No lo implica que \( \hat{G} \) no sea compacto, no está muy bien expresado.
Es un argumento de topología general. Primero, cualquier grupo topológico que sea \( T_0 \) es completamente regular (aquí hay que restringirse al caso de grupos \( T_0 \), en total generalidad no lo tengo claro). Por otro lado es localmente compacto, luego dado \( \gamma \in \hat{G} \), existe un entorno abierto \( U \) con clausura compacta. Como \( \hat{G} \) es completamente regular, existe una función continua \( f:\hat{G} \to [0,1] \) tal que \( f(\gamma)=1 \) y \( f \) se anula en \( \hat{G}\setminus \{0\} \). Esta función es la que buscas, pues está en \( L^1(\hat{G}) \), ya que se anula fuera de un compacto y la medida de Haar de cualquier compacto es finita.

¡Ah okay! Definitivamente lo estaba entendiendo mal , ¡muchísimas gracias por la explicación! Ahora lo entiendo

Saludos

Hola a todos,

Recientemente empecé a leer el libro An introduction to operator algebras por Kehe Zhu, en el capítulo 7 se habla de álgebras de Banach no unitarias, i.e., espacios de banach dotados además de un producto que satisface \( \left\|{xy}\right\| \leq \left\|{x}\right\| \left\|{y}\right\| \) para todos \( x,y \) en el álgebra. El punto es que uno de los ejemplos que se menciona es el de las funciones integrables \( L^1(G) \) de un grupo abeliano localmente compacto \( G \), donde la medida en cuestión es la medida de Haar. Hasta ahora no conocía la medida de Haar (de hecho el libro tampoco la incluye en ningún apéndice ), brevemente: una medida izquierda (resp. derecha) de Haar \( \mu \) sobre un grupo localmente compacto \( G \) es una medida regular de Borel sobre \( G \) que es finita sobre conjuntos compactos y que es invariante bajo traslaciones izquierdas (resp. derechas), i.e., para todo conjunto boreliano \( S \) se tiene que \( \mu(gS)=\mu(S) \) para todo \( g \in G \).
Ahora supongamos que \( G \) es abeliano y localmente compacto, entonces, se puede definir un producto en \( L^1(G) \) como sigue: dadas \( f,g \in L^1(G) \) se define para todo \( x \in G \):
Usando el teorema de Fubini se prueba que efectivamente \( \left\|{f*g}\right\| \leq \left\|{f}\right\| \left\|{g}\right\| \). A continuación, el libro menciona que esta álgebra no es unitaria. Bueno, si hay caso en el que lo es: cuando el grupo es discreto pero asumiendo que el grupo no es discreto lo que se me ocurrió fue lo siguiente. Para empezar, recordé lo que  uno hace en \( \mathbb{R} \), i.e., usar la transformada de Fourier. Así que me puse a buscar y resulta que en este caso también se puede definir una transformada de Fourier y se define como sigue: consideremos \( \Gamma:= \left\{{ \gamma: G \longrightarrow{S^1} | \gamma \textrm{ es un homomorfismo continuo}    }\right\} \), entonces para \( f \in L^1(G) \) se define \( \hat{f}: \Gamma \rightarrow \mathbb{C} \) como
Resulta que esta transformada también satisface que \( \hat{f*g}=\hat{f} \hat{g} \), por lo tanto, si existiera una unidad \( \epsilon \) debería tenerse que \( \hat{\epsilon}(\gamma) \hat{f}(\gamma)=\hat{f}(\gamma) \) para toda \( f \in L^1(G) \) y para toda \( \gamma \in \Gamma \). Luego, me puse a buscar nuevamente y resulta que se tiene la versión del lema de Riemann-Lebesgue: dada \( f \in L^1(G) \) la transformada \( \hat{f} \) es una función continua (se dota a \( \Gamma \) de la topología compacto-abierta) que tiende a cero en  el infinito, i.e., para todo \( \epsilon>0 \) existe un conjunto compacto \( K \subset \Gamma \) tal que si \( \gamma \in \Gamma-K \) entonces \( |\hat{f}(\gamma)| < \epsilon \). Este hecho SUGIERE que la igualdad \( \hat{\epsilon}(\gamma) \hat{f}(\gamma)=\hat{f}(\gamma) \) no puede ser cierta a menos que \( \hat{\epsilon} \equiv 1 \) la cual no tiende a cero en infinito pues es constante. Pero es precisamente este paso de asegurar que \( \hat{\epsilon} \equiv 1 \)   el que no me queda tan claro, i.e., a menos que pueda asegurar la existencia de una \( f \in L(G) \) cuya transformada no se anule en ningún \( \gamma \) no veo tan directo que pueda asegurar que \( \hat{\epsilon} \equiv 1 \). ¿Alguna sugerencia para justificar ese paso?

