[manooooh]

Hola

¡Vaya requiebro que le acabo de hacer al foro para arreglarlo, y casi sin esfuerzo!. Te lo dedico manooooh... 

Ja ja! Siempre muy atento Luis... muchas gracias <3

Aunque no entendí bien el mensaje, ¿requiebro y sin esfuerzo no son antónimos? ¿Aumentaste en 1 carácter la longitud máxima del título solamente para poder insertar el '¿'?

Saludos

[feriva]

Hola

¡Vaya requiebro que le acabo de hacer al foro para arreglarlo, y casi sin esfuerzo!. Te lo dedico manooooh... 

Ja ja! Siempre muy atento Luis... muchas gracias <3

Aunque no entendí bien el mensaje, ¿requiebro y sin esfuerzo no son antónimos?

No necesariamente, manooooh.
Según el diccionario, requebrar es volver a quebrar en piezas más menudas lo que estaba ya quebrado, y en el lenguaje taurino también se usa, creo, para aludir a aciertos pases de muleta o cosas de ésas (pero no sé muy bien, no soy aficionado, hablo de oído).

Aquí en Madrid un requiebro es un piropo (a una mujer, concretamente); como dice la canción: “la cuna del requiebro y el chotís”.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Aunque no entendí bien el mensaje, ¿requiebro y sin esfuerzo no son antónimos? ¿Aumentaste en 1 carácter la longitud máxima del título solamente para poder insertar el '¿'?

"Hacer un requiebro" se refiere a hacer un engaño, una finta, un regate, un truco, una vuelta de tuerca; en este caso jugar, trampear, con lo que deja hacer el foro para conseguir el objetivo de cambiar el título de todos los mensajes y aún encima conseguir el carácter extra. Lo que hice fue:

- Abrí un nuevo hilo en el mismo foro: título "Prueba", contenido "faddasfa".
- Combiné el tema de la integral con el nuevo (esto lo pueden hacer los administradores): en ese momento te permite poner un nuevo título al hilo combinado y sin restricción de longitud.
- En ese nuevo hilo borré el mensaje auxilar "Prueba".

Pues yo estaba convencido de haber leído “¿Cuál es la integral que los físicos calculan erróneamente desde hace cientos de años?”, pero ya veo que no.

No; revisando notificaciones antiguas veo que nunca existió ese "hace".

Saludos.

[DCM]

  Hola a todos.

  3) Para el campo de una esfera maciza en su interior, como ya he dicho, utilicé el principio de superposición:


   

Entiendes que $$\sigma$$  es una densidad superficial por lo tanto debes expresarla como $$\dfrac{M}{S}=\dfrac{M}{4\pi R^2}$$


Allí es claro escribiste $$\sigma=\dfrac{M}{V}$$  que es claramente un error conceptual , ya que es una densidad volumétrica, en la cual debes considerar espesor no nulo. Eso se te marco hace 230 mensajes atras y sigues sin verlo, y ahora quieres llenarte la boca con nombres de integrales que copias y pegas.
Comprendes por qué te digo que no tienes ni pajolera idea de lo que estas queriendo explicar. primero entiendelo tu ,luego nosotros veremos en que te seguirás equivocando.

     Con estos 2 puntos, dejo claro que las integrales sobre la superficie  todas son finitas y como tal, tiene sentido matemático y físico su cálculo.

Que tu asignes resultado matemático arbitrario a una fórmula, porque hoy abriste google mas temprano , no significa que ese resultado tenga una implicancia física, para eso tienes que demostrarlo con experimentos y no vi ninguno, solo palabrerío barato, sin fundamento, hasta tanto traigas una medida o prueba de que la gravedad en la superficie es $$GM/2R^2$$ en al menos uno de los lados no puedes ni nombrar la palabra física.


Este debate carece de sentido ya que no lo es como tal, ante errores de niño y temas ya zanjados hace 1 año, que vuelves una y otra vez a traer a la luz y demostrar que no conoces ni tu propio modelo.

 
    Richard:

    Aquí  he utilizado \( \sigma  \)   como una densidad de masa volumétrica (mira la definición), así la he definido.

     Creo que tengo el derecho a definir la densidad volumétrica con la letra que yo desee,¿ no?.

