[RDC]

Adjunto la traducción de un texto de Michael McClennen (Dc de ciencia computacional de la Universidad de Michigan). Que tiene que ver con lo que restituto parece intentar indagar en este otro hilo: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=126295.msg517012;topicseen#msg517012

Artículo:

Spoiler

Sí, el argumento diagonal de Cantor es realmente correcto. Sin embargo, hay un añadido importante: no implica lo que muchos dicen que implica.

Específicamente, el argumento diagonal por sí mismo no implica la existencia de conjuntos más grandes que el conjunto de los números naturales. Esta implicación solo se sostiene en ciertos marcos lógicos, y no en otros. La buena noticia es que puedes elegir en qué marco lógico deseas trabajar. Puedes optar por hacer matemáticas en un marco en el que algunos conjuntos infinitos son más grandes que otros, o puedes elegir hacer matemáticas bajo un conjunto diferente de suposiciones bajo las cuales todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño. Ambas son elecciones igualmente válidas.

La mayoría de los matemáticos hoy eligen trabajar dentro del marco lógico llamado ZFC, en el cual el argumento diagonal sí implica la existencia de diferentes tamaños de infinito. Sin embargo, no hay razón para creer que ZFC es una descripción correcta del mundo, tanto como cualquiera de las alternativas. La mayoría de los matemáticos usan ZFC por conveniencia, porque les permite probar ciertas afirmaciones que los matemáticos piensan que deberían ser probables, como "todo espacio vectorial tiene una base". Pero, en última instancia, ZFC es una herramienta que los matemáticos usan para probar cosas y no una descripción de "cómo es realmente el mundo".

Me molesta cuando la gente generaliza inapropiadamente de la declaración "X es verdadero bajo ZFC" a "X es verdadero". Desafortunadamente, muchas personas hacen tales generalizaciones, ya sea explícitamente o sin pensar.

Si uno en cambio elige hacer matemáticas bajo la suposición básica de que "nada puede decirse que existe a menos que pueda caracterizarse de manera finita", entonces las consecuencias del argumento diagonal son muy diferentes. Las describiré a continuación. Personas como yo, que hacemos matemáticas basadas en esta suposición o alguna formulación similar, tendemos a llamarnos a nosotros mismos finitistas. Esta suposición no es consistente con el Axioma de Elección, pero sí es consistente con muchas formulaciones de la teoría de conjuntos que no contienen ese axioma. Tales formulaciones, junto con la suposición de caracterización finita, proporcionan una base sólida para el cálculo, la teoría de números, la mayor parte del análisis real y complejo, casi todo el álgebra, y en particular toda la matemática que subyace a la ciencia, la ingeniería, la informática y todas las demás empresas analíticas que usamos para comprender y manipular nuestro mundo físico. En resumen, trabajar bajo esta suposición no te limita en lo más mínimo a menos que seas un matemático que quiere probar teoremas específicos que dependen del Axioma de Elección.

Lo que el argumento diagonal implica realmente

Cantor presentó varias versiones diferentes de su argumento diagonal. En esencia, la formulación más rigurosa de estas demuestra que la siguiente declaración es absolutamente y sin lugar a dudas verdadera, dadas algunas nociones básicas de lo que es un conjunto:

"Existen algunos conjuntos infinitos que no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales".

Eso es todo. Una declaración muy significativa, pero no aparentemente revolucionaria.

Lo que esta declaración significa depende enteramente de otras suposiciones que elijas como base para tu razonamiento matemático. En particular, depende de un concepto llamado ordenamiento bien fundado.

Ordenamiento bien fundado

Un conjunto infinito S se puede llamar "bien ordenado" o "susceptible de ser bien ordenado" si y solo si existe una relación que asigna a cada subconjunto de S un elemento de ese subconjunto que puede considerarse el "primer elemento". En otras palabras, un ordenamiento bien fundado elige un primer elemento de cada subconjunto posible. Si tal relación existe, entonces, en principio, puedes comenzar con el "primer elemento" del conjunto entero y, al eliminar este elemento del conjunto y luego sucesivamente eliminar el "primer elemento" de cada subconjunto restante, eventualmente puedes recorrer todo el conjunto en una única secuencia extendida.

Para ser claros, este tipo de ordenamiento es diferente del usual ordenamiento de "mayor o menor" que aplicamos a los números. Por ejemplo, el ordenamiento usual de los enteros no es un ordenamiento bien fundado, porque no tiene un elemento más pequeño. Un posible ordenamiento bien fundado de los enteros es: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, …

Está claro que muchos conjuntos comunes como los números naturales, los enteros y los racionales tienen un ordenamiento bien fundado. Hay otros, como el continuo y el conjunto potencia de los números naturales, para los cuales esto no es tan claro.

Ahora, volvamos nuestra atención de nuevo al argumento diagonal.

Si un conjunto S tiene un ordenamiento bien fundado, y si S también es del mismo tamaño que el conjunto de los números naturales, entonces este ordenamiento bien fundado genera implícitamente una correspondencia uno a uno entre S y los números naturales. El "primer elemento" de S corresponde a 0, el "primer elemento" del resto corresponde a 1, el "primer elemento" después de eso corresponde a 2, y así sucesivamente para todos los demás. Por lo tanto, la conclusión del argumento diagonal puede reformularse de la siguiente manera:

"Existen algunos conjuntos infinitos para los cuales una de las siguientes debe ser verdadera: o tal conjunto no tiene un ordenamiento bien fundado, o es más grande que el conjunto de los números naturales".

