Autor Tema: Proyectos de Cursos

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26 Enero, 2010, 02:37 am
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argentinator

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28 Febrero, 2010, 09:05 am
Respuesta #1

enloalto

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Hola a todos, permítanme contarles que ya termino este semestre la carrera de matemática y para mi tesis necesito estudiar varias variables complejas, mi asesor me dijo que va a trabajar con el libro ANALYTIC FUNCTIONS OF SEVERAL COMPLEX VARIABLES de Robert Gunning y Hugo Rossi, ya tengo el libro y me gustaría escribirlo en el foro, dejo en claro que no sería condiderado como un curso, pues recién lo voy a ver, sería mas bien para estudiarlo aca, lo escribo, y trato de desarrollar las demostraciones detalladamente, y de paso cuando necesite exponer a mi profesor lo imprimo de aquí, jeje  ;D ;D.

Quisiera saber si es posible.
Muchas gracias.
Saludos
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

28 Febrero, 2010, 10:38 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Creo que encaja con la idea de argentinator acerca de los cursos: teniendo un libro de referencia, no es necesario que el que dicta el curso lo haya estudiado previamente.

Saludos. 

28 Febrero, 2010, 11:02 am
Respuesta #3

enloalto

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Hola Phidias, muchas gracias por tu respuesta, siendo así, empiezo.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

28 Febrero, 2010, 11:09 am
Respuesta #4

enloalto

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Bueno, como dije en el primer mensaje, voy a empezar a escribir sobre varias variables complejas. La estructura será la siguiente:
Voy a traducir como dice el libro, y después lo analizaré con detalle, si alguien más está interesado en acompañarme, bienvenido sea.

Sin más preámbulos comienzo.
Funciones Analíticas de Varias Variables Complejas

Capítulo I
Funciones Holomorfas


A. Las Propiedades Elementales de las Funciones Holomorfas

El campo de los número reales será denotado por \( \mathbb{R}^n \), y el campo de los números complejos por \( \mathbb{C} \); ambos son espacios topológicos con sus estructuras familiares. Al estudiar la teoría de funciones de varias variables complejas, estamos interesados particularmente en estudiar al espacio \( \mathbb{C}^n=\mathbb{C}\times{\ldots\mathbb{C}} \), el producto Cartesiano de \( n \) copias del plano complejo. Para los puntos de \( \mathbb{C}^n \) utilizaremos la notación \( z=(z_1,...,z_n) \), donde \( z_j=x_j+iy_j\in{\mathbb{C}} \) y \( x_j,y_j \) son números reales (e \( i \) es la raíz cuadrada de \( -1 \)). El valor absoluto de un número complejo \( z_1 \) será denotado por \( |z_1| \) , y para \( z\in{\mathbb{C}^n} \), definimos

\( |z|=\mbox{máx}\{|z_j|;1\leq{j\leq{n}}\} \).


Un polidisco abierto ( o policilindro abierto) en \( \mathbb{C}^n \) es un subconjunto \( \triangle (w;r)\subseteq{\mathbb{C}^n} \) de la forma

(1) \( \triangle (w;r)=\triangle (w_1,...,w_n;r_1,...,r_n)=\{z\in{\mathbb{C}^n};|z_j-w_j|<r_j,\quad 1\leq{j\leq{n}}\} \);

el punto \( w\in{\mathbb{C}^n} \) es llamado el centro del polidisco, y

\( r=(r_1,...,r_n)\in{\mathbb{R}^n} \),   (\( r_j>0 \)),

es llamado el poliradio. La clausura de \( \triangle (w;r) \) será llamada el polidisco cerrado con centro \( w \) y poliradio \( r \), y será denotado por \( \overline{\triangle} (w;r) \). Más generalmente, si \( D_j\subset{\mathbb{C}} \) son subdominios (subconjuntos abiertos y conexos) del plano complejo, el conjunto producto \( D=D_i \times\ldots\times{D_n}\subset{\mathbb{C}^n} \) será llamado un polidominio abierto. Un polidisco es el caso espacial en el que los conjuntos \( D_j \) son discos; similarmente, un policuadrado abierto es el caso especial en el cual los conjuntos \( D_j \) son cuadrados abiertos en el plano. Los polidiscos abiertos forman una base para la colección de conjuntos abiertos en la topología del producto Cartesiano sobre \( \mathbb{C}^n \). Considerado solamente como un espacio topológico(o como un espacio vectorial real), \( \mathbb{C}^n \) es desde luego lo mismo que \( \mathbb{R}^{2n} \), el espacio Euclidiano ordinario de dimensión \( 2n \). Así, podemos imponer sobre \( \mathbb{C}^n \) de una manera natural cualquiera de las estructuras de \( \mathbb{R}^{2n} \); por ejemplo, la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^{2n} \) se convierte en una medida en \( \mathbb{C}^{n} \), la cual será denotada por \( dV \).