Si estuvieras de acuerdo, ya por último, contéstame a esta pregunta:
¿Cuántos puntos tiene tu \(  r-R=0  \)?
Te doy dos opciones posibles para contestar, para que así no te arranques por Peteneras:
a) Un punto.
b) Más de un punto.

Spoiler

Opino que no puedes seguir discutiendo con nadie sobre la integral de Riemann ni ninguna otra cosa de análisis hasta que no digas cómo entiendes eso (sí puedes, pero no llegaréis nunca a estar de acuerdo en nada).

[cerrar]

Saludos.

  Feriva
 Para calcular el campo en  la superficie de la esfera, r=R, siempre lo estamos calculando en un único punto que cumple esto. Pero todos los puntos de la superficie cumplen esta condición.
    Siempre utilizamos un único  punto, cualquiera de la superficie para realizar este cálculo.
    No sé si con esto te he respondido a tu pregunta.

  En mi anterior mensaje quería hacerte ver  que no  es necesario que una  función sea absolutamente integrable para que ésta sea integrable, que es lo que ocurre cuando la función es integrable en HK pero no lo es en Lebesgue.

Sí, eso ya lo sabía, pero es que tu función NO es HK-integrable, como te he demostrado.

    Ahora toca hacerte ver que las funciones que tenemos que integrar  para calcular la gravedad de una esfera hueca en su superficie son integrables en HK y para ello utilizaré el siguiente teorema en la integración HK:

Ese teorema es para funciones de una variable. Para funciones de dos variables tienes otro teorema que te cité yo en mi mensaje anterior, y que afirma que si una función es integrable en un rectángulo, como \( [-1, 1]\times [0, 2\pi] \), entonces también es integrable en \( [-1, 1]\times [0, \pi] \), pero sucede que la integral con la que "calculas" \( E_y \) NO es integrable en \( [-1, 1]\times [0, \pi] \) y en tu "cálculo" simplificas dos integrales que no existen. Si fueras un jugador de poker en el far west ya estarías lleno de plomo.

Si crees que tu integral para \( E_y \) existe, calcula su valor en \( [-1, 1]\times [0, \pi] \). Yo ya te he probado que no existe, y eso demuestra que la tuya tampoco.

Trampas de tahúr

    Es decir, cualquier  función que tenga una  función primitiva es integrable en HK.

      El siguiente paso es demostrar que esto se cumple para todas las funciones de nuestro cálculo.

   Las integrales que tenemos en el campo gravitatorio de una esfera hueca en su superficie  las describí en mi mensaje  https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=123119.msg516019#msg516019

 1) Análisis de la componente Ex:

 \( \vec E_x =  Lim_{\varepsilon -->1^-}\int_{(x, \theta)\in [-1, \epsilon]\times [0, 2\pi]}  \frac{ G\rho R^2}{ (2R^2(1-x))^{3/2}}((R(x-1)  dx d\theta \vec i   \)\( \vec E_x =  Lim_{\varepsilon -->1^-}\frac{G \rho}{8^{1/2}} \int_{-1}^\epsilon \int_0^{2\pi} \frac{ 1}{ (x-1)} dx d\theta \vec i  \)

En este caso la función   \( f(x,\theta)=\frac{ 1}{ (x-1)} \)

     La función \( f(x,-)=\frac{ 1}{ (x-1)} \)   la cual tiene primitiva y por lo tanto es integrable en HK.

y \( f(-,\theta)=K \)  donde K es una constante, la cual  tiene  función primitiva y por lo tanto es  integrables en HK.

   Por lo tanto ambas funciones son integrables en HK.

     Como ya os dije en ese mismo mensaje:

\( \vec E_x =  Lim_{\varepsilon -->1^-}\frac{G \rho}{8^{1/2}} \int_{-1}^\epsilon \int_0^{2\pi} \frac{ 1}{ (x-1)} dx d\theta \vec i  \)

  Y como podéis observar la función a integrar da lo mismo integrar primero la variable \( \theta \)  que la variable x,  por lo tanto, el Teorema de Fubini se cumple perfectamente.

  La función a integrar es continua y  utilizando el límite para \( \epsilon \) ya hemos eliminado el problema en x=1 donde la función es infinita.