Hay muchos conjuntos de importancia fundamental que tienen esta propiedad, incluido el continuo (los números reales), el conjunto de todas las funciones del continuo a sí mismo, el conjunto potencia de los números naturales y muchos otros conjuntos derivados de estos. Si estás haciendo matemáticas que tocan cualquiera de estos conjuntos, puedes elegir cualquiera de estas posibilidades que te guste, pero te ves obligado a elegir una de ellas. Este es el verdadero significado del argumento diagonal.

Diferentes suposiciones

Como mencioné anteriormente, si las matemáticas en las que estás interesado son las matemáticas que son necesarias para la ciencia, la ingeniería y todas las demás formas de entender el mundo físico, eres libre de elegir cualquiera de estas posibilidades. Tu elección no afectará ninguna de las conclusiones matemáticas que necesitas para hacer tu trabajo. En este sentido, para todos excepto los matemáticos puros, la elección es puramente filosófica.

Hasta donde sé, todos los que reflexionan profundamente sobre este tema terminan eligiendo una u otra opción de manera absoluta. La mayoría (pero no todos) de los matemáticos de los siglos XX y XXI han terminado eligiendo la segunda opción, que algunos conjuntos son más grandes que los números naturales. Lo hacen basando explícitamente su matemática en la suposición de que "Todos los conjuntos infinitos tienen un orden bien fundado". Esta declaración fue reformulada por Zermelo como el Axioma de Elección lógicamente equivalente. Como mencioné anteriormente, esta suposición tiene el beneficio de permitir la demostración de teoremas como "todo espacio vectorial tiene una base" y "todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal". Estos tipos de teoremas no son necesarios si uno trabaja solo con la matemática que describe el mundo físico, porque esta matemática se basa en espacios vectoriales específicos cuyas bases son conocidas, anillos específicos que tienen ideales maximals conocidos y otros conjuntos que están explícitamente definidos para tener las propiedades necesarias para los usos a los que se destinan.

Personas como yo que eligen la primera opción sienten que afirmar la existencia de conjuntos cuya membresía nunca puede ser conocida conduce a la absurdidad. Fundamentamos nuestro razonamiento, en cambio, basando explícitamente nuestra matemática en la suposición de que "Todos los conjuntos infinitos tienen solo aquellos miembros que pueden ser caracterizados de manera única de alguna forma finita". Bajo esta suposición, cosas que no pueden ser abarcadas de manera finita como las funciones de elección o "secuencias infinitas de dígitos aleatorios" no existen realmente y no son temas adecuados para el razonamiento matemático.

No importa qué lenguaje o sistema formal se use para describir objetos matemáticos, existe alguna codificación que mapea cada declaración diferente en ese lenguaje o sistema a un número natural único. Por lo tanto, el conjunto de todas las descripciones únicas posibles de cosas es igual en tamaño al conjunto de los números naturales. Esto implica que el conjunto de todas las diferentes cosas matemáticas que podrían existir posiblemente es igual en tamaño a los números naturales. Bajo esta suposición, simplemente estamos volviendo a la idea de infinito que fue universalmente aceptada hasta mediados del siglo XIX: hay conjuntos finitos y hay conjuntos infinitos, y todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño.

Si eliges este tipo de marco, entonces el argumento diagonal tiene una implicación muy diferente. Implica que ciertos conjuntos, aquellos a los que se refiere como "infinitos no contables", no tienen un orden bien fundado. Son incontables no porque sean demasiado grandes para ser contados, sino porque no existe ninguna forma de que puedan ser ordenados para ser contados.

Quiero enfatizar nuevamente que esta es una forma igualmente válida de ver el argumento diagonal y es una perspectiva que, de hecho, un número no trivial de matemáticos adopta. Son una minoría decidida, pero existen.

[cerrar]

Sólo soy un aficionado de estos temas, pero me ha parecido interesante.

¿Qué opináis?

un saludo


 




 

[feriva]

Adjunto la traducción de un texto de Michael McClennen (Dc de ciencia computacional de la Universidad de Michigan). Que tiene que ver con lo que restituto parece intentar indagar en este otro hilo: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=126295.msg517012;topicseen#msg517012

Artículo:

Spoiler

Sí, el argumento diagonal de Cantor es realmente correcto. Sin embargo, hay un añadido importante: no implica lo que muchos dicen que implica.

Específicamente, el argumento diagonal por sí mismo no implica la existencia de conjuntos más grandes que el conjunto de los números naturales. Esta implicación solo se sostiene en ciertos marcos lógicos, y no en otros. La buena noticia es que puedes elegir en qué marco lógico deseas trabajar. Puedes optar por hacer matemáticas en un marco en el que algunos conjuntos infinitos son más grandes que otros, o puedes elegir hacer matemáticas bajo un conjunto diferente de suposiciones bajo las cuales todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño. Ambas son elecciones igualmente válidas.

La mayoría de los matemáticos hoy eligen trabajar dentro del marco lógico llamado ZFC, en el cual el argumento diagonal sí implica la existencia de diferentes tamaños de infinito. Sin embargo, no hay razón para creer que ZFC es una descripción correcta del mundo, tanto como cualquiera de las alternativas. La mayoría de los matemáticos usan ZFC por conveniencia, porque les permite probar ciertas afirmaciones que los matemáticos piensan que deberían ser probables, como "todo espacio vectorial tiene una base". Pero, en última instancia, ZFC es una herramienta que los matemáticos usan para probar cosas y no una descripción de "cómo es realmente el mundo".

