Encontré otro camino pero me surgen algunas dudas:
Una manera de definir el conjunto de cantor $$C$$ es como sigue: Sean $$F_0=\{1\}\ \mbox{y}\ F_j=\{3s-2,3s\}$$ donde $$s\in F_{j-1}, j=1,2,3,...$$
De esta manera, vemos que $$F_1=\{1,3\},\ F_2=\{1,3,7,9\},\ F_3=\{1,3,7,9,19,21,25,27\}$$, y así sucesivamente. Se podría decir que cada $$F_k$$ tiene $$2^k$$ elementos, $$k=0,1,2,3,...$$.
Para cada $$k$$, definimos los conjuntos $$C_k$$ como la unión de $$2^k$$ intervalos de la forma $$I_{r_j}^k=\left[\frac{r_{j-1}}{3^k},\frac{r_j}{3^k}\right]$$ donde $$j=1,2,...,2^k$$ y $$r_j\in F_j$$ para $$k=0,1,2,3,...$$. Esto es $$C_k=I_{r_1}^k\cup I_{r_2}^k\cup\cdots \cup I_{r_{2^k}}^k.$$ Por ejemplo,
$$C_0=[0,1],$$ $$C_1=\left[0,\frac{1}{3}\right]\bigcup\left[\frac{2}{3},1\right],$$ $$C_2=\left[0,\frac{1}{9}\right]\bigcup\left[\frac{2}{9},\frac{3}{9}\right]\bigcup\left[\frac{6}{9},\frac{7}{9}\right]\bigcup\left[\frac{8}{9},1\right]$$
Se define el conjunto de Cantor como $$C=\bigcap_{k=0}^{\infty}C_k$$
Podemos interpretar la construcción anterior del modo siguiente:
Del intervalo $$[0,1]$$ quitamos el tercio medio $$E_1=(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$$ y obtenemos el conjunto $$C_1=[0,1]\setminus E_1^1$$ Por lo que nos quedan dos subintervalos: $$[0,\frac{1}{3}]$$ y $$[\frac{2}{3},1]$$. De cada uno de estos quitamos los tercios medios $$E_2^1=(\frac{1}{9},\frac{2}{9})$$ y $$E_2^2=(\frac{7}{9},\frac{8}{9})$$, respectivamente, y se obtiene el conjunto $$C_2=([0,\frac{1}{3}]\setminus E_2^1)\cup ([\frac{2}{3},1]\setminus E_2^2)=C_1\setminus (E_2^1\cup E_2^2)$$ los subintervalos que nos quedan son: $$[0,\frac{1}{9}], [\frac{2}{9},\frac{3}{9}], [\frac{6}{9},\frac{7}{9}]$$ y $$[\frac{8}{9},1]$$.
Nuevamente, eliminamos de cada uno de estos los tercios medios
$$E_3^1=\left(\frac{1}{27},\frac{2}{27}\right),\quad E_3^2=\left(\frac{7}{27},\frac{8}{27}\right),\quad E_3^3=\left(\frac{19}{27},\frac{20}{27}\right),\quad E_3^4=\left(\frac{25}{27},\frac{26}{27}\right),$$ y se obtiene el conjunto $$C_3=C_2\setminus\left(\bigcup_{k=1}^{2^{3-1}}E_3^k\right)$$
En general, si se definen los subintervalos de $$[0,1]$$ $$E_n^j=\left(\frac{3s_j-2}{3^n},\frac{3s_j-1}{3^n}\right)$$ para $$s_j\in F_{n-1},\ j=1,2,...,2^{n-1},\ n=1,2,3,...$$ y hacemos $$E_n=\bigcup_{j=1}^{2^{n-1}}E_n^j,$$ entonces el conjunto de Cantor es $$C=[0,1]\setminus\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n.$$ el complemento de un abierto en [0,1].
Por otro lado, cada número real se puede expresar en diferentes bases, en particular si $$x\in [0,1]$$, entonces puede expresarse en base 3 de la forma $$x=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\alpha_m}{3^m}=0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3...$$ donde $$\alpha_m\in\{0,1,2\}$$. Esta expresión se llama la expansión ternaria de $$x$$.
Existe una proposición que dice: Sea $$x\in [0,1]$$. $$x\in C_k$$ si y solo si $$x$$ tiene una expansión ternaria de la forma $$0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3...$$, donde $$\alpha_i\neq 1$$ para $$i=1,...,k$$. Además $$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_k$$ son constantes en cada uno de los intervalos de $$C_k$$ para cada $$k=0,1,2,3,...$$.