Una función compleja valuada \( f \) en un subconjunto \( D\subseteq{\mathbb{C}^{n}} \) es simplemente una aplicación de \( D \) en el plano complejo; el valor de la función \( f \) en el punto \( z\in{D} \) será denotado por \( f(z) \), como es usual.

1. Definición.
Una función compleja valuada, \( f \), definida en un subconjunto abierto \( D\subset{\mathbb{C}^n} \) es llamada holomorfa en \( D \) si cada punto \( w\in{D} \) tiene una vecindad abierta \( U \), con \( w\in{U\subseteq{D}} \), tal que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias

(2)
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

la cual converge para todo \( z\in{U} \). el conjunto de todas las funciones holomorfas en \( D \) será denotado por \( \mathcal{O}_D \).

Note que los polinomios en las funciones \( z_1,...,z_n \) son holomorfas en todo \( \mathbb{C}^n \). Es un resultado familiar del análisis elemental que una expansión en serie de potencias de la forma (2) es absolutamente convergente en todos los polidiscos abiertos suficientemente pequeños \( \triangle (w;r) \) centrados en el punto \( w \).

Consecuencias

(1) La función \( f \) es continua en tales polidiscos \( \triangle (w;r) \); y de aquí, cualquier función holomorfa en \( D \) es también continua en \( D \).

(2) Las series de potencias (2) pueden ser reordenadas arbitrariamente y aún así seguirán representando a la misma función \( f \). En particular, si las coordenadas \( z_1,...,z_{j-1},z_{j+1},...,z_n \) son cualesquiera valores fijos dados \( a_1,...,a_{j-1},a_{j+1},...,a_n \), entonces esta serie de potencias puede ser ordenada como una serie de potencias convergente en la variable \( z_j \) , para \( z_j \) suficientemente cerca a \( w_j \); y esto se cumple para cualquier \( a_i \) suficientemente cerca a \( w_i \). Es decir, la función \( f \) es holomorfa en cada variable por separado en todo el dominio donde es analítica; así la derivada compleja ordinaria con respecto a una de las variables \( z_j \) está bien definida, y será denotada por \( \partial /\partial z_j \). El recíproco de lo mencionado en negrita también es cierto, como como sigue.

2. Teorema.(Lema de Osgood).
Si una función compleja valuada,\( f \), es continua en un conjunto abierto \( D\subseteq{\mathbb{C}^n} \), y es holomorfa en cada variable por separado, entonces es holomorfa en \( D \).
Demostración. Elijamos cualquier punto \( w\in{D} \), y un polidisco cerrado \( \overline{\triangle}(w;r)\subset{D} \). Puesto que \( f \) es holomorfa en cada variable por separado  en una vecindad abierta de \( \overline{\triangle}(w;r) \), repitiendo la fórmula de Cauchy para funciones de una variable compleja tenemos la fórmula

(3)                           \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_1-\zeta_1|=r_1}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _1}{\zeta _1-z_1}\displaystyle\int\limits_{|w_2-\zeta_2|=r_2}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _2}{\zeta _2-z_2}\ldots\displaystyle\int\limits_{|w_n-\zeta_n|=r_n}^{}\displaystyle\frac{d\zeta _n}{\zeta _n-z_n}f(\zeta), \)

para todo \( z\in{\triangle (w;r)} \), \( \zeta=(\zeta_1,...,\zeta_n) \). Para cualquier punto fijado \( z \), el integrando en (3) es continuo en el dominio compacto de integración; de aquí, la integral iterada en (3) puede ser reemplazada por la simple integral múltiple

(4)                           \( f(z)=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)} \).

