[RDC]

Desplazó aquí una conversación que hemos tenido con feriva de algunas curiosidades sobre nº primos en otro hilo:

Tenemos que dado $$a,b$$ como coprimos entonces $$a\pm{b}=c$$, $$c$$ siempre será coprimo con $$a$$ y con $$b$$.

La demostración:

Spoiler

Supongamos que dado $$a\pm{b}=c$$, siendo $$a,b$$ coprimos, entonces $$c$$ sea múltiplo de $$a$$, y por ello $$c=a·g$$, siendo $$g$$ un natural cualquiera. Entonces:

$$a(1\pm{\displaystyle\frac{b}{a}})=a·g$$. Se elimina el factor $$a$$: $$1\pm{\displaystyle\frac{a}{b}}=g$$

$$\pm{\displaystyle\frac{b}{a}}=g-1$$. Hecho que es imposible porque $$\displaystyle\frac{b}{a}$$ es una fracción irreducible, con lo cual jamás puede ser un natural, mientras que $$g-1$$ siempre debe dar un natural, o bine $$0$$.

Nota: esta demostración, a la vez, demuestra de forma directa que no puede haber un último primo.

[cerrar]

Entonces tenemos que si tomamos una lista finita y completa de todos los números primos hasta $$p_n$$ elevados a cualquier exponente y con ella generamos dos naturales coprimos $$a,b$$ de tal modo:

$$a=p_{a1}^{i_a1}·p_{a2}^{i_a2}·...·p_{ax}^{i_ax}$$

$$b=p_{b1}^{i_b1}·p_{b2}^{i_b2}·...·p_{bx}^{i_bx}$$

Y bajo la restricción de que $$c$$ siempre sea menor al cuadrado del primer primo que ya no tenemos en nuestra lista inicial, $$c<p_{n+1}^2$$, entonces tenemos que:

$$c$$ siempre será un número primo más grande que el que tenemos en la lista.

Ejemplo:

\( 2·5-3=7 \)
\( 3·5-2^2=11 \)
\( 3·5-2=13 \)
\( 2^2·5-3=17 \)
\( 5^2-2·3=19 \)
\( 2·5^2-3^3=23 \)
\( 5·3^2-2^4=29 \)
\( 2^2·3^2-5=31 \)
\( 2^3·5-3=37 \)
\( 3^2·5-2^2=41 \)
\( 3^2·5-2=43 \)
\( 2·5^2-3=47 \)
\( 2·3^3-5=49 \) Ya es múltiplo de 7. Por eso el resultado siempre debe ser menor que el cuadrado del primo siguiente usado en nuestra lista.

Nota: cada uno de los primos se puede lograr con otras combinaciones posibles. Porque, al final, toda combinación que respete lo dicho dará un primo mayor que 5, que es el mayor de nuestra lista.

[RDC]

Luego feriva comentó esto:

Hola, RDC.

Ayer estuve mirando a ver si tu idea servía para hallar primos muy grandes (con el factorial en vez del primorial) y creo que sí se podría usando primos de Mersenne, pero no es tan fácil.

Una cosa que he descubierto mirando ahora es que parece cumplirse que \( n|P_{n}\# \), no sé si esto se sabrá, supongo que sí. Quiere decir que si tienes el primorial \( P_{n}\# \), esto es, el producto ordenado de primos desde el 2, que hace el primo 1, hasta el primo que hace el “n”, entonces dicho producto

\( 2*3*5*7*...*P=P_{1}*P_{2}*P_{3}*P_{4}*...*P_{n} \)

es divisible por “n”, por la cantidad de primos (o eso parece probando, no sé si fallará, pero me da que no va a fallar).

*(Esto ya no tiene que ver con el tema del tiempo, si encuentro alguna curiosidad más abro un hilo nuevo).

Ah, no, primorial de 4 no es divisible entre 4, por ejemplo, no sé que había visto yo

Buenas noches.

Si no he entendido mal, lo que feriva quiere decir es que si dado un natural $$n$$, entonces existe el primordial \( P_{n}\# \) y, también existe $$q_n$$ (la cantidad de primos que componen el primordial).

