[estudiantematematicasssss]

Buenas tardes a todos. Ante todo decir que soy nuevo y no se si este mensaje debería ir en este hilo.

Se me ha propuesto un ejercicio de teoría de la medida que dice asi:


Prueba que en \( (\mathbb{R}^{2},\mathcal{P}(\mathbb{R}^{2})) \) no existe una medida acotada \( \mu \) tal que \( \mu(\mathbb{N}^{2}) = 1 \) y \( \lambda\ll\mu \) para toda medida \( \lambda \) en \( \mathcal{P}(\mathbb{R}^{2}) \).

Aqui, \( \lambda\ll\mu \) denota que \( \lambda \) es absolutamente continua respecto a \( \mu \).

He intentado hacerlo por reducción al absurdo usando las propiedades de la medida pero no llego a nada concluyente. Cualquier ayuda sería de agradecer.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

Buenas tardes a todos. Ante todo decir que soy nuevo y no se si este mensaje debería ir en este hilo.

Se me ha propuesto un ejercicio de teoría de la medida que dice asi:

Prueba que en \( (\mathbb{R}^{2},\mathcal{P}(\mathbb{R}^{2})) \) no existe una medida acotada \( \mu \) tal que \( \mu(\mathbb{N}^{2}) = 1 \) y \( \lambda\ll\mu \) para toda medida \( \lambda \) en \( \mathcal{P}(\mathbb{R}^{2}) \).

Aqui, \( \lambda\ll\mu \) denota que \( \lambda \) es absolutamente continua respecto a \( \mu \).

Supón que existe tal medida. Para cada real \( x\in (0,1)\times (0,1) \) puedes definir la medida \( \lambda_x(A)=\mu(A-x) \).

De manera que \( \lambda_x(\Bbb N^2+x)=\mu(\Bbb N^2)=1 \). Ahora tiene que cumplirse que \( \lambda_x\ll \mu \) y por tanto si \( \lambda_x(\Bbb N^2+x)=1 \) entonces \( \mu(\Bbb N^2+x)>0 \).

Pero entonces \( \{\Bbb N^2+x\}_{x\in (0,1)\times (0,1)} \) sería una familia no numerable de conjuntos DISJUNTOS de medida positiva. Eso es imposible en una medida acotada.

Saludos.

CORREGIDO

[Luis Fuentes]

Hola

Entiendo el argumento pero no entiendo cual es la contradicción. ¿Por que tener una familia no numerable de conjuntos de medida positiva entra en contradicción con que la medida sea acotada?.

Me olvidé de apuntar que son conjuntos DISJUNTOS (fundamental).

Lo tienes probado en el enlace. Supón que \( \mu(X)=M<+\infty \) y que tienes una familia \( F=\{A_i\}_{i\in I} \) de conjuntos disjuntos con \( \mu(A_i)>0 \).

Sea \( F_n=\{A_i\in F|\mu(A_i)>1/n\} \). Tienes que:

\( M=\mu(X)\geq \mu\left(\displaystyle\bigcup_{A_i\in F_n} A_i\right)\geq cardinal(F_n)\cdot \dfrac{1}{n} \)

Por tanto \( cardinal(F_n) \) es finito.

Además \( F=\displaystyle\bigcup_{n\in \Bbb N}F_m \) y por tanto la familia \( F \) es unión numerable de conjunto finitos: por tanto es numerable. No puede ser NO numerable.

Saludos.

P.D: ¿Parece que mientras escribía la respuesta borraste esta duda?¿Es así?

CORREGIDO

[estudiantematematicasssss]

Hola

 Bienvenido al foro.

Buenas tardes a todos. Ante todo decir que soy nuevo y no se si este mensaje debería ir en este hilo.

Se me ha propuesto un ejercicio de teoría de la medida que dice asi:

Prueba que en \( (\mathbb{R}^{2},\mathcal{P}(\mathbb{R}^{2})) \) no existe una medida acotada \( \mu \) tal que \( \mu(\mathbb{N}^{2}) = 1 \) y \( \lambda\ll\mu \) para toda medida \( \lambda \) en \( \mathcal{P}(\mathbb{R}^{2}) \).

Aqui, \( \lambda\ll\mu \) denota que \( \lambda \) es absolutamente continua respecto a \( \mu \).

Supón que existe tal medida. Para cada real \( x\in (0,1)\times (0,1) \) puedes definir la medida \( \lambda_x(A)=\mu(A-x) \).

