No se me ocurre nada, al menos con este functor.
Lo más prolijo que pensé modifica las definiciones de 0 y 1 e incluye la definición de una fórmula que luego va en los axiomas. Además es imposible evitar el engorro de escribir un functor dentro de otro cuando hay que hablar de siguientes.
Y hay que ver si está bien.
Es esto:
- C1. \( \exists{!ab}\; a\neq{b}\wedge f(a,a,a)=a\wedge f(b,b,a)=b \)
abreviamos
\( \xi \equiv{a\neq{b}\wedge f(a,a,a)=a\wedge f(b,b,a)=b} \)
y escribimos el resto de los axiomas
- C2. \( \forall{x\;\xi \rightarrow{f(x,b,b)\neq{a}}} \)
- C3. \( \forall{xy\;\xi\rightarrow{(f(x,b,b)=f(y,b,b)\rightarrow{x=y)}}} \)
- C4. \( \forall{xy\;\xi\rightarrow{}f(x,a,y)=y} \)
- C5. \( \forall{xyz\;\xi\rightarrow{}f(x,y,f(z,b,b))=f(f(x,y,z),b,b))} \)
- C6. \( \forall{xy\;\xi\rightarrow{f(x,f(y,b,b),a)=f(x,y,x)}} \)
- c7. Para cada fórmula \( \phi \) con al menos una variable libre \( x \); es un axioma:
\( \xi \rightarrow(\phi (a)\;\wedge\;\forall x\;(\phi (x)\rightarrow \phi (f(x,b,b))\rightarrow \forall x\;\phi(x)) \)
En esta presentación, a y b son variables, pero si anteponemos la condición \( \xi \), funcionan como 0 y 1 respectivamente. Y, por supuesto, \( f(x,b,b) \) expresa el siguiente de x.
Como ves, sigue siendo un engorro y de todos modos utilizamos una abreviatura, aunque esta vez describe una fórmula y no designadores.
No se si C1 permite ahorrar algún axioma.
Saludos.