Entonces, feriva dice que:

$$\displaystyle\frac{P_{n}\#}{q_n}=m$$, siendo $$m$$ un natural.

Luego advierte que eso falla.

Observaciones:

1) El primordial siempre es simplificable por la cantidad de primos que lo componen

2) El primordial es siempre simplificable por el factorial de la cantidad de primos que lo componen

3) El primordial es siempre divisible por la cantidad de primos que lo componen si esta cantidad es un número primo.

4) EL primordial siempre es divisible por el factorial de la cantidad de primos que lo componen cuando esta cantidad es un número primo.

5) Jamás se puede reducir hasta la unidad el primordial de un número dividiéndolo por la factorización de la cantidad de primos del primordial.




 

[Pie]

Sobre lo primero, interesante.. Creo que es parecido a la criba de Eratóstenes, ya que con esas operaciones obtienes números que no pueden ser múltiplos de los primos utilizados, solo que en este caso serviría para obtener alguno en concreto (que será primo siempre que sea menor al cuadrado del siguiente primo de la lista).

Sobre lo que dice feriva, diría que se tiene que cumplir siempre que \( n \) no tenga factores primos elevados a exponentes mayores a \( 1 \), y no se puede cumplir en caso contrario. Si no entendi nada mal.

Saludos.

[feriva]

Hola RDC y Pie.

Mi idea, básicamente, era buscar un factorial grande para saber sólo la cantidad de cifras (porque si el ordenador lo tiene que imprimir, tarda mucho). Por ejemplo, con Python, puedo ver que \( 100000! \) tiene \( 456574 \) cifras.

Hay un primo de Merssene que tiene unas “pocas” más. Desestimé elevar un primo a una potencia grande porque el ordenador no iba a poder con él, pero ahora que lo pienso, puedo contar las cifras exactamente igual que con el factorial, con la misma orden “len” de Python. Así que eligiendo 11, que es el que más se acerca al número 10, y buscando, se trataría de encontrar una potencia con una cifra más o pocas cifras más que el factorial de 100000 (u otro factorial como 100001 ó 100002... No mucho más, que el ordenador al final no puede).

Todos los números compuestos del intervalo \( [1,\,100000!] \) estarán formados, como mucho, por el primo más grande del intervalo \( [1,\,100000!/2] \) o los primos más pequeños; el resto serán primos. La condición es que ese primo al cuadrado tiene que ser más grande que la potencia de 11; lo cual no es difícil, porque va a tener el doble de cifras que \( 100000! \) o va a estar cerca. Al restarlo según indica RDC, va a ser coprimo con todos los compuestos del intervalo \( [1,\,100000!] \) y va a estar dentro de ese intervalo, luego va a ser uno de los primos. (si no estoy pensando mal algo).

...

La cuestión es que cuando lo explicó RDC en el otro hilo pregunte esto a chat Gepeto:

Hola. Quiero saber, si es posible, cuál es el número primo de más cifras encontrado hasta hoy sin ser un primo de Merssene (el Merssene más grande ya lo conozco)
ChatGPT
¡Hola! En enero de 2022, el número primo más grande conocido (que no es un primo de Mersenne) era un número primo descubierto por el Proyecto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) el 7 de diciembre de 2018. Este número primo tiene 24,862,048 cifras y se conoce como 282,589,933−1. Es un número primo de forma general, no sigue la forma de los números primos de Mersenne 2p−1, por lo que cumple con tu criterio de no ser un primo de Mersenne.
Si hay nuevos desarrollos o descubrimientos después de esa fecha, te sugiero verificar fuentes actualizadas para obtener la información más reciente.

You
Muchas gracias. Y ¿el de más cifras sin que sea una potencia de 2 menos 1, es posible saberlo?
ChatGPT
Determinar el número primo más grande sin que sea una potencia de 2 menos 1 (es decir, un primo de Mersenne) es un desafío considerable, ya que encontrar números primos extremadamente grandes es una tarea compleja y requiere recursos computacionales significativos.
Hasta la fecha de mi última actualización en enero de 2022, no tengo información específica sobre el número primo más grande que no sea una potencia de 2 menos 1. Sin embargo, la búsqueda y verificación de números primos grandes es un área de investigación activa, y nuevos descubrimientos podrían haber ocurrido desde entonces.
Para obtener la información más actualizada sobre el número primo más grande de esta naturaleza, te recomendaría buscar en fuentes confiables en línea, como proyectos de búsqueda de números primos, bases de datos de primos grandes o anuncios de descubrimientos recientes en este campo.