Pero ahora, nuevamente para un punto fijado \( z\in{\triangle (w;r)} \), la expansión en serie de potencias
\( \displaystyle\frac{1}{(\zeta _1-z_1)\ldots(\zeta _n-z_n)}=\displaystyle\sum_{v_1\ldots v_n=0}^{\infty}{\displaystyle\frac{(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-_n)^{v_n}}{(\zeta _1-w_1)^{v_1+1}\ldots (\zeta _n-w_n)^{v_n+1}}} \)

es absolutamente convergente para todos los puntos \( \zeta \) en el dominio de integración en (4); consecuetemente, después de sustituir esta expansión en (4) e intercambiando los
ordenes de sumatoria e intregración, se sigue inmediatamente que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias de la forma (2), con

(5)                           \( a_{v_1\ldots v_n}=\left({\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\right)^n=\displaystyle\int\limits_{|w_j-\zeta_j|=r_j}^{}\displaystyle\frac{f(\zeta)d\zeta _1\ldots d\zeta_n}{(\zeta _1-w_1)^{v_1+1}\ldots(\zeta _n-w_n)^{v_n+1}}. \)

Por tanto, \( f \) es una función holomorfa, como se deseaba probar.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

28 Febrero, 2010, 07:12 pm
Respuesta #5

enloalto

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1. Definición.
Una función compleja valuada, \( f \), definida en un subconjunto abierto \( D\subset{\mathbb{C}^n} \) es llamada holomorfa en \( D \) si cada punto \( w\in{D} \) tiene una vecindad abierta \( U \), con \( w\in{U\subseteq{D}} \), tal que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias

(2)
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

la cual converge para todo \( z\in{U} \). el conjunto de todas las funciones holomorfas en \( D \) será denotado por \( \mathcal{O}_D \).


Recordemos que polinomio de una variable compleja \( z \) es de la forma
\( p(z)=\displaystyle\sum_{j=0}^n{a_jz^j} \)
y
un polinomio en varias variables \( z=(z_1,...,z_n) \) es de la forma
\( p(z)=p(z_1,...,z_n)=\displaystyle\sum_{v_1=0}^{m_1}\displaystyle\sum_{v_2=0}^{m_2}\ldots \displaystyle\sum_{v_n=0}^{m_n}{a_{v_1v_2...v_n}z_1^{v_1}z_2^{v_2}...z_n^{v_n}}} \)
Denotando
\( \displaystyle\sum_{v_1=0}^{m_1}\displaystyle\sum_{v_2=0}^{m_2}\ldots \displaystyle\sum_{v_n=0}^{m_n}=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{m_1m_2...m_n} \)
y
tenemos la forma
\( p(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{m_1m_2...m_n}{a_{v_1...v_n}(z)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

También recordemos que si una función \( f \) es holomorfa en un punto \( w\in{\mathbb{C}} \), entonces su expansión en serie de potencias es
\( f(z)=\displaystyle\sum_{j=0}^{+\infty}{a_j(z-w)^j} \), para todo \( z \) en una vecindad abierta de \( w \).

De la misma manera que pasamos de un polinomio de una variable a uno de varias variables, vemos que la manera natural de definir la expansión en serie de potencias de una función de varias variables como

\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

28 Febrero, 2010, 07:04 pm
Respuesta #6

argentinator

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Hola enloalto.

¿Has leído las instrucciones para dictar cursos o cosas similares?
Hay que pedir a un moderador que te abra un hilo en la parte de Dictado, y después armar los hilos de Organización y de Comentarios.

Me parece bien que se abra un curso de Variable Compleja, pero... ¿es lo más adecuado?
No todo tiene que convertirse en curso, y está el foro de variable compleja para responder dudas puntuales.

No sé.
Me parece que esto habría que pensarlo mejor.
Fijate que estabas con lo del libro de Lages Lima, y está medio suspendido.
¿Qué ocurre si empezamos a dejar multitud de cursos "empezados" y sin terminar?

Por una parte, enloalto, admiro las ganas que tenés de estudiar.
Pero opino que hay que pensar las cosas mejor.
Además, dentro de los "requisitos" de comenzar un curso está el de "haber reflexionado si se está en condiciones de terminarlo".

