Rincón Matemático
Matemática => Matemáticas Generales => Mensaje iniciado por: Vacíoestelar en 23 Abril, 2024, 05:35 pm
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(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126598.0;attach=31026)
En la imagen, hay dos semicírculos juntos dentro de un cuadro. Mi duda es porque no es:
\( \displaystyle\frac{a^2}{4} \cdot{π} \)
Si juntamos ambos semicírculos y hallamos su área, no?
Entonces porque la respuesta dada de un libro es:
\( \displaystyle\frac{a^2}{8} \cdot{(π + 2)} \)
Estoy mal en algo?
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Si sumas ambas áreas estas contando dos veces el área que comparten.
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Hola
Siguiendo la idea de sugata le tienes que descontar el área común que has contado dos veces.
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126598.0;attach=31027)
Tal área es el doble del segmento circular de cuarto de círculo cuyo área es:
\( \dfrac{1}{4}\dfrac{a^2}{4}\pi-\dfrac{a^2}{8}=\dfrac{a^2(\pi-2)}{16} \)
Por tanto el área pedida es:
\( \dfrac{a^2}{4}\pi-2\cdot \dfrac{a^2(\pi-2)}{16}=\dfrac{a^2(\pi+2)}{8} \)
Saludos.
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Como dice sugata estás sumando dos veces el área que comparten. Para obtener el resultado tienes que restar esa área del total.
Para hallar el área compartida fijate que la mitad de ésta es el área de un cuarto del circulo menos el área de un triángulo rectángulo de catetos \( a/2 \):
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126598.0;attach=31028)
Es decir:
\[ A_{comp} = 2\left(\frac{(a/2)^2 \pi}{4} - \frac{(a/2)^2}{2}\right) = \]
\[ =2\left(\frac{(a/2)^2 \pi}{4} - \frac{2(a/2)^2}{4}\right) = \]
\[ = \frac{(a/2)^2 (\pi - 2)}{2} = \frac{a^2(\pi - 2)}{8} \]
Si ahora restas esta área a la que calculaste obtienes el resultado del libro:
\[ A_{somb} = \frac{a^2 \pi}{4} - \frac{a^2(\pi - 2)}{8} = \displaystyle\frac{2a^2\pi -a^2\pi + 2a^2}{8} \]
\[ = \displaystyle\frac{a^2\pi + 2a^2}{8} = \displaystyle\frac{a^2(\pi + 2)}{8} \]
Se adelantó Luis. :laugh:
Otra forma más sencilla es simplemente sumando el área de dos cuartos de círculo (un semicirculo) al área del cuadrado de lados \( a/2 \), es decir:
\[ A_{somb} = \frac{a^2 \pi}{8} + (a/2)^2 = \displaystyle\frac{a^2\pi + 2a^2}{8} = \displaystyle\frac{a^2(\pi + 2)}{8} \]
Saludos.
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(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126598.0;attach=31026)
También lo puedes pensar así:
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126598.0;attach=31032)
Ahí tienes un rectángulo grande de área \( a(a+\dfrac{a}{2}) \) al que si le restas las dos áreas verdes, el rectángulo naranja y el cuadrado azul, te queda el área sombreada.
(Donde es muy fácil ver, supongo, que cada área verde vale la cuarta parte de la diferencia entre las áreas del cuadrado grande y el círculo).
Saludos.
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Como dice sugata estás sumando dos veces el área que comparten. Para obtener el resultado tienes que restar esa área del total.
Para hallar el área compartida fijate que la mitad de ésta es el área de un cuarto del circulo menos el área de un triángulo rectángulo de catetos \( a/2 \):
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126598.0;attach=31028)
Es decir:
\[ A_{comp} = 2\left(\frac{(a/2)^2 \pi}{4} - \frac{(a/2)^2}{2}\right) = \]
\[ =2\left(\frac{(a/2)^2 \pi}{4} - \frac{2(a/2)^2}{4}\right) = \]
\[ = \frac{(a/2)^2 (\pi - 2)}{2} = \frac{a^2(\pi - 2)}{8} \]
Si ahora restas esta área a la que calculaste obtienes el resultado del libro:
\[ A_{somb} = \frac{a^2 \pi}{4} - \frac{a^2(\pi - 2)}{8} = \displaystyle\frac{2a^2\pi -a^2\pi + 2a^2}{8} \]
\[ = \displaystyle\frac{a^2\pi + 2a^2}{8} = \displaystyle\frac{a^2(\pi + 2)}{8} \]
Se adelantó Luis. :laugh:
Otra forma más sencilla es simplemente sumando el área de dos cuartos de círculo (un semicirculo) al área del cuadrado de lados \( a/2 \), es decir:
\[ A_{somb} = \frac{a^2 \pi}{8} + (a/2)^2 = \displaystyle\frac{a^2\pi + 2a^2}{8} = \displaystyle\frac{a^2(\pi + 2)}{8} \]
Saludos.
Muchas gracias, me as ayudado ;D ;D no se me había pasado por la mente que compartían el área sombreada :banghead: ;)
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(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126598.0;attach=31026)
También lo puedes pensar así:
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126598.0;attach=31032)
Ahí tienes un rectángulo grande de área \( a(a+\dfrac{a}{2}) \) al que si le restas las dos áreas verdes, el rectángulo naranja y el cuadrado azul, te queda el área sombreada.
(Donde es muy fácil ver, supongo, que cada área verde vale la cuarta parte de la diferencia entre las áreas del cuadrado grande y el círculo).
Saludos.
Me encuentro agradecido por su ayudaaa ;D ;D
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Si sumas ambas áreas estas contando dos veces el área que comparten.
ayayayy ya me di cuenta haha gracias!! ;D ;D
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Hola
Siguiendo la idea de sugata le tienes que descontar el área común que has contado dos veces.
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126598.0;attach=31027)
Tal área es el doble del segmento circular de cuarto de círculo cuyo área es:
\( \dfrac{1}{4}\dfrac{a^2}{4}\pi-\dfrac{a^2}{8}=\dfrac{a^2(\pi-2)}{16} \)
Por tanto el área pedida es:
\( \dfrac{a^2}{4}\pi-2\cdot \dfrac{a^2(\pi-2)}{16}=\dfrac{a^2(\pi+2)}{8} \)
Saludos.
Mi cerebrito no puede muchoo haha gracias ;D