Me molesta cuando la gente generaliza inapropiadamente de la declaración "X es verdadero bajo ZFC" a "X es verdadero". Desafortunadamente, muchas personas hacen tales generalizaciones, ya sea explícitamente o sin pensar.

Si uno en cambio elige hacer matemáticas bajo la suposición básica de que "nada puede decirse que existe a menos que pueda caracterizarse de manera finita", entonces las consecuencias del argumento diagonal son muy diferentes. Las describiré a continuación. Personas como yo, que hacemos matemáticas basadas en esta suposición o alguna formulación similar, tendemos a llamarnos a nosotros mismos finitistas. Esta suposición no es consistente con el Axioma de Elección, pero sí es consistente con muchas formulaciones de la teoría de conjuntos que no contienen ese axioma. Tales formulaciones, junto con la suposición de caracterización finita, proporcionan una base sólida para el cálculo, la teoría de números, la mayor parte del análisis real y complejo, casi todo el álgebra, y en particular toda la matemática que subyace a la ciencia, la ingeniería, la informática y todas las demás empresas analíticas que usamos para comprender y manipular nuestro mundo físico. En resumen, trabajar bajo esta suposición no te limita en lo más mínimo a menos que seas un matemático que quiere probar teoremas específicos que dependen del Axioma de Elección.

Lo que el argumento diagonal implica realmente

Cantor presentó varias versiones diferentes de su argumento diagonal. En esencia, la formulación más rigurosa de estas demuestra que la siguiente declaración es absolutamente y sin lugar a dudas verdadera, dadas algunas nociones básicas de lo que es un conjunto:

"Existen algunos conjuntos infinitos que no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales".

Eso es todo. Una declaración muy significativa, pero no aparentemente revolucionaria.

Lo que esta declaración significa depende enteramente de otras suposiciones que elijas como base para tu razonamiento matemático. En particular, depende de un concepto llamado ordenamiento bien fundado.

Ordenamiento bien fundado

Un conjunto infinito S se puede llamar "bien ordenado" o "susceptible de ser bien ordenado" si y solo si existe una relación que asigna a cada subconjunto de S un elemento de ese subconjunto que puede considerarse el "primer elemento". En otras palabras, un ordenamiento bien fundado elige un primer elemento de cada subconjunto posible. Si tal relación existe, entonces, en principio, puedes comenzar con el "primer elemento" del conjunto entero y, al eliminar este elemento del conjunto y luego sucesivamente eliminar el "primer elemento" de cada subconjunto restante, eventualmente puedes recorrer todo el conjunto en una única secuencia extendida.

Para ser claros, este tipo de ordenamiento es diferente del usual ordenamiento de "mayor o menor" que aplicamos a los números. Por ejemplo, el ordenamiento usual de los enteros no es un ordenamiento bien fundado, porque no tiene un elemento más pequeño. Un posible ordenamiento bien fundado de los enteros es: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, …

Está claro que muchos conjuntos comunes como los números naturales, los enteros y los racionales tienen un ordenamiento bien fundado. Hay otros, como el continuo y el conjunto potencia de los números naturales, para los cuales esto no es tan claro.

Ahora, volvamos nuestra atención de nuevo al argumento diagonal.

Si un conjunto S tiene un ordenamiento bien fundado, y si S también es del mismo tamaño que el conjunto de los números naturales, entonces este ordenamiento bien fundado genera implícitamente una correspondencia uno a uno entre S y los números naturales. El "primer elemento" de S corresponde a 0, el "primer elemento" del resto corresponde a 1, el "primer elemento" después de eso corresponde a 2, y así sucesivamente para todos los demás. Por lo tanto, la conclusión del argumento diagonal puede reformularse de la siguiente manera:

"Existen algunos conjuntos infinitos para los cuales una de las siguientes debe ser verdadera: o tal conjunto no tiene un ordenamiento bien fundado, o es más grande que el conjunto de los números naturales".

Hay muchos conjuntos de importancia fundamental que tienen esta propiedad, incluido el continuo (los números reales), el conjunto de todas las funciones del continuo a sí mismo, el conjunto potencia de los números naturales y muchos otros conjuntos derivados de estos. Si estás haciendo matemáticas que tocan cualquiera de estos conjuntos, puedes elegir cualquiera de estas posibilidades que te guste, pero te ves obligado a elegir una de ellas. Este es el verdadero significado del argumento diagonal.

Diferentes suposiciones

Como mencioné anteriormente, si las matemáticas en las que estás interesado son las matemáticas que son necesarias para la ciencia, la ingeniería y todas las demás formas de entender el mundo físico, eres libre de elegir cualquiera de estas posibilidades. Tu elección no afectará ninguna de las conclusiones matemáticas que necesitas para hacer tu trabajo. En este sentido, para todos excepto los matemáticos puros, la elección es puramente filosófica.