  En definitiva la integral existe, y su resultado es:

    \( \vec E_x = -2 \pi G \rho \vec i  \) donde \( \rho \) es la densidad  de masa en superficial de la esfera
    o lo que es lo mismo    \( \vec E_x = - \frac{GM}{2R^2} \vec i \)

 2)  Análisis de las componentes EY, Ez:

      Como ya os dije las componentes Ey, Ez, se anulan debido a la geometría esférica y ahora es lo que voy a demostrar, pero lo primero es demostrar que las funciones a integrar son integrables en HK.  Voy hacer sólo el análisis para la componente E_y  ya que el análisis de la E_z  es idéntico.

\( \vec E_y =  Lim_{\varepsilon -->1^-}\int_{(x, \theta)\in [-1, \epsilon]\times [0, 2\pi]}   \frac{ G\rho R^2}{ (2R^2(1-x))^{3/2}} R\sqrt{1-x^2}\cos \theta   dx d\theta \vec k  \)\( \vec E_y =  Lim_{\varepsilon -->1^-}\int_{(x, \theta)\in [-1, \epsilon]\times [0, 2\pi]}   \frac{ G\rho}{ 2^{3/2}}\frac{\sqrt{1+x}}{1-x} \cos \theta   dx d\theta \vec k  \)

  Por lo tanto la función  \( f(x,\theta)=\frac{ G\rho}{ 2^{3/2}}\frac{\sqrt{1+x}}{1-x} \cos \theta \)

    Entonces  la función \(  f(x,-)= K1 \frac{\sqrt{1+x}}{1-x} \) ,, donde K1 es una constante.  Esta función  tiene primitiva y  por lo tanto es integrable en HK

   De igual forma,   la funcion\(  f(-,\theta)= K2 cos \theta  \)  ,, donde K2 es una constante. Esta función   tiene primitiva y por lo tanto son integrables en HK.

     Ahora solo falta demostrar que se cumple que el teorema de Rubini   que es lo que a continuación trataré de explicar:

 a)  Integración en \theta y luego en x.-
Para que entendáis lo que se está haciendo en este proceso de integración he realizado un pequeño dibujo:

   

 

    En este caso hacemos la integración primero de el ángulo \theta para un valor cualquiera de x_1 y luego integramos para la variable x entre -1 y 1.

    Lo que estamos haciendo, primeramente, es calcular el campo que crea un anillo de la esfera que está en una posición cualquiera x_1. Y como se ve en el dibujo para cada partícula de masa dm de este anillo, existe otra partícula dm en la otra semiesfera que hace que se anule la componente Y. Por lo tanto la integral de cada anillo sale 0.  Luego la integral a realizar es sobre la variable x, entre -1 y 1, pero la función a integral es la función f(x) = 0 lo cual sale al final que E_y=0.
 A continuación más detallado.

Partimos de que   \(  \int_0^{2\pi}\cos \theta\,d\theta\ = 0  \)  entonces resulta que

   \(  \displaystyle \vec E_y = \int_{-1}^1\int_0^{2\pi}\frac{G\rho R^2}{(2R^2(1-x))^{3/2}}R\sqrt{1-x^2}\cos \theta\,d\theta\,dx = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\int_0^{2\pi}\frac{1}{((1-x))^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\cos\theta\,d\theta\,dx =  \)

 \(     \displaystyle \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\frac{0}{(1-x)^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}{(\sqrt{1-x})^3} 0 \,dx =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x} 0 \,dx \)

\( \displaystyle \vec E_z =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_{-1}^t\frac{\sqrt{1+x}}{1-x} 0 \,dx =  0 \)

 
b) Integración en variable x  y luego en  \theta.-

 Igualmente , expongo un dibujo explicativo:


 
    En este caso   debemos de integrar sobre la variable x  para un valor de \theta_1 cualquiera y luego integramos sobre la variable \theta entre 0 y 2\pi.
   Aquí estamos primeramente, integrando sobre la variable x, entre -1 y 1, para una valor de \theta_1. Este es semejante a calcular el campo que crea un semi anillo que marcamos en color rojo, pero vemos igual al caso anterior, que existe siempre otro semianillo en la semiesfera contraria (\theta -\pi), en color azul, que crea un campo que hace que se anule la componente Y . De esta forma se anula semianillo a semianillo todas las componentes Y.

