > 0\).
Ahora, pasemos a la convergencia uniforme. Notemos que en \(\mathbb{R}\) no es convergente uniforme debido a que la continuidad no se conserva. Sin embargo, en \(\mathbb{R} - (-k,k)\), ¿cómo se procedería? ¿Habría que considerar si \(x > k\) y otro caso si \(x < -k\)? Aquí es donde me encuentro algo perdido.
Se me ocurre que de todas maneras no es uniforme? Pues si considero \( \mathbb{R} - (-k,k) \) con \( k>0 \) no es continua, pues vemos que dependiendo de si \( x>k \) o \( x<-k \), la función \( f(x) \) converge a \( \frac{\pi}{2} \) y \( -\frac{\pi}{2} \). Soy nuevo en este tema, cualquier ayuda o corrección será bienvenida.
¡Gracias!