Hasta donde sé, todos los que reflexionan profundamente sobre este tema terminan eligiendo una u otra opción de manera absoluta. La mayoría (pero no todos) de los matemáticos de los siglos XX y XXI han terminado eligiendo la segunda opción, que algunos conjuntos son más grandes que los números naturales. Lo hacen basando explícitamente su matemática en la suposición de que "Todos los conjuntos infinitos tienen un orden bien fundado". Esta declaración fue reformulada por Zermelo como el Axioma de Elección lógicamente equivalente. Como mencioné anteriormente, esta suposición tiene el beneficio de permitir la demostración de teoremas como "todo espacio vectorial tiene una base" y "todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal". Estos tipos de teoremas no son necesarios si uno trabaja solo con la matemática que describe el mundo físico, porque esta matemática se basa en espacios vectoriales específicos cuyas bases son conocidas, anillos específicos que tienen ideales maximals conocidos y otros conjuntos que están explícitamente definidos para tener las propiedades necesarias para los usos a los que se destinan.

Personas como yo que eligen la primera opción sienten que afirmar la existencia de conjuntos cuya membresía nunca puede ser conocida conduce a la absurdidad. Fundamentamos nuestro razonamiento, en cambio, basando explícitamente nuestra matemática en la suposición de que "Todos los conjuntos infinitos tienen solo aquellos miembros que pueden ser caracterizados de manera única de alguna forma finita". Bajo esta suposición, cosas que no pueden ser abarcadas de manera finita como las funciones de elección o "secuencias infinitas de dígitos aleatorios" no existen realmente y no son temas adecuados para el razonamiento matemático.

No importa qué lenguaje o sistema formal se use para describir objetos matemáticos, existe alguna codificación que mapea cada declaración diferente en ese lenguaje o sistema a un número natural único. Por lo tanto, el conjunto de todas las descripciones únicas posibles de cosas es igual en tamaño al conjunto de los números naturales. Esto implica que el conjunto de todas las diferentes cosas matemáticas que podrían existir posiblemente es igual en tamaño a los números naturales. Bajo esta suposición, simplemente estamos volviendo a la idea de infinito que fue universalmente aceptada hasta mediados del siglo XIX: hay conjuntos finitos y hay conjuntos infinitos, y todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño.

Si eliges este tipo de marco, entonces el argumento diagonal tiene una implicación muy diferente. Implica que ciertos conjuntos, aquellos a los que se refiere como "infinitos no contables", no tienen un orden bien fundado. Son incontables no porque sean demasiado grandes para ser contados, sino porque no existe ninguna forma de que puedan ser ordenados para ser contados.

Quiero enfatizar nuevamente que esta es una forma igualmente válida de ver el argumento diagonal y es una perspectiva que, de hecho, un número no trivial de matemáticos adopta. Son una minoría decidida, pero existen.

[cerrar]

Sólo soy un aficionado de estos temas, pero me ha parecido interesante.

¿Qué opináis?

un saludo

Independientemente del argumento de la diagonal, existen números como éste \( (1+\dfrac{1}{n})^{n} \), que son únicos, pero no existe ningún “n” tal que lo podamos meter ahí y obtener el número “e”. No existe, porque si existiese, los naturales tendrían máximo, sería un conjunto finito. Pero sí existe el número “e”, como número real, porque es mayor que 1 y menor que 3; en la práctica, para cosas de física y demás, pues es obligatorio tomar aproximaciones, no podemos escapar de eso, nunca trabajaremos con “e” al hacer cuentas con números. Y entre dos números reales muy juntos, todo lo que se quiera, existen siempre otros infinitos números; decir lo contrario es negar que aquí \( 1/n \) ese “n” puede ser tan grande como queramos. Y en esos números infinitamente “pegados”, no numerables es donde está el infinito “grande”, el no numerable. Entonces, si consideramos que \( 1/n \) es tan pequeño como queramos, tenemos que considerar que existe el infinito no numerable (el que muestra la diagonal) porque si consideramos lo contrario, estamos diciendo que “n” no puede ser tan grande como queramos.

Claro que podemos elegir un “n” finito tan grande que nadie llegue a usarlo nunca, y decir que hasta ahí nos vale; pero eso... es más antiguo que ZFC, pues el hecho de considerar que “n” no tiene límite es muy anterior a la teoría de conjuntos, los griegos ya lo consideraban.

Saludos.

[RDC]

Independientemente del argumento de la diagonal, existen números como éste \( (1+\dfrac{1}{n})^{n} \), que son únicos, pero no existe ningún “n” tal que lo podamos meter ahí y obtener el número “e”. No existe, porque si existiese, los naturales tendrían máximo, sería un conjunto finito. Pero sí existe el número “e”, como número real, porque es mayor que 1 y menor que 3; en la práctica, para cosas de física y demás, pues es obligatorio tomar aproximaciones, no podemos escapar de eso, nunca trabajaremos con “e” al hacer cuentas con números. Y entre dos números reales muy juntos, todo lo que se quiera, existen siempre otros infinitos números; decir lo contrario es negar que aquí \( 1/n \) ese “n” puede ser tan grande como queramos. Y en esos números infinitamente “pegados”, no numerables es donde está el infinito “grande”, el no numerable. Entonces, si consideramos que \( 1/n \) es tan pequeño como queramos, tenemos que considerar que existe el infinito no numerable (el que muestra la diagonal) porque si consideramos lo contrario, estamos diciendo que “n” no puede ser tan grande como queramos.

Claro que podemos elegir un “n” finito tan grande que nadie llegue a usarlo nunca, y decir que hasta ahí nos vale; pero eso... es más antiguo que ZFC, pues el hecho de considerar que “n” no tiene límite es muy anterior a la teoría de conjuntos, los griegos ya lo consideraban.

Saludos.