En fin, que, si no me equivoco, el método de RDC lo mismo sirve para batir récords...

La potencia de 11 no serviría, ya me acuerdo por qué lo descarté, porque estaría dentro del intervalo y además habría muchísimos múltiplos, hay que tomar un Mersenne.
Pero se podría comprobar si es múltiplo de 11 o no el resultado.
 

Saludos.

[RDC]

Hola RDC y Pie.

Mi idea, básicamente, era buscar un factorial grande para saber sólo la cantidad de cifras (porque si el ordenador lo tiene que imprimir, tarda mucho). Por ejemplo, con Python, puedo ver que \( 100000! \) tiene \( 456574 \) cifras.

Hay un primo de Merssene que tiene unas “pocas” más. Desestimé elevar un primo a una potencia grande porque el ordenador no iba a poder con él, pero ahora que lo pienso, puedo contar las cifras exactamente igual que con el factorial, con la misma orden “len” de Python. Así que eligiendo 11, que es el que más se acerca al número 10, y buscando, se trataría de encontrar una potencia con una cifra más o pocas cifras más que el factorial de 100000 (u otro factorial como 100001 ó 100002... No mucho más, que el ordenador al final no puede).

Todos los números compuestos del intervalo \( [1,\,100000!] \) estarán formados, como mucho, por el primo más grande del intervalo \( [1,\,100000!/2] \) o los primos más pequeños; el resto serán primos. La condición es que ese primo al cuadrado tiene que ser más grande que la potencia de 11; lo cual no es difícil, porque va a tener el doble de cifras que \( 100000! \) o va a estar cerca. Al restarlo según indica RDC, va a ser coprimo con todos los compuestos del intervalo \( [1,\,100000!] \) y va a estar dentro de ese intervalo, luego va a ser uno de los primos. (si no estoy pensando mal algo).

...

La cuestión es que cuando lo explicó RDC en el otro hilo pregunte esto a chat Gepeto:

Hola. Quiero saber, si es posible, cuál es el número primo de más cifras encontrado hasta hoy sin ser un primo de Merssene (el Merssene más grande ya lo conozco)
ChatGPT
¡Hola! En enero de 2022, el número primo más grande conocido (que no es un primo de Mersenne) era un número primo descubierto por el Proyecto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) el 7 de diciembre de 2018. Este número primo tiene 24,862,048 cifras y se conoce como 282,589,933−1. Es un número primo de forma general, no sigue la forma de los números primos de Mersenne 2p−1, por lo que cumple con tu criterio de no ser un primo de Mersenne.
Si hay nuevos desarrollos o descubrimientos después de esa fecha, te sugiero verificar fuentes actualizadas para obtener la información más reciente.

You
Muchas gracias. Y ¿el de más cifras sin que sea una potencia de 2 menos 1, es posible saberlo?
ChatGPT
Determinar el número primo más grande sin que sea una potencia de 2 menos 1 (es decir, un primo de Mersenne) es un desafío considerable, ya que encontrar números primos extremadamente grandes es una tarea compleja y requiere recursos computacionales significativos.
Hasta la fecha de mi última actualización en enero de 2022, no tengo información específica sobre el número primo más grande que no sea una potencia de 2 menos 1. Sin embargo, la búsqueda y verificación de números primos grandes es un área de investigación activa, y nuevos descubrimientos podrían haber ocurrido desde entonces.
Para obtener la información más actualizada sobre el número primo más grande de esta naturaleza, te recomendaría buscar en fuentes confiables en línea, como proyectos de búsqueda de números primos, bases de datos de primos grandes o anuncios de descubrimientos recientes en este campo.


En fin, que, si no me equivoco, el método de RDC lo mismo sirve para batir récords...

