Hola
Hola a todos, espero esten bien.
Me encuentro estancado con un problema demostrativo de isomorfismos. Les pido por favor me pueden ayudar.
Demuestre que el orden parcial \( (\mathbb N, div) \) no es isomorfo al orden parcial \( (P(\mathbb N), \subseteq{}) \)
Div hace referencia al orden generado por divisibilidad.
Pues difícilmente es isomorfo porque los dos conjuntos no son biyectivos; es decir olvidándonos del orden es imposible que existe una biyección entre \( \Bbb N \) y \( P(\Bbb N) \). La prueba no se si la conoces es el argumento diagonal de Cantor. Resumiendo, si existiese tal biyección:
\( f:\Bbb N\to P(\Bbb N) \)
Tomando el conjunto \( A=\{n\in \Bbb N|n\not\in f(n)\} \) se tiene que \( A\not\in Im (f) \) y por tanto no es sobreyectiva, ya que si \( A=f(m) \) entonces si \( m\in f(m) \), \( m\not\in A=f(m) \) y si \( m\not\in f(m) \) entonces \( m\in A=f(m) \): contradicción.
Saludos.
P.D. Lo que si se cumple es que \( (\mathbb N, div) \) es isomorfa a un subconjunto de \( (P(\mathbb N), \subseteq{}) \) con la relación de inclusión. Definiendo \( f(n)=\{\text{divisores de }n\} \).
Esta idea si no me equivoco generaliza para cualquier relación de orden \( (A,R) \) que es isomorfa a un subconjunto de \( (P(A),\subset) \) con la relación de inclusión.