Hola feriva,

Sí. está claro que ningún irracional está como elemento del conjunto de los racionales. De hecho, con Dedekind se define irracional como un subconjunto infinito de los racionales cuyos elementos están ordenados a través de un corte de Dedekind.

Y esta definición me parece sorprendente, porque implica que el conjunto de los racionales contiene todos los números irracionales. Pero los contiene como subconjuntos de infinitos racionales ordenados según un corte de Dedekind.

Un saludo

[feriva]

Independientemente del argumento de la diagonal, existen números como éste \( (1+\dfrac{1}{n})^{n} \), que son únicos, pero no existe ningún “n” tal que lo podamos meter ahí y obtener el número “e”. No existe, porque si existiese, los naturales tendrían máximo, sería un conjunto finito. Pero sí existe el número “e”, como número real, porque es mayor que 1 y menor que 3; en la práctica, para cosas de física y demás, pues es obligatorio tomar aproximaciones, no podemos escapar de eso, nunca trabajaremos con “e” al hacer cuentas con números. Y entre dos números reales muy juntos, todo lo que se quiera, existen siempre otros infinitos números; decir lo contrario es negar que aquí \( 1/n \) ese “n” puede ser tan grande como queramos. Y en esos números infinitamente “pegados”, no numerables es donde está el infinito “grande”, el no numerable. Entonces, si consideramos que \( 1/n \) es tan pequeño como queramos, tenemos que considerar que existe el infinito no numerable (el que muestra la diagonal) porque si consideramos lo contrario, estamos diciendo que “n” no puede ser tan grande como queramos.

Claro que podemos elegir un “n” finito tan grande que nadie llegue a usarlo nunca, y decir que hasta ahí nos vale; pero eso... es más antiguo que ZFC, pues el hecho de considerar que “n” no tiene límite es muy anterior a la teoría de conjuntos, los griegos ya lo consideraban.

Saludos.

Hola feriva,

Sí. está claro que ningún irracional está como elemento del conjunto de los racionales. De hecho, con Dedekind se define irracional como un subconjunto infinito de los racionales cuyos elementos están ordenados a través de un corte de Dedekind.

Y esta definición me parece sorprendente, porque implica que el conjunto de los racionales contiene todos los números irracionales. Pero los contiene como subconjuntos de infinitos racionales ordenados según un corte de Dedekind.

Un saludo

Están “intercalados”, no es que los contengan, porque eso sería decir que hay racionales que a la vez son irracionales.

O sea, si consideras todos los números del segmento de racionales \( [a,b)\cup(b,c] \) ahí quedan unos agujeros, puesto que esto “b)” son racionales menores que “b” tan cercanos como se quiera a b, y no se acaban; y esto “(b” son números mayores que “b” tan cercanos como se quiera; lo mismo pero por la otra punta. Lógicamente, “b” es racional y tiene que estar ahí en medio, existe, pero es imposible que tenga a su lado racionales que sean el anterior y el siguiente; porque no existen el anterior ni el siguiente. Entonces quedan “agujeros” al lado de “b”, infninitos agujeros a cada lado; pero no consecutivos ni no consecutivos, al no aparecer el concepto de anterior y siguiente tampoco aparece ese concepto, no podemos “verlo” o entenderlo bien, lo que si vemos es que no hay continuidad, no hay números racionales “pegados” a “b”

Ahora, por definición, los agujeros no están cubiertos por racionales, porque consideramos que están todos los racionales de los dos intervalos, luego en los agujeros hay otros números (porque no tiene mucho sentido entender que no hay nada entre números distintos, tiene que haber más números).

Con esa idea no se puede definir un agujero concreto, porque está vista como por “extensión”, digamos. Entonces Dedekind considera eso por comprensión. Si decimos (elegimos decir, definimos) que en el primer intervalo están todos los racionales cuyo cuadrado es menor que 2 y en el segundo intervalo todos los racionales cuyo cuadrado es mayor que 2, entonces estamos definiendo un agujero que es raíz cuadrada de 2. Pero esto no quiere decir que sea el ínico irracional que hay en medio, no es el “único agujero” porque sería afirmar que entre raíz de 2 y los racionales de al lado no hay más irracionales; y esto es falso, entre cualquier racional e irracional, más en general, entre dos reales cualesquiera, siempre hay otro irracional; y también otro racional.

Esto útlimo bien podría haberse sabido antes de Dedekind (por parte de algunos) intuitivamente, porque podemos estirar las cifras de la mantisa de un número tanto como queramos, ir añadiendo más y más (y aquí, para mí, es imprescindible imaginarlo con tiempo, dinámicamente, porque supone la comparación de números finitamente largos (pero tan largos como se quiera) con números infinitamente largos; pensarlo de golpe, “sin tiempo”... sencillamente es imposible, el que diga que lo entiende, miente, no entiende nada, como le pasa a cualquier mortal).

Pero también podría no haberse sabido y usarlo más o menos bien “subconscientemente”. Basta pensar en que, por ejemplo, “Por convención, el 1 no se considera un número primo; esto no se aceptó universalmente hasta mediados del siglo XX”, según se puede leer en la Wikipedia. Fíjate qué tarde se empezó a considerar no primo; eso significa que no habían pensado que entonces cualquier primo estaría compuesto por dos primos \( 7=1*7 \) y que a tenor eso no existirían los coprimos, pues el 1 divide a todos. Sin embargo, en realidad, lo consideraban no primo para esas cosas, aunque le llamaran primo. Algunos aspectos teóricos han tardado mucho en asentarse, y el tema de los irracionales requiere una meditación aún mayor que eso de que el 1 no debe definirse como primo.