De manera que \( \lambda_x(\Bbb N^2+x)=\mu(\Bbb N^2)=1 \). Ahora tiene que cumplirse que \( \lambda_x\ll \mu \) y por tanto si \( \lambda_x(\Bbb N^2+x)=1 \) entonces \( \mu(\Bbb N^2+x)>0 \).

Pero entonces \( \{\Bbb N^2+x\}_{x\in (0,1)\times (0,1)} \) sería una familia no numerable de conjuntos de medida positiva. Eso es imposible en una medida acotada.

Saludos.

Muchas gracias Luis. Me ha quedado claro. Sin embargo, ahora me surge la siguiente duda: ¿podría darse que existiese tal medida si ahora el espacio fuese \( (\mathbb{N}^{2},\mathcal{P}(\mathbb{N}^{2})) \) y para todo \( \lambda \) en \( \mathcal{P}(\mathbb{N}^{2}) \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias Luis. Me ha quedado claro. Sin embargo, ahora me surge la siguiente duda: ¿podría darse que existiese tal medida si ahora el espacio fuese \( (\mathbb{N}^{2},\mathcal{P}(\mathbb{N}^{2})) \) y para todo \( \lambda \) en \( \mathcal{P}(\mathbb{N}^{2}) \)?

Si. Ten en cuenta que \( \Bbb N^2 \) es biyectivo con \( \Bbb N^* \). Así que basta dar el ejemplo en los naturales. Puedes definir una medida con:

\( \mu(\{n\})=\dfrac{1}{2^n} \)

De manera que:

\( \mu(A)=\displaystyle\sum_{n\in A}\dfrac{1}{2^n} \)

El único conjunto de medida cero es el vacío y por tanto cumple \( \lambda\ll\mu \) para cualquier otra medida.

Saludos.

[estudiantematematicasssss]

Tienes toda la razón Luis.

Muchas gracias por ayudarme con el ejercicio.

[estudiantematematicasssss]

Hola

Entiendo el argumento pero no entiendo cual es la contradicción. ¿Por que tener una familia no numerable de conjuntos de medida positiva entra en contradicción con que la medida sea acotada?.

Me olvidé de apuntar que son conjuntos DISJUNTOS (fundamental).

Lo tienes probado en el enlace. Supón que \( \mu(X)=M<+\infty \) y que tienes una familia \( F=\{A_i\}_{i\in I} \) de conjuntos disjuntos con \( \mu(A_i)>0 \).

Sea \( F_n=\{A_i\in F|\mu(A_i)>1/n\} \). Tienes que:

\( \mu\left(\displaystyle\bigcup_{A_i\in F_n} A_i\right)\leq cardinal(F_n)\cdot \dfrac{1}{n}\leq M \)

Por tanto \( cardinal(F_n) \) es finito.

Además \( F=\displaystyle\bigcup_{n\in \Bbb N}F_m \) y por tanto la familia \( F \) es unión numerable de conjunto finitos: por tanto es numerable. No puede ser NO numerable.

Saludos.

P.D: ¿Parece que mientras escribía la respuesta borraste esta duda?¿Es así?

Buenos días nuevamente.

Quería realizar un apunte Luis. Estaba realizando el ejercicio según la estructura propuesta y creo que cometiste una errata en las desigualdades.

Tu escribiste: \( \mu\left(\displaystyle\bigcup_{A_i\in F_n} A_i\right)\leq cardinal(F_n)\cdot \dfrac{1}{n}\leq M \).

Pero yo creo que lo correcto sería: \( cardinal(F_n)\cdot \dfrac{1}{n}\leq\mu\left(\displaystyle\bigcup_{A_i\in F_n} A_i\right)\leq M \) ya que \( \dfrac{1}{n} \) sería el infimo de la medida que pueden tomar los conjuntos \( A_i \)

¿Puede ser?.

[Luis Fuentes]

Hola

Quería realizar un apunte Luis. Estaba realizando el ejercicio según la estructura propuesta y creo que cometiste una errata en las desigualdades.

Tu escribiste: \( \mu\left(\displaystyle\bigcup_{A_i\in F_n} A_i\right)\leq cardinal(F_n)\cdot \dfrac{1}{n}\leq M \).

Pero yo creo que lo correcto sería: \( cardinal(F_n)\cdot \dfrac{1}{n}\leq\mu\left(\displaystyle\bigcup_{A_i\in F_n} A_i\right)\leq M \) ya que \( \dfrac{1}{n} \) sería el infimo de la medida que pueden tomar los conjuntos \( A_i \)

Si, tienes razón. Gracias por avisar. Ahora lo corrijo.

Saludos.