De antemano muchas gracias.

Saludos

¡Tienes toda la razón  !  Entonces, efectivamente se tiene que \( G_0=G \). ¡Muchísimas gracias!

Saludos

Piensa en \( f:B^n \to X \), y toma \( a_0 \) que está en la frontera del disco. Puedes considerar una homotopía \( H:B^n \times I \to X \) de manera que en tiempo \( 0 \) sea \( f \) y en tiempo \( 1 \) sea la aplicación constante \( x_0 \). En un tiempo \( t \) intermedio tomas un círculo que pasa por \( a_0 \) tangente a la frontera del disco y le asocias \( f \) al interior del círculo y para un punto \( p \) exterior, tomas la recta que pasa por \( a_0 \) y por \( p \) y le asocias el valor de f en la frontera del círculo interior. Es decir, dada una recta que sale de \( a_0 \), el valor de H_t coincide con el valor de f hasta que llega a la frontera del círculo interior y luego es constante. Conforme aumenta \( t \) vas tomando el círculo cada vez más pequeño, y así obtienes la homotopía deseada.

Ahora lo que sucede es que como tienes \( f \) tanto en el hemisferio superior como el inferior de \( S^n \), puedes considerar la homotopía \( H \) en cada hemisferio, y como es \( f \) en ambos hemisferios estas homotopías pegan bien para todo \( t \), dando lugar a una homotopía \( S^n \times I \to X \) que te lleva la composición de \( f \) con \( f\circ i \) a la aplicación constante \( x_0 \).

Ya lo entiendo. Efectivamente es más sencillo en los cubos, sobre todo la expresión explícita de la homotopía pero leyendo tu explicación la idea es parecida ; aunque no se me ocurrió cómo generalizarla a este caso . Espero ir entendiendo mejor estas ideas con el tiempo .

Espero que se entienda la descripción geométrica. Si no se entiende puedo intentar hacer un dibujo.

Ha quedado muy claro  , ¡muchas gracias!

Hola,

Es más sencillo cuando se definen los elementos del grupo sobre \( [0,1]^n \) identificando la frontera a un punto.

Sí, en definitiva parece más entendible de esa forma. La mayoría de las referencias que he visto lo hacen de esa manera, el libro de Hatcher por ejemplo, el cual se puso muy de moda últimamente. De hecho, el libro de Vassiliev es el único que he visto que lo hace de esta manera, ¿quizás con la intención de ofrecer una perspectiva diferente? No lo sé.

Si consideramos \( f:B^n \to X \), como haces en el mensaje, puedes definir una homotopía explícita \( H:B^n \times I \to X \) mediante:
\[
H(p,t) =
\begin{cases}
{f \left(\frac{p}{1-\frac{t}{2}} \right)}&\text{si}& ||p||\leq 1 - \frac{t}{2}\\
x_0 & \text{si}& ||p|| > 1-\frac{t}{2}\end{cases}
 \]

Esta homotopía cumple que \( H(p,0) = f(p) \) y
\[ H(p,1) = f(x)=\begin{cases}{f(2p)}&\text{si}& ||p|| \leq \frac{1}{2}\\x_0 & \text{si}& ||p|| > \frac{1}{2}\end{cases} \].