Saludos.

[RDC]

Independientemente del argumento de la diagonal, existen números como éste \( (1+\dfrac{1}{n})^{n} \), que son únicos, pero no existe ningún “n” tal que lo podamos meter ahí y obtener el número “e”. No existe, porque si existiese, los naturales tendrían máximo, sería un conjunto finito. Pero sí existe el número “e”, como número real, porque es mayor que 1 y menor que 3; en la práctica, para cosas de física y demás, pues es obligatorio tomar aproximaciones, no podemos escapar de eso, nunca trabajaremos con “e” al hacer cuentas con números. Y entre dos números reales muy juntos, todo lo que se quiera, existen siempre otros infinitos números; decir lo contrario es negar que aquí \( 1/n \) ese “n” puede ser tan grande como queramos. Y en esos números infinitamente “pegados”, no numerables es donde está el infinito “grande”, el no numerable. Entonces, si consideramos que \( 1/n \) es tan pequeño como queramos, tenemos que considerar que existe el infinito no numerable (el que muestra la diagonal) porque si consideramos lo contrario, estamos diciendo que “n” no puede ser tan grande como queramos.

Claro que podemos elegir un “n” finito tan grande que nadie llegue a usarlo nunca, y decir que hasta ahí nos vale; pero eso... es más antiguo que ZFC, pues el hecho de considerar que “n” no tiene límite es muy anterior a la teoría de conjuntos, los griegos ya lo consideraban.

Saludos.

Hola feriva,

Sí. está claro que ningún irracional está como elemento del conjunto de los racionales. De hecho, con Dedekind se define irracional como un subconjunto infinito de los racionales cuyos elementos están ordenados a través de un corte de Dedekind.

Y esta definición me parece sorprendente, porque implica que el conjunto de los racionales contiene todos los números irracionales. Pero los contiene como subconjuntos de infinitos racionales ordenados según un corte de Dedekind.

Un saludo

Están “intercalados”, no es que los contengan, porque eso sería decir que hay racionales que a la vez son irracionales.

O sea, si consideras todos los números del segmento de racionales \( [a,b)\cup(b,c] \) ahí quedan unos agujeros, puesto que esto “b)” son racionales menores que “b” tan cercanos como se quiera a b, y no se acaban; y esto “(b” son números mayores que “b” tan cercanos como se quiera; lo mismo pero por la otra punta. Lógicamente, “b” es racional y tiene que estar ahí en medio, existe, pero es imposible que tenga a su lado racionales que sean el anterior y el siguiente; porque no existen el anterior ni el siguiente. Entonces quedan “agujeros” al lado de “b”, infninitos agujeros a cada lado; pero no consecutivos ni no consecutivos, al no aparecer el concepto de anterior y siguiente tampoco aparece ese concepto, no podemos “verlo” o entenderlo bien, lo que si vemos es que no hay continuidad, no hay números racionales “pegados” a “b”

Ahora, por definición, los agujeros no están cubiertos por racionales, porque consideramos que están todos los racionales de los dos intervalos, luego en los agujeros hay otros números (porque no tiene mucho sentido entender que no hay nada entre números distintos, tiene que haber más números).

Con esa idea no se puede definir un agujero concreto, porque está vista como por “extensión”, digamos. Entonces Dedekind considera eso por comprensión. Si decimos (elegimos decir, definimos) que en el primer intervalo están todos los racionales cuyo cuadrado es menor que 2 y en el segundo intervalo todos los racionales cuyo cuadrado es mayor que 2, entonces estamos definiendo un agujero que es raíz cuadrada de 2. Pero esto no quiere decir que sea el ínico irracional que hay en medio, no es el “único agujero” porque sería afirmar que entre raíz de 2 y los racionales de al lado no hay más irracionales; y esto es falso, entre cualquier racional e irracional, más en general, entre dos reales cualesquiera, siempre hay otro irracional; y también otro racional.

Esto útlimo bien podría haberse sabido antes de Dedekind (por parte de algunos) intuitivamente, porque podemos estirar las cifras de la mantisa de un número tanto como queramos, ir añadiendo más y más (y aquí, para mí, es imprescindible imaginarlo con tiempo, dinámicamente, porque supone la comparación de números finitamente largos (pero tan largos como se quiera) con números infinitamente largos; pensarlo de golpe, “sin tiempo”... sencillamente es imposible, el que diga que lo entiende, miente, no entiende nada, como le pasa a cualquier mortal).

Pero también podría no haberse sabido y usarlo más o menos bien “subconscientemente”. Basta pensar en que, por ejemplo, “Por convención, el 1 no se considera un número primo; esto no se aceptó universalmente hasta mediados del siglo XX”, según se puede leer en la Wikipedia. Fíjate qué tarde se empezó a considerar no primo; eso significa que no habían pensado que entonces cualquier primo estaría compuesto por dos primos \( 7=1*7 \) y que a tenor eso no existirían los coprimos, pues el 1 divide a todos. Sin embargo, en realidad, lo consideraban no primo para esas cosas, aunque le llamaran primo. Algunos aspectos teóricos han tardado mucho en asentarse, y el tema de los irracionales requiere una meditación aún mayor que eso de que el 1 no debe definirse como primo.

Saludos.