Vamos a definir una función: $$\psi:[0,1]\longrightarrow [0,1]$$ de tal manera que si $$E_n^j$$ es uno de los intervalos abiertos que se eliminaron en la construcción de $$C$$, entonces para $$y\in E_n^j$$, definamos
$$\psi(y)=\psi\left(\frac{s_j-2}{3^n}\right)=\psi\left(\frac{3s_j-1}{3^n}\right)$$
y para cada $$x\in C$$, con expansión ternaria $$x=0.\alpha_1\alpha_2\alpha_3...,$$ definamos $$\psi(x)=0.\frac{\alpha_1}{2}\frac{\alpha_2}{2}\frac{\alpha_3}{2}...$$ donde la expresión de la derecha se debe interpretar como una expansión binaria en términos de los dígitos 0 y 1. A la función $$\psi$$ se le llama la función ternaria de cantor.
Ahora definamos la función $$\Omega$$ como: $$\Omega: [0,1]\longrightarrow[0,2]$$ $$\Omega(x)=x+\psi(x)$$ Como $$\psi$$ es creciente y continua en $$[0,1]$$, Por qué $$\Omega$$ es estrictamente creciente y uno-a-uno, con inversa $$\Omega^{-1}$$, continua en $$[0,2]$$.
Cada intervalo removido de $$[0,1]$$ en la construcción del conjunto de Cantor $$C$$ es enviado por $$\Omega$$ a un intervalo de $$[0,2]$$ de la misma longitud que el original pues esta función es sobre.
En efecto, sea $$\left(\frac{3s_j-2}{3^n},\frac{3s_j-1}{3^n}\right)$$ el n-ésimo intervalo removido en la construcción de $$C$$. Entonces se tiene
$$\lambda\left(\frac{3s_j-2}{3^n},\frac{3s_j-1}{3^n}\right)=\frac{3s_j-1}{3^n}-\frac{3s_j-2}{3^n}=\frac{1}{3^n}$$
Además, $$\Omega\left(\frac{3s_j-2}{3^n}\right)=\frac{3s_j-2}{3^n}+$$$$\frac{m}{2^k},$$ No entiendo bien de donde sale esta parte de rojo.
$$\Omega\left(\frac{3s_j-1}{3^n}\right)=\frac{3s_j-1}{3^n}+\frac{m}{2^k}$$ Por lo que
\begin{align*}
\lambda\left(\Omega\left(\frac{3s_j-2}{3^n},\frac{3s_j-1}{3^n}\right)\right)&=\lambda\left(\frac{3s_j-2}{3^n}+\frac{m}{2^k},\frac{3s_j-1}{3^n}+\frac{m}{2^k}\right)\\
&=\frac{3s_j-1}{3^n}+\frac{m}{2^k}-\frac{3s_j-2}{3^n}-\frac{m}{2^k}\\
&=\frac{1}{3^n}
\end{align*}
De esta manera $$\lambda(\Omega([0,1]\setminus C))=\lambda([0,1]\setminus C)=1$$ Pero veremos a continuación que $$\lambda(\Omega(C))=1,$$ En efecto, notemos que $$\lambda(\Omega([0,1]))=\lambda([0,2])=2,$$ En consecuencia, si $$I=[0,1]$$, entonces $$\lambda(\Omega(I\setminus C))=1.$$
Además,
\begin{align*}
\lambda(\Omega(I\setminus C))&=\lambda(\Omega(I)\setminus\Omega(C))\\
&=\lambda(\Omega(I))-\lambda(\Omega(C))\\
&=2-\lambda(\Omega(C))
\end{align*}
Por lo que $$\lambda(\Omega(C))=2-1=1.$$
Como $$C$$ es un conjunto de medida cero, $$\Omega$$ es un ejemplo de un homeomorfismo que envía un conjunto de medida cero a un conjunto de medida positiva.
Sea $$D$$ un subconjunto no medible de $$\Omega(C)$$. Entonces $$\Omega^{-1}(D)$$ es un subconjunto de $$C$$ y es así también un conjunto Lebesgue medible de medida cero (pues $$\lambda$$ es completa). Por lo tanto $$\Omega$$ es un ejemplo de un homeomorfismo que envía un conjunto medible en un conjunto no medible. $$\Omega^{-1}(D)$$ es un conjunto Lebesgue medible, pero como es la imagen bajo un homeomorfismo de un conjunto que no es Borel-medible, $$\Omega^{-1}(D)$$ no es un conjunto de Borel.