La potencia de 11 no serviría, ya me acuerdo por qué lo descarté, porque estaría dentro del intervalo y además habría muchísimos múltiplos, hay que tomar un Mersenne.
Pero se podría comprobar si es múltiplo de 11 o no el resultado.
 

Saludos.

Hola Feriva, no sé si te entiendo muy bien.

Pongamos por ejemplo números más pequeños:


tenemos $$5!=120$$, que podemos considerar como próximo al $$5^3=125$$ por ejemplo.

La lista de primos que están en el intervalo $$L=\left\{{1,5!}\right\}$$ es la lista $$P_n=\left\{{2,3,5,7,11,...,113}\right\}$$

Y la lista de los primos que están en el intérvalo $$L/2=\left\{{1,\displaystyle\frac{5!}{2}}\right\}$$ es la lista $$P_{n/2}=\left\{{2,3,5,7,11,...,59}\right\}$$

Vale, dentro de todos los $$P_n$$ a lo sumo habrá el primo$$p_x=\displaystyle\frac{5!}{2}-1$$, como el primo más grande que sea factor de un número compuesto de $$L$$. Ciertamente el primo mayor que cumple esto es en nuestro ejemplo es $$p_x^2=59$$

Y luego cabe tener en cuenta que este primo al cuadrado es siempre mucho mayor que 5!: $$59^2>>120$$. De hecho dices que debe de tener más o menos el doble de cifras que el propio primo. Ciertamente $$59^2= 3.481$$ cumple eso. Y es lógico por las propiedades de la multiplicación.

Llegado aquí dices que si restamos el $$59^2$$ con $$5^3$$ para obtener un primo que esté en L:

$$3.481-125=3.356$$

Vemos que el número que nos da no es primo (es divisible 2 como mínimo) y además no está en L.





Para usar mi método, por así decirlo,  cabe ver que $$5!<11^2=121$$ (el límite debe ser un primo al cuadrado). De modo que debemos trabajar con una lista de primos hasta el $$7$$ porque el $$11$$ ya no entra por los pelos: $$L_1=\left\{{2,3,5,7}\right\}$$

Y entonces:

a) $$2·3·5·7-11^2=210-121=89$$


Ciertamente 89 está dentro de $$P_n=\left\{{2,3,5,7,11,...,113}\right\}$$


Ahora deberíamos mirar si para números más grandes eso tb es tan fácil.

Un saludo

[RDC]

No sale lo que decía antes:

$$6!=720<27^2$$ El cuadrado del primo mayor más próximo a 720 es $$29^2$$.

Por tanto:

$$2·3·5·7·11·13·17·19·23-29^2=...$$ da un valor mucho más grande que 720

Lo que sí podrías hacer es cambiar $$29^2$$ por primos más grandes, o exponentes mayores o por el producto de varios primos más grandes que 29.

También podrías modificar la resta y hacer combinaciones de productos así:

$$3·13·17·23-2·5·7·11·19=619$$


Quizás habría otra opción... pero déja que me la piense mejor

[feriva]

Hola, RDC.

No, no es así. Espera, te explico con un ejemplo:

Tomemos este factorial

\( 5!=120 \)

Y consideremos la sucesión

\( 1,2,3...120 \)

Entonces la mitad es \( \dfrac{120}{2}=60 \).

Todos los compuestos de la sucesión \( 1,2,3...120 \) están formados por primos menores o iguales a 59; los mayores que \( \dfrac{120}{2}=60 \) también (todos son mútliplos de los menores salvo los primos; esto es porque los compuestos formados por primos mayores a 60 también serán mayores que 2n; en este caso con n=60).

Ahora, buscamos un primo mayor que el factorial, 120, que estimemos que pueda ser menor que \( 59^{2} \) (esto es lo que puede no ser tan fácil con números muy grandes, por eso hablé de tomar un Mersenne apropiado; pero en este ejemplo es muy sencillo encontrarlo, claro).

Así, de memoria, se nos puede venir a la cabeza el 127 (que es un primo “famoso”, por aquel coche “SEAT 127”, y es el primer primo mayor que 120).

Es claramente menor que el cuadrado de 59.

Pues ahora restamos y ya está

\( 127-10!= \)

\( 127-120=7 \).

