[cristianch]

Buenos días
Tengo un problema con el siguiente ejercicio que no logro comprender, agradecería si ayuda con la resolución de este.

Escriba una ecuación diferencial que tenga como solución a la curva \( y = g(x) \) que satisface la condición de que la recta tangente a esta curva en el punto \( (x, y) \) pasa por el punto \( (−y, x) \).

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Escriba una ecuación diferencial que tenga como solución a la curva \( y = g(x) \) que satisface la condición de que la recta tangente a esta curva en el punto \( (x, y) \) pasa por el punto \( (−y, x) \).

 La tantente en un punto \( (x,y) \) ha de unir ese punto con \( (-y,x) \) y por tanto su pendiente es:

\(  \dfrac{y-x}{x+y} \)

 La pendiente coincide con la derivada:

\( y'= \dfrac{y-x}{x+y} \)

 Para fijar una curva solución se puede añadir una condición inicial \( y_0=g(x_0) \).

Saludos.

[ani_pascual]

Hola_

Tengo un problema con el siguiente ejercicio que no logro comprender, agradecería si ayuda con la resolución de este.

Escriba una ecuación diferencial que tenga como solución a la curva \( y = g(x) \) que satisface la condición de que la recta tangente a esta curva en el punto \( (x, y) \) pasa por el punto \( (−y, x) \).

Aunque no lo pide el enunciado, por si acaso te interesa la solución general de la EDO homogénea resultante...

Spoiler

Haciendo el cambio de variable \( y=xu \) la EDO se convierte en \( u+xu'=\dfrac{u-1}{u+1}\Longrightarrow \dfrac{(u+1)\,du}{1+u^2}=\dfrac{-dx}{x} \), que es de variables separadas. Tras integrar y deshacer el cambio, se obtiene \( \arctan \dfrac{y}{x}+\ln\sqrt{x^2+y^2}=C \)

[cerrar]

Saludos

[Abdulai]

Expresar la solución en cartesianas tiene el inconveniente que la función \( \arctan() \) es discontinua cada vez que \( x \) cruza por 0 y debemos sumar/restar \( \pi \) según corresponda pues ese término representa el argumento de \( [x,y] \)

Una alternativa es expresarla en polares: \( r=r_0\,e^{-\theta} \)  (una espiral logarítmica)

[ani_pascual]

Hola:

...
Una alternativa es expresarla en polares: \( r=r_0\,e^{-\theta} \)  (una espiral logarítmica)

Si se expresa el haz integral de la EDO en polares ¿no sería \( r=Ke^{-\theta} \) con \( K=r_0e^{\theta_0} \)?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Aquí está representada la solución. El punto \( A=(x,y) \) sobre la curva puede moverse y se ve que la tangente (en rojo) pasa por el punto \( B=(-y,x) \).


Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Aquí está representada la solución. El punto \( A=(x,y) \) sobre la curva puede moverse y se ve que la tangente (en rojo) pasa por el punto \( B=(-y,x) \).

¿Algún enlace a un manual para aprender a hacer esos gráficos con movimiento con Geogebra?
Saludos

[cristianch]

Gracias por las respuestas, les agradezco su ayuda.