[Meedina]

Hola! Me piden calcular la transformada de laplace de la siguiente señal en el tiempo y no se muy bien como abordarlo. Lo único que se me ha ocurrido es calcular la pendiente que me da: 2k/t pero no se como seguir, si alguien pudiese decirme que pasos debo seguir en este tipo de problemas para solucionarlos o recomendarme algún video donde resuelvan ejercicios de este tipo se lo agradecería mucho ya que no he encontrado ninguno. Gracias!

[Masacroso]

La función hasta \( T \) puede describirse como

\( \displaystyle{
f(x):=\begin{cases}
2kx/T,&\text{ si }x\in[0,T/2]\\
0,&\text{ si }x\in(T/2,T]
\end{cases}
} \)

y luego se repite una y otra vez en cada intervalo de longitud \( T \). Usando la función parte fraccionaria y una función indicatriz toda la función se puede escribir como

\( \displaystyle{
g(x):=2k\{x/T\}\mathbf{1}_{[0,1/2]}\{x/T\},\quad x\geqslant 0
} \)

Entonces la tranformada de Laplace viene dada por

\( \displaystyle{
\mathcal{L}(g)(s)=\int_{0}^{\infty }g(x)e^{-sx}\,d x
} \)

SOLUCIÓN

Como \( g \) se repite en cada intervalo de la forma \( [jT,(j+1)T] \) para \( j\in \mathbb N\cup\{0\} \) entonces se tiene que

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\mathcal{L}(g)(s)&=\int_{0}^{\infty }g(x)e^{-sx}\,d x\\
&=\sum_{j=0}^{\infty }\int_{jT}^{(j+1)T}g(x)e^{-sx}\,d x\\
&=\sum_{j=0}^{\infty }\int_{0}^{T}g(x+jT)e^{-s(x+jT)}\,d x\\
&=\sum_{j=0}^{\infty }\int_{0}^{T}g(x)e^{-s(x+jT)}\,d x\\
&=\sum_{j=0}^{\infty }\int_{0}^{T/2}\frac{2kx}{T}e^{-s(x+jT)}\,d x\\
&=\sum_{j=0}^{\infty }e^{-sjT}\int_{0}^{T/2}\frac{2kx}{T}e^{-sx}\,d x\\
&=\left(\int_{0}^{T/2}\frac{2kx}{T}e^{-sx}\,d x\right)\sum_{j=0}^{\infty }e^{-sjT}\\
&=\frac{2k}{T}\left(\frac{xe^{-sx}}{-s}\bigg|_{x=0}^{x=T/2}-\int_{0}^{T/2}\frac{e^{-sx}}{-s}\,d x\right)\sum_{j=0}^{\infty }(e^{-sT})^j\\
&=\frac{2k}{T}\left(\frac{\tfrac{T}{2}e^{-sT/2}}{-s}-\frac{e^{-sT/2}-1}{s^2}\right)\frac1{1-e^{-s T}}\\
&=\frac{2k}{Ts^2}\cdot \frac{1-\left(1+\frac{sT}{2}\right)e^{-s T/2}}{1-e^{-s T}}
\end{align*}
} \)

suponiendo no me haya equivocado en ningún paso. Por supuesto la transformada de Laplace sólo es válida para valores de \( s \) positivos en este caso, ya que si \( s=0 \) la integral no converge.

[cerrar]

[ani_pascual]

Hola:
Como complemento a lo comentado por Masacroso, creo recordar que otra opción es aplicar directamente el resultado teórico, al cual se llega tras el desarrollo expuesto, según el cual, la transformada de Laplace de una función periódica \( f(t) \) de período \( T>0 \) viene dada por

\( {\cal L}[f(t)](s)=\dfrac{\displaystyle\int_0^Te^{-st}f(t)\,dt}{1-e^{-sT}}  \)

Tras los cálculos he obtenido el mismo resultado  ...

Spoiler

\( {\cal L}[f(t)](s)=\dfrac{2k\left[1-\left(1+\dfrac{sT}{2}\right)e^{\frac{-sT}{2}}\right]}{Ts^2(1-e^{-sT})} \)

[cerrar]

Saludos

[Meedina]

Muchas gracias por la explicación, pero creo que mi profesor lo plantea distinto. El nos da una serie de funciones definidas que tienen su transformada de laplace y lo hace directamente. Adjunto foto de las funciones y un ejemplo. En el ejemplo creo que calcula la pendiente y usa la transformada de laplace de la función rampa pero luego no entiendo como calcula lo demás ni porque es negativo, a ver si alguien me puede explicar. Gracias!

[Abdulai]

Muchas gracias por la explicación, pero creo que mi profesor lo plantea distinto. El nos da una serie de funciones definidas que tienen su transformada de laplace y lo hace directamente. Adjunto foto de las funciones y un ejemplo ...

Lo que hace tu profesor es recurrir a transformadas conocidas y propiedades,  eso se hace una vez que se ha avanzado en el curso.

Forma la función para un período con:  Rampa - (Rampa + constante)_desplazada
- Rampa: \( \dfrac{A}{s^2} \)
- Rampa-constante: \( \dfrac{A}{s^2}-\dfrac{A}{s} \)
- (Rampa-constante)_desplazada: \( A\left(\dfrac{1}{s^2}-\dfrac{1}{s}\right)e^{-sT} \)
\( \;\;\rightarrow\;\;\mathcal{L}(f)(s)=\dfrac{A}{s^2}-A\left(\dfrac{1}{s^2}-\dfrac{1}{s}\right)e^{-sT} \)


Finalmente la convierte en periódica:
\( \;\;\rightarrow\;\;\mathcal{L}(f)(s)=\dfrac{A}{1-e^{-2sT}}\left(\dfrac{1}{s^2}-\left(\dfrac{1}{s^2}-\dfrac{1}{s}\right)e^{-sT}\right) \)


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De acuerdo a los datos, la constante \( A \) vale \( \dfrac{K}{T} \)
En el 1er dibujo que subiste el período era \( T \)  y en las últimas imágenes es \( 2T \)  (yo usé \( 2T \))
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