Sale demasiado pequeño, pero con un factorial de muchas cifras no sería tan pequeño; ademas no elegiríamos el siguiente (sería imposible, y si pudiéramos ya tendríamos un primo muy grande directamente) sino uno con menos cifras que el cuadrado del primo que aquí hace de 59; que no sabríamos cuál es, pero podríamos estimar cifra arriba, cifra abajo, la cantidad de sus cifras.

De hecho en este caso sencillo podemos elegir uno bastante más grande, siempre que la diferencia sea menor que 120. Así puedo elegir ( con Python) el más grande posible, que es 139. Entonces:

139-120=19.

No es el más grande posible, obviamente; estaba pensando en otro cosa

No hace falta estimar las cifras del cuadrado en este caso, vale con estimar las de ese primo; tiene que tener una o alguna cifra más para que sea mayor

Tiene una cifra menos que 120, nada más.

Con 100000 cifras, si conseguimos ajustarnos a alguno de los grandes que cumpla las condiciones, tendremos también un primo enorme, con las mismas cifras que el factorial o una pocas menos.

Pero no digo que sea fácil; habría que ponerse con el ordenador y trabajar en ello a ver qué tal.

Saludos.

[RDC]

Hola, RDC.

No, no es así. Espera, te explico con un ejemplo:

Tomemos este factorial

\( 5!=120 \)

Y consideremos la sucesión

\( 1,2,3...120 \)

Entonces la mitad es \( \dfrac{120}{2}=60 \).

Todos los compuestos de la sucesión \( 1,2,3...120 \) están formados por primos menores o iguales a 59; los mayores que \( \dfrac{120}{2}=60 \) también (todos son mútliplos de los menores salvo los primos; esto es porque los compuestos formados por primos mayores a 60 también serán mayores que 2n; en este caso con n=60).

Ahora, buscamos un primo mayor que el factorial, 120, que estimemos que pueda ser menor que \( 59^{2} \) (esto es lo que puede no ser tan fácil con números muy grandes, por eso hablé de tomar un Mersenne apropiado; pero en este ejemplo es muy sencillo encontrarlo, claro).

Así, de memoria, se nos puede venir a la cabeza el 127 (que es un primo “famoso”, por aquel coche “SEAT 127”, y es el primer primo mayor que 120).

Es claramente menor que el cuadrado de 59.

Pues ahora restamos y ya está

\( 127-10!= \)

\( 127-120=7 \).

Sale demasiado pequeño, pero con un factorial de muchas cifras no sería tan pequeño; ademas no elegiríamos el siguiente (sería imposible, y si pudiéramos ya tendríamos un primo muy grande directamente) sino uno con menos cifras que el cuadrado del primo que aquí hace de 59; que no sabríamos cuál es, pero podríamos estimar cifra arriba, cifra abajo, la cantidad de sus cifras.

De hecho en este caso sencillo podemos elegir uno bastante más grande, siempre que la diferencia sea menor que 120. Así puedo elegir ( con Python) el más grande posible, que es 139. Entonces:

139-120=19.

No es el más grande posible, obviamente; estaba pensando en otro cosa

No hace falta estimar las cifras del cuadrado en este caso, vale con estimar las de ese primo; tiene que tener una o alguna cifra más para que sea mayor

Tiene una cifra menos que 120, nada más.

Con 100000 cifras, si conseguimos ajustarnos a alguno de los grandes que cumpla las condiciones, tendremos también un primo enorme, con las mismas cifras que el factorial o una pocas menos.

Pero no digo que sea fácil; habría que ponerse con el ordenador y trabajar en ello a ver qué tal.

Saludos.

Vale feriva, creo que te entiendo.

Si partes de un n!, basta con restarlo con un primo que sea mayor que él pero que, al restarlos, nos dé un número menor que el cuadrado del primo más grande que haya en n!.

Por ejemplo, si tenemos $$n=5$$. Entonces:

$$n!=5!=1·2·3·4·5=120$$, por tanto tenemos que la lista de primos a mano es $$L=\left\{{2,3,5}\right\}$$. Siendo el 7 el primo que nos ará de límite para la resta.

Entonces, buscamos un primo mayor que 120 pero que restado con 120 sea menor que $$7^2$$. De tal modo encontraremos un nuevo primo mayor que 5, pero menor que 49.