Si ahora pasas al cociente por la frontera de \( B^n \), y usas el homeomorfismo \( B^n/S^{n-1} \cong S^n \) que te envía el anillo exterior \( \{p \in B^n : 1/2 \leq ||p|| \leq 1 \} \) a \( S^{n,-} \) y la frontera a \( (-1,0,0) \), obtienes la homotopía buscada \( \tilde{H}:S^n \times I \to X \).

De hecho, para facilitar la construcción de las homotopías, lo que sería muy conveniente es expresar \( (\phi\psi) \) como una función \( (\phi\psi):B^n \to X \) en lugar de como directamente \( S^n \to X \). Esto es así porque es mucho más sencillo trabajar en \( B^n \) y luego pasar al cociente y usar el homeomorfismo adecuado \( B^n/S^{n-1} \cong S^n \) que trabajar directamente en \( S^n \). De hecho por ahí va el comentario de Luis sobre los cubos. Ya si te gusta más trabajar con discos o con cubos es cosa tuya, pero lo cómodo es trabajar en un subconjunto de \( R^n \) convexo, donde puedes usar homotopías lineales, y luego bajar al cociente.

Okay, ¡creo que entiendo la idea! Como bien menciona Luis, está ese detalle de los puntos base; pero realizando una rotación si es necesario como dices después creo que puedo suponer para la prueba que \( a_0=(-1,0,\ldots,0) \), ¿no?

Muchas gracias a  ambos.

Saludos

Hola otra vez,
Después de varios días de reflexión, creo que ya lo tengo:

Como \( f-g \) tiene un cero de multiplicidad \( m \geq 2 \) se tiene que \( f'(z_0)=g'(z_0) \neq 0 \) ya que \( g \) es inyectiva. Por tanto, si consideramos la función \( h=g^{-1} \circ f: D \rightarrow{D} \) entonces \( h \) es holomorfa y satisface que \( h(z_0)=z_0 \). Ahora, consideremos la transformación de Möbius definida por
Notemos que \( T \) es una biyección de \( D \) en si mismo y definamos \( F:D\rightarrow{D} \) mediante \( F:=T \circ h \circ T^{-1} \). Entonces \( F(0)=T(h(z_0))=T(z_0)=0 \). Más aún, tenemos que:
Ahora bien, la condición \( |F'(0)|=1 \) implica (por el lema de Schwarz) que existe \( c \in \mathbb{C} \) tal que \( |c|=1 \) y \( F=c Id \) (siendo \( Id \) el mapeo identidad), pero se sigue de la ecuación anterior que \( c=1 \), i.e., \( F=Id \) y de aquí se sigue que \( h=g^{-1} \circ f=Id \) lo cual finalmente nos da que \( g=f \), como queríamos probar.
Lo que me sigue causando un poco de conflicto existencial es que no usé que \( U \) fuera simplemente conexo, ¿quizás eso simplifica la prueba? No lo sé, en cualquier caso, si ven algo raro/incorrecto no duden en decirme.

Saludos.

Ah caray, tienes toda la razón . Acabo de checar y el problema si está escrito con estas hipótesis. Quizás los autores tenían otra cosa en mente  . Quizás hay una forma de solucionarlo pero de momento no se me ocurre la hipótesis. ¡Muchas gracias geómetracat!

Sí, ya veo. ¡Tienes toda la razón! Muchísimas gracias Masacroso. Otra forma de verlo:

Dejando \( n \) fija y viendo a \( \sum_{j=0}^{n+m} \sum_{k=0}^{n+m} a_{jk} \) como subsucesión de \( (s_{m})_{m \in \mathbb{N}} \), por ejemplo.
Pero bueno, esos son detalles de cada uno. De nuevo gracias por la orientación .
Un saludo.