 A continuación una descripción  más detallada:

\( \displaystyle \vec E_y = \int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^1\frac{G\rho R^2}{(2R^2(1-x))^{3/2}}R\sqrt{1-x^2}\cos\theta\,dx,d\theta\ = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{2\pi}   \cos\theta \int_{-1}^1\frac{1}{((1-x))^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\,dx, d\theta\ = \)

Por otro lado tenemos que

 \(  \int_{-1}^1\frac{1}{((1-x))^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\,dx,= \int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx, = \lim_{t\rightarrow 1^-}\int_{-1}^t\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx = \lim_{t\rightarrow 1^-}\left(\tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{2}}\right)-2 \sqrt{t+1}\right)= B  \)

  Entonces sustituyendo:

 \( \vec E_y = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{2\pi}   \cos\theta \int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx, d\theta\ = \)

 \( \vec E_y = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{2\pi}  B \cos\theta, d\theta\ = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{\pi}  B \cos\theta, d\theta +\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{\pi}^{2\pi}  B \cos\theta, d\theta\ \)

 \( \vec E_y = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{2\pi}   \cos\theta \int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx, d\theta\ = \)

 \( \vec E_y = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{2\pi}  B \cos\theta, d\theta\ = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{\pi}  B \cos\theta, d\theta +\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{\pi}^{2\pi}  B \cos\theta d\theta\ \)

Realizando un cambio de variable para la 2ª integral,   de \( \alpha = \theta - \pi \)  -->\(  d\alpha = d\theta \) y lo límites cambian  0 y \( \pi \)

\( \vec E_y =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{\pi}  B \cos\theta, d\theta +\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{\pi}  B \cos(\alpha+\pi)  d\alpha\ \)

\( \vec E_y =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{\pi}  B \cos\theta, d\theta  -\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{\pi}  B \cos\alpha  d\alpha =0 \)

    Observad que sale cero pues es una diferencia de  una misma expresión matemática, siendo indiferente el valor de B.

  De esta forma  demostramos que el teorema de Rubini se cumple también.

  En definitiva,  resumiendo, la intensidad gravitatoria en la superficie de la esfera hueca,  se puede calcular y el resultado final es:

 \( \vec E_x = - \frac{GM}{2R^2} \vec i \)    y las componentes E_y=E_z=0.

   Este resultado obtenido ha sido obtenido por 2 métodos distintos:

   - mediante el análisis del campo  gravitatorio de una esfera hueca de radio infinito,  en el cual lo único que me he basado es  en que el campo gravitatorio en el infinito es nulo.

   - mediante el cálculo del flujo del campo gravitatorio  a través de una doble superficie esférica interconectadas que encerraba a la esfera hueca.
   Esto me hace estar seguro que este resultado obtenido es correcto.

  Las consecuencias de estos son importantísimas:

  1) Que la gravedad en la superficie sea la mitad que  la de en un punto  exterior muy cercano a ella provoca que el cálculo matemático mediante la integración no  sea el correcto para estudiar  este campo de gravedad, pues no puede haber una gravedad más grande cuando nos alejamos de la materia que lo genera.

  2) Que la gravedad en el interior de la esfera hueca  existe un campo gravitatorio que no es nulo como hasta ahora creíamos.

  Todo provoca que las ecuaciones de la gravedad de esfera huecas de espesor finito e incluso de esferas macizas no sean coherentes  que hemos estudiado en los libros no sean ciertas y  que puedan aparecer fenómenos tan increíbles (hasta ahora) como que una esfera maciza se pueda generar una esfera hueca.

[cerrar]

Carlos hola de nuevo.   

        1) Dependiendo del tipo de las características de cada  función,  éstas pueden ser integrables o no en Riemann, en Lebesgue, en HK.

       Debido a la definición de cada integral (Riemann, Lebesgue, HK), hay funciones que no pueden ser integrables en unos casos u otro.

         Las funciones integrables en  Riemann tienen la limitación en el nº de puntos con discontinuidad (deben ser  un número finito), si el nº es infinito pero es un conjunto de medida nula ya no puede ser integrable en Riemann, pero sí puede ser en Lebesgue con la condición que  la integral de su módulo sea integrable también en Lebesgue. Esto es debido a la definición de cómo se calcula la integral  en  Lebesgue.

    Cuando tenemos una función que es discontinua en un nº de puntos que no es de medida nula, o si la función no está acotada, esta función no es integrable por Lebesgue,  pues con la definición de cálculo de integral no se puede hacer y se dice que no es integrable.