Por ejemplo:

127-120=7
131-120=11
133-120=13 (esto se puede hacer porque 133=7·19, y ni 7 ni 19 son factores de 120)
137-120=17
139-120=19
143-120=23 (pues 143=11·13, que no son factores de 120)
149-120=29
...

Un saludo.

Mañana seguiré pensando un poco en esto tuyo



por ejemplo

[RDC]

Quería compartir un artículo sobre la República de Platón, donde unos matemáticos descifraron en el texto varios teoremas sobre la distribución de los números primos. Me ha parecido interesante por lo que feriva había comentado al principio sobre lo del primordial.

El artículo está aquí: https://www.researchgate.net/publication/226417480_Plato's_hidden_theorem_on_the_distribution_of_primes

Básicamente los teoremas son:

a) Sea $$3<p_i<p_{i+1}$$ siendo $$p_i, p_{i+1}$$ primos consecutivos. Entonces, cada entero $$r<p_{i+1}$$ divide a $$p_i!$$

b) si $$n>5$$, siendo un natural, entonces $$n!$$ es divisible por todos los naturales menores o iguales que $$n$$. Y también por todos los compuestos menores que $$2n$$

Luego hay cierta especulación con el 7!=5040.

Un saludo

[feriva]

Vale feriva, creo que te entiendo.

Si partes de un n!, basta con restarlo con un primo que sea mayor que él pero que, al restarlos, nos dé un número menor que el cuadrado del primo más grande que haya en n!.

En realidad, usando el factorial no hace falta que sea el cuadrado de ningún número en particular, basta con que sea un primo mayor que el factorial, pues siempre será coprimo con el factorial; pero yo mezclé ideas con lo tuyo y otras cosas y lo compliqué.

Eso sí, la resta tiene que ser menor que el factorial, igual que en lo que haces tú, para poder asegurar que ese coprimo es un primo.

No hace falta pensar tampoco en eso del mayor primo hasta “n” (hasta la mita), pues buscamos un primo mayor que el factorial, siempre va a ser coprimo con el factorial, por ser un primo mayor que cualquiera suyo, cualquiera de los que componen sus números.

Pero sigue siendo difícil (cuando el factorial tiene cientos de cifras) encontrar un primo que al hallar la diferencia, ésta sea más pequeña que el factorial, porque la cantidad de cifras va a tener que ser la misma, con una más va a quedar grande (con muchas cifras va a pasar eso salvo muy excepcionalmente). Y buscar un primo con la misma cantidad de cifras va a ser difícil con algo tan grande.
...
Te explicó mejor por qué se me cruzaron los cables.

Cuando tienes una secuencia de números naturales ordenados que llega hasta un “n”, existe un primo en dicha secuencia tal que \( p^{2}>n \), por lo que los compuestos hasta “n” serán todos múltiplos de ese “p”y de los más pequeños (no de todos a la vez, claro, de algunos, quiero decir que obligatoriamente todos los compuestos hasta “n” tendrán algún factor que será P ó menor que P; obligatoriamente todos los compuestos lo tendrán). Porque si tiene dos factores mayores que P, digamos x,y,entonces

\( xy>p^{2}>n \)

y así no puede estar dentro de la secuencia que va de 1 a “n” ningún compuesto mayor que el cuadrado de ese "p".

Puede estar a lo mejor x como factor, pero acompañado de uno de los menores que “p”, puede ser “qx” menor que “n”.

Y esto no tiene nada que ver con lo que decía, se me cruzaron las ideas al ver que usabas el cuadrado.

Esto sirve para encontrar primos de una forma cómoda, para eliminar posibilidades considerando números menores que la raíz cuadrad de “n” que puedan dividir a “n”, para saber si “n” es primo o no (por lo explicado).

Por ejemplo, si quiero saber si 23 es primo, la raíz de 23 es menor que 5 (dicho de otra manera, 5²>23) así que de ser compuesto tendría que estar formado por algún factor menor que 5, o seá, 3 ó 2; y rápidamente se ve que no es divisible por 2 ni por 3, luego es primo.

Buenas noches.