Hola a todos,
Consideremos una sucesión doble de números complejos \( (a_{j,k})_{j,k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} \), decimos que la serie doble \( \sum_{j,k \geq 0}^{}{a_{j,k}} \) converge a \( L \in \mathbb{C} \) si la sucesión \( s_n=\sum_{j,k=0}^n{a_{j,k}} \) converge a \( L \). Dicho esto, quiero probar que si la serie converge absolutamente, i.e., \( s_n=\sum_{j,k=0}^n{|a_{j,k}|} \) converge, entonces la serie iterada
\( \displaystyle\sum_{j=0}^{\infty}{ \left(  \sum_{k=0}^{\infty}{a_{j,k}} \right) } \)
también converge y converge al mismo límite que la serie doble. Cabe señalar que personalmente nunca había visto esta definición en específico de convergencia de la serie doble pero bueno, lo que se me ocurre es lo siguiente:
Primero que nada, tenemos que para cada \( j \) fijo, la serie
es absolutamente convergente ya que para nada \( n \):
y por hipótesis, la sucesión de la derecha converge asi que al ser \( \sum_{k=0}^{n}{|a_{j,k}|} \) una sucesión creciente de términos no negativos el límite existe. Por lo tanto, para cada \( n \geq 0 \), la expresión \( \displaystyle\sum_{j=0}^n{   \left(  \sum_{k=0}^{\infty}{a_{j,k}}   \right)} \) tiene sentido. 
Por tanto, si denotamos por \( L \) al límite de la serie doble entonces nos interesa acotar
Ahora se me ocurre sumar y restar el término \( \sum_{j=0}^n{\sum_{k=0}^n{}a_{j,k}} \) y usar la desigualdad triangular, con lo cual nos queda que:
Sobre el primer término de la desigualdad anterior tenemos control pero sobre el segundo no tanto, ya que aunque a uno se le ocurre hacer el término \( \sum_{k=n+1}^{\infty}|a_{jk}|   \)más pequeño que \( \epsilon/2^{j+1} \) digamos, eso sólo lo podemos garantizar  partir de  cierta \( k \geq K(j) \) de modo que para cada \( j \) obtenemos distintas \( K(j) \) y entonces no podemos garantizar que este segundo término sea tan pequeño como queremos a partir de cierta \( n \geq N \).
¿Alguna sugerencia?

De antemano gracias.

Saludos

Hola a todos,

Supongamos que \( (u_n) \) y \( (v_n) \) son dos sucesiones de números complejos. Decimos que las sucesiones son equivalentes y escribimos \( u_n \sim{} v_n \) si para todo \( \epsilon>0 \) existe una \( N \in \mathbb{N} \) tal que si \( n \geq N \) entonces
para toda \( n \geq N \). El libro que estoy usando para estudiar (Analyse complexe pour la licence 3 de Patrice Tauvel) expresa esta condición como \( u_n-v_n=o(u_n) \), de ahí el título. El punto es que se afirma que si \( u_n-v_n=o(u_n) \) entonces también se tiene que \( v_n-u_n=o(v_n) \). Esta es la parte que no veo tan clara. A bote pronto, lo que se me ocurrió fue lo siguiente:
Asumamos que \( u_n-v_n=o(u_n) \). Dado \( \epsilon>0 \), sabemos que existe una \( N \in \mathbb{N} \) tal que si \( n \geq N \) entonces
De aquí,
Por tanto,
Lo cual nos da que
De manera similar encontraríamos que \(  |u_n|-|v_n|  \geq - \epsilon |v_n| \) con lo cual
Pero claro, esto no es lo que se quiere. Se quiere \( \vert u_n-v_n  \vert \leq \epsilon |v_n|  \). Pero de momento no se me ocurre cómo llegar a eso. ¿Alguna sugerencia?

De antemano muchas gracias.

Saludos