Yo por ejemplo tengo ganas de dar todos los cursos de matemáticas de la licenciatura que sean posibles.
Pero ya con los dos en que estoy, vengo muy complicado.

Bueno. Te dejo mis dudas planteadas, enloalto.

Un abrazo

28 Febrero, 2010, 07:25 pm
Respuesta #7

enloalto

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Hola argentinator, muchas gracias por tus dudas, sí lei las indicaciones para crear un curso, pero como dije en el primer mensaje, esto no sería un curso, digamos como un borrador, de tal manera que no tiene fecha de fin, por lo que no pedí a ningún moderador que lo ponga en el post de foro, y puesto que estamos trabajando seguido con el curso de Topología, te lo hubiera pedido a ti. Pero si crees que esto debería ir en el post de variable compleja, te agradecería infinitamente que lo muevas ahí.

Respecto a lo de Curso de Análisis en \( \mathbb{R}^n \) he avanzado estos días como conversamos y no pienso dejarlo, al igual que seguiré luchando con los ejercicios de topología, puesto que aca también al inicio de las notas hablo de base

Los polidiscos abiertos forman una base para la colección de conjuntos abiertos en la topología del producto Cartesiano sobre \( \mathbb{C}^n \). Considerado solamente como un espacio topológico(o como un espacio vectorial real), \( \mathbb{C}^n \) es desde luego lo mismo que \( \mathbb{R}^{2n} \), el espacio Euclidiano ordinario de dimensión \( 2n \). Así, podemos imponer sobre \( \mathbb{C}^n \) de una manera natural cualquiera de las estructuras de \( \mathbb{R}^{2n} \); por ejemplo, la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^{2n} \) se convierte en una medida en \( \mathbb{C}^{n} \), la cual será denotada por \( dV \).

y estoy "fresco" en eso.

Otra vez muchas gracias,

Por una parte, enloalto, admiro las ganas que tenés de estudiar.

Tengo que aprovechar mi juventud  ;D ;D

Saludos.
Un abrazo.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

28 Febrero, 2010, 07:59 pm
Respuesta #8

argentinator

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Bueno, es extraño eso de "un borrador de curso", jeje, pero bueno, hay que estar abierto a posibilidades nuevas que la gente del foro pueda necesitar.
Es como si "estudiaras en público", como en un "Gran Hermano" de "variable compleja".  ::)

Entre las reglas de "dictar un curso" está la de "estar seguro de su finalización", y puse esa norma porque me pareció muy importante para la salud del foro. Mi gran temor es que queden proyectos sin empezar, y deseo transmitir mi preocupación a todos los demás.

En cuanto a la posibilidad de dar un "curso" concreto de variable compleja, creo que hay que preparar o planificar un poco las cosas, y es cierto que ahora no puedo ocuparme de eso. Me gustará participar en la organización de un tal curso  ;) , aunque puede haber varios interesados más en estar como "responsables" o "colaboradores". Variable compleja es un tema que da para muchos tipos de contribuciones distintas.

Bueno, gracias por tus contribuciones al foro.
Saludos



01 Marzo, 2010, 07:18 pm
Respuesta #9

enloalto

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Continuando la respuesta número 4.

1. Definición.
Una función compleja valuada, \( f \), definida en un subconjunto abierto \( D\subset{\mathbb{C}^n} \) es llamada holomorfa en \( D \) si cada punto \( w\in{D} \) tiene una vecindad abierta \( U \), con \( w\in{U\subseteq{D}} \), tal que la función \( f \) tiene una expansión en serie de potencias

(2)
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

la cual converge para todo \( z\in{U} \). el conjunto de todas las funciones holomorfas en \( D \) será denotado por \( \mathcal{O}_D \).

Note que los polinomios en las funciones \( z_1,...,z_n \) son holomorfas en todo \( \mathbb{C}^n \). Es un resultado familiar del análisis elemental que una expansión en serie de potencias de la forma (2) es absolutamente convergente en todos los polidiscos abiertos suficientemente pequeños \( \triangle (w;r) \) centrados en el punto \( w \).