Hola feriva, supongo que Dedekind tira de la idea de límite, entendiendo el límite como un acercarse tanto como se quiera a un número cuyo cuadrado es 2, tanto por la izquierda como por al derecha, sin que jamás lo alcance en un paso finito. Por tanto, el conjunto infinito de todos los números racionales que se acercan tanto como queramos a raíz de 2 por la derecha y la izquierda, por ejemplo, es un subconjunto infinito de racionales y a la vez define, precismente a raíz de 2.

Supongo que por eso se dice, luego, que el cardinal del conjunto potencia de los racionales es el mismo que el cardinal de los reales.

De todos modos, hay cosas del artículo que me generan algunas preguntas:

McClennen dice que la idea de que existen infinitos de distintos tamaños es fruto, sólo, de cierta forma de interpretar la diagonalización de Cantor, y que ésta se puede interpretar de otro modo: como que hay infinitos ordenados (los naturales) e infinitos no ordenados, o al menos que no es posible ordenarlos (establecer una aplicación sobre ellos) mediante una enumeración -pues aplicar una función de un conjunto sobre otro no deja de ser una forma de ordenarlo.  Es decir, McClennen dice que la diagonalización no necesariamente demuestra, por ejemeplo, que haya más reales que naturales, sino que muy bien puede indicar, simplemente, q los reales no se pueden ordenar nuneralmente porque el de los reales es más desordenado que los naturales.

Siendo yo un lego en la materia, me parece lógica esta opinión: no hay infinitos mayores o menores; de infinito sólo hay uno. Lo que hay es conjuntos infinitos más ordenables o menos. Por ejemplo, si el conjunto de los reales y el potencia de los naturales se pueden ordenar biyectivamente es porque tienen el mismo grado de orden.

Dudas:
1)podemos ver, entonces, la clase de todos los conjuntos posibles como un conjunto completamente desordenado? O eso no tiene nada que ver con la clase de todos los conjuntos posibles?

2) Este "desorden" tiene algo que ver con la aleatoriedad?

un saludo

[argentinator]

La interpretación de que hay infinitos de distinto "tamaño" no es algo que surja directamente de ZFC. No sé por qué todavía estamos discutiendo este asunto.
Es un rezo que todos los profesores repiten año tras año, pero no es así.

[Algún sucesor de] Cantor probó que no hay una función sobreyectiva de un conjunto X en su conjunto de partes P(X).
Y también es obvio que hay una inyección trivial de X en P(X): la que aplica un elemento x en el conjunto {x}.
Si a esos hechos te gusta llamarlo "tamaño" es cosa tuya.

La palabra "tamaño" en principio sólo tiene sentido para cardinales finitos.

La demostración de Cantor no utiliza ningún axioma crucial de ZFC,
sino que es una demostración elemental,
que apenas utiliza que un conjunto se puede definir por propiedades,
o que existe el conjunto de partes P(X),
que existe el conjunto imagen de una función aplicada a un conjunto,
y finalmente las reglas de la lógica.

Ni siquiera se menciona si el conjunto es finito o infinito, porque aplica para ambos casos,
independientemente de que haya conjuntos infinitos o no.
No se menciona el Axioma de Elección, ni ningún otro invento extraño de ZFC.

Así pues, ya que se necesitan muy pocos axiomas sencillos y razonables a pedirle a una teoría de conjuntos, es muy difícil imaginar un marco donde no valga el argumento de Cantor para un conjunto X cualquiera.

___________

Si nos vamos al dichoso asunto de la diagonal de Cantor que relaciona N y R,
es más o menos lo mismo.
No es cierto que se usa ningún principio de Buena Ordenación,
ni ninguna otra cosa rara.
Solamente se relaciona a los números naturales con los reales,
mediante un argumento muy elemental,
y el único buen orden que se usa no viene dado por el Axioma de Elección,
sino que los números naturales ya tienen dado un Buen Orden.


La demostración de Cantor no usa axiomas, porque en su época no existían.
Es un argumento basado en la intuición de Cantor sobre las propiedades de los conjuntos.

Si bien mucha matemátiza razonable requiere el Axioma de Elección,
no es cierto que se requiera para la diagonalización de Cantor.

Le guste a quien le guste, no hay una función biyectiva entre N y R.

[feriva]

Dudas:
1)podemos ver, entonces, la clase de todos los conjuntos posibles como un conjunto completamente desordenado? O eso no tiene nada que ver con la clase de todos los conjuntos posibles?

2) Este "desorden" tiene algo que ver con la aleatoriedad?

un saludo

No sé dar una respuesta segura a eso; es que yo no “veo” ahí. Como diría Paco Gandía, aquel humorista, veo menos que un galápago en lejía.

Lo que sí puedo “ver”, intuitivamente, es que dados números reales así, por ejemplo

\( 3,457712 \)

\( 3,457712... \)

donde el de arriba es un irracional y el de abajo un racional, puedo meter en medio un racional o un irracional:

\( 3,457712 \)

\( 3,457712...1 \) racional

\( 3,457712... \)

La condición de ese racional consiste en que en el irracional llegará un momento que tenga una cifra mayor que 1 (puede ser la primera detrás del dos, esa misma u otra) entonces, donde los puntos suspensivos del racional se ponen las mismas cifras del irracional (las que sigan, no sabemos ahora, pero tendrá las que sea) hasta antes de donde está el 1. De esta manera, el irracional tiene una cifra mayor a partir de ese lugar, es mayor; y, por otra parte, el racional de arriba es menor. Luego el racional construido así queda en medio.