Tomemos primero el caso en que \( w=(0,...,0)\in{U_w} \), luego \( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}z_1^{v_1}\ldots z_n^{v_n}} \)

Veamos que sucede con dos variables, \( z=(z_1,z_2)\in{\mathbb{C}^2} \), así la función tiene la forma
\( f(z)=f(z_1,z_2)=\displaystyle\sum_{v_1v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}} \)

Desarrollando la serie de potencias, tenemos

\( \displaystyle\sum_{v_1v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}}=\displaystyle\sum_{v_1=0}^{+\infty}{\left({\displaystyle\sum_{v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}}}\right)}=\displaystyle\sum_{v_2=0}^{+\infty}{\left({a_{0v_2}z_2^{v_2}}\right)}+\displaystyle\sum_{v_1\geq 1}^{+\infty}{\left({\displaystyle\sum_{v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}}}\right)} \)
                 \( =a_{00}+\displaystyle\sum_{v_2\geq{1}}^{+\infty}{a_{0v_2}z_2^{v_2}}+\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2=0}}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}} \)


Ordenando la suma, obtenemos para el caso de dos variables:

\( \displaystyle\sum_{v_1v_2=0}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1}z_2^{v_2}}=a_{00}+z_1\cdot\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2=0}}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1-1}z_2^{v_2}}+z_2\cdot\displaystyle\sum_{v_2\geq{1}}^{+\infty}{a_{0v_2}z_2^{v_2-1}} \)

Es decir
\( f(z)=f(z_1,z_2)=a_{00}+z_1\cdot\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2=0}}^{+\infty}{a_{v_1v_2}z_1^{v_1-1}z_2^{v_2}}+z_2\cdot\displaystyle\sum_{v_2\geq{1}}^{+\infty}{a_{0v_2}z_2^{v_2-1}} \)

Por inducción llegamos a
\( f(z)=f(z_1,...,z_n)=a_{0...0}+z_1\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2...v_n=0}}^{+\infty}{a_{v_1...v_n}z_1^{v_1-1}z_2^{v_2}...z_n^{v_n}}}+ \)

\( +z_2\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_2\geq{1}\\v_3...v_n=0}}^{+\infty}{a_{0v_2...v_n}z_2^{v_2-1}z_3^{v_3}...z_n^{v_n}}}+\ldots z_n\cdot\displaystyle\sum_{v_n\geq{1}}^{+\infty}{a_{00...v_n}z_n^{v_n-1}} \)

Para el caso general
\( f(z)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)

Defino
\( g(u)=f(u+w)=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(u_1)^{v_1}\ldots(u_n)^{v_n}}=\displaystyle\sum_{v_1...v_n=0}^{\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\ldots(z_n-w_n)^{v_n}} \)
Luego

\( f(u+w)=g(u)=a_{0...0}+u_1\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2...v_n=0}}^{+\infty}{a_{v_1...v_n}u_1^{v_1-1}u_2^{v_2}...u_n^{v_n}}}+ \)

\( +u_2\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_2\geq{1}\\v_3...v_n=0}}^{+\infty}{a_{0v_2...v_n}u_2^{v_2-1}u_3^{v_3}...u_n^{v_n}}}+\ldots u_n\cdot\displaystyle\sum_{v_n\geq{1}}^{+\infty}{a_{00...v_n}u_n^{v_n-1}} \)

Haciendo \( u+w=z \) se tiene \( u=z-w \), luego

\( \boxed{f(z)=a_{0...0}+(z_1-w_1)\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_1\geq{1}\\v_2...v_n=0}}^{+\infty}{a_{v_1...v_n}(z_1-w_1)^{v_1-1}(z_2-w_2)^{v_2}...(z_n-w_n)^{v_n}}}+(z_2-w_2)\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{v_2\geq{1}\\v_3...v_n=0}}^{+\infty}{a_{0v_2...v_n}(z_2-w_2)^{v_2-1}(z_3-w_3)^{v_3}...(z_n-w_n)^{v_n}}}+\ldots (z_n-w_n)\cdot\displaystyle\sum_{v_n\geq{1}}^{+\infty}{a_{00...v_n}(z_n-w_n)^{v_n-1}}} \)

Este resultado no me lleva a nada, pero me gusta y lo dejo por si acaso.
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