Si en vez de un racional quieres que quede en medio un irracioanal, pues a ese mismo racional construido le añades detrás del 1 una cantidad infinita de cifras que no formen un periodo. Y siempre se va a poder.

Veámoslo. Si ahora tomamos el nuevo racional y el irracional, por ejemplo, se vuelve a poder hacer lo mismo

\( 3,457712...1 \)

\( 3,457712...1...1 \)

\( 3,457712... \)

Porque el irracional no forma un periodo, va a existir siempre una cifra “ad hoc” para cambiar.

Esto quiere decir que los intervalos de racionales que toma Dedekind están llenos de agujeros a priori, porque ha “sacado” los irracionales. Pero esos agujeros se tapan encajándolos entre otros intervalos de racionales distintos a los tomados con raíz de dos.

Si en vez de decir “los números cuyo cuadrado...” decimos “los números cuya función f son menores que r (con r racional) y por otra parte los que son mayores, se tiene una visión más general (aunque más difuminada, porque hay que imaginarse una función y un “r”; pero no hace falta buscar nada de eso, se imagina en abstracto y a través del ejemplo del cuadrado y el 2 se puede entender).

El hecho de que \( \sqrt{2} \) no quede aislado como único irracional entre los intervalos, no implica que esos otros irracionales no se puedan aislar también entre otros intervalos de racionales; por lo dicho arriba, porque siempre se pueden intercalar racionales e irracionales, infinitamente (y hacia “dentro”, de manera que no se sale del pozo, de una cierta acotación).

Luego con esa idea abstracta queda construida la recta real; no número a número, obviamente, sino con la idea en general.

Pero lo del orden, lo aleatorio... puf, no sé contestar eso, “¿Hay algún médico [matemático en este caso] entre el público?”.

Saludos.

[geómetracat]

Un par de comentarios sobre el texto, o al menos lo que yo entiendo de ese texto.

En el texto creo que se hablan de dos cosas algo distintas. Como tampoco es un texto técnico ni muy preciso es posible que no entienda correctamente algunas cosas que dice su autor.

El grueso del texto según lo que entiendo yo habla de hacer matemáticas en ZF en vez de en ZFC, es decir, no aceptar el axioma de elección. Si hacemos eso, llegamos a una noción de cardinal donde los distintos cardinales ya no forman en general un orden total sino únicamente un orden parcial. Pero cuidado, porque en esta teoría sigue habiendo infinitos tipos de infinito. De hecho, hay los mismos infinitos que había en ZFC, y quizás más aún (los que corresponden a conjuntos que no admiten ningún buen orden).

La situación con \( \Bbb N \) y \( \Bbb R \) aquí es que existe una inyección de \( \Bbb N \) en \( \Bbb R \) pero no una biyección (esto es lo que da el teorema de Cantor). A esto es a lo que uno se refiere cuando dice que "el cardinal de \( \Bbb R \) es mayor que el de \( \Bbb N \)". La única diferencia es que ahora el cardinal de \( \Bbb R \) no tiene por qué ser un alef (que son los cardinales de los conjuntos bien ordenados), pero fuera de eso no hay ninguna diferencia más. No veo yo qué ganas diciendo que es que uno no es mayor que el otro sino que es que \( \Bbb R \) no admite un buen orden. Sigue siendo cierto que hay una aplicación inyectiva pero no existe ninguna biyectiva de \( \Bbb N \) a \( \Bbb R \), y por tanto el cardinal de \( \Bbb R \) es estrictamente mayor que el de \( \Bbb N \).

En esta teoría sigue habiendo distintos tipos de infinitos, solo que ahora es peor que antes porque no tienen por qué estar linealmente ordenados (puede haber cardinales no comparables entre sí). Pero sigue habiendo igual que antes cardinales mayores que otros cardinales. De ningún modo esto implica que "solo hay un infinito".

Luego hacia el final del texto habla de que solo admite conjuntos definibles por fórmulas e intenta ligarlo con lo de los conjuntos que no admiten un buen orden. Yo a esto no le veo sentido, aunque como decía es posible que sea por el tono tan poco técnico del texto. Lo que yo entiendo de ahí es que está hablando esencialmente de considerar modelos numerables de ZF, más específicamente del modelo de Henkin donde sus elementos vienen dados por las fórmulas de la teoría. Así tienes una "colección" de objetos numerable que satisface los axiomas de la teoría de conjuntos y, en particular, en este modelo hay solamente una cantidad numerable de conjuntos. Lo que pasa es que esto es una cuestión bastante sutil, porque aunque todos los conjuntos sean finitos o numerables vistos "desde fuera" no lo son vistos "desde dentro". Esto es algo que se conoce como "paradoja de Skolem", pero a pesar de su nombre no es nada contradictorio, sino aspectos bastante sutiles de la lógica matemática. No me veo con ánimos de explicar esto aquí y ahora en detalle sin entrar en demasiados tecnicismos, lo siento. En cualquier caso, esto no tiene nada que ver con que haya conjuntos que no admitan buenos órdenes, y se puede hacer exactamente igual con ZFC, donde todo conjunto admite un buen orden. Además, aquí si miras el modelo "desde fuera" hay un buen orden global, ya que el modelo está en biyección con los naturales (y la biyección se puede hacer explícita numerando las fórmulas de la teoría).

[argentinator]

Estimado RDC.
Alguien te lo tiene que decir.
No sé de dónde sacaste a ese tal McLennan, pero es un idiota.