     Luego se da un salto  en el proceso de integración con  la integral de HK, la cual ya no tiene restricciones sobre la acotación de la función, ya no es necesaria esta condición y por lo tanto, hay funciones que no son integrables en Lebesgue debido a que no es acotada pero en HK si pueden ser integrables. En este caso, sí se puede calcular la integral.

     Una vez que la función sea integrable en HK ya se puede hacer el cálculo como está en su definición  de integral y podrá salir un valor finito o diverger.       Sabemos que una función  que tenga primitiva  es integrable en HK, esto indica que podemos hacer la integral   con la regla de Barrow, pero su resultado puede ser finito o  diverger. 

     El que salga un valor divergente lo que indica es que el área comprendida entre la función y el eje X, entre los puntos en que se integra da un valor infinito.
     En el caso  del cálculo de la componente Y de la  gravedad,  de una semiesfera hueca   en el punto x=1,  la función a integrar tiene primitiva  y por lo tanto, la función es integrable en HK, pero al realizar el cálculo la integral sale infinito, lo cual indica que la gravedad que es generada en ese punto en el eje Y es infinita lo cual tiene el mismo sentido físico que  el estar a una distancia  r=0 de una partícula puntual de masa M.

   2)   Carlos,  En la componente Ey , Ez,   te he demostrado que todas las funciones son integrables en HK sólo que cuando  calculamos la integral para  la semiesfera diverge, pero la otra semiesfera crea  el mismo campo divergente pero de sentido contrario. Por eso las 2 componentes Ey=Ez=0.
  Esto creo que ha quedado muy claro en mis esquemas del mensaje pasado.

     El esquema del vector gravedad resultante que he expuesto aquí es idéntico para un punto de la superficie como para un punto fuera de la superficie. Siempre por la simetría esférica de la esfera, el componente resultante Z e Y se anulan.  Siempre cualquier punto de masa de la semiesfera tiene otro punto en la otra semiesfera que hace que ambas contribuciones en las componentes Z e Y se anulen.  Cualquier forma de hacer a integral al final va hacer que se anulen las componentes Z e Y.

   Pero no quiero que quede duda  a nivel  matemático de esto que físicamente se ve tan claro y para ello os voy a demostrar que  si la integral de una función diverge, hay una posibilidad que al sumar otra integral su resultado se anule.

     Sea un función f(x) que su integral diverge.   \( \int_a^b f(x) dx = + infinito \).

      Sea \( g(x)= 0 \)     la función nula  para todo x,  g(x) la podemos poner de la siguiente forma sencillamente:

      \( g(x)= f(x) - f(x) \),,

     Integrando ambas igualdades tenemos que la igualdad se mantiene:

    \( \int_a^b g(x) dx = 0 \)   y por tanto  \(   0=  \int_a^b f(x) dx - \int_a^b f(x) dx \),,

     Por lo tanto   la resta de 2 integrales que divergen puede  resultar cero, sólo si ambas funciones son iguales.
 
    En el caso  que estamos hablando, esto es precisamente  lo que ocurre: La integral  en las 2 semiesferas divergen pero idénticas matemáticamente,  pero una se compensa con la otra, porque es exactamente lo mismo.     

    3) Carlos  he utilizado el teorema que tú dices  que nos habla del teorema de Rubini  y  te he demostrado  que las funciones \( f(x,-) \) y \( f(-,\theta) \) son integrables  para las e componentes (x, y, z) y que se cumple el teorema de Rubini, por lo que la demostración  que la función \( f(x,\theta) \) es integrable  en HK está realizada.

  teorema de Rubini.

Ya he dicho que de física ni idea, pero en tu definición de HK integrable dice que tiene que ser derivable en un intervalo, pero dices que \( \dfrac{1}{1-x} \) tiene primitiva. ¿Y si x=1? Has integrado en un intervalo donde no está definida la función, ¿no?
Pregunto porque de integrales en dos variables ni idea.

Edito: Se adelantó Carlos y parece que yo no iba mal encaminado....

Ah, ésa es otra. En efecto. Yo he señalado la primera trampa que he visto, pero ésa es otra, sin duda.

   Por otro lado indicar que en el punto x=1, que es donde está  la divergencia de la función a integrar, no hay problema con la integración pues como ves hacemos límite cuando \( t --> 1^-. \)

      Se trata de hacer el cálculo de la integral como una integral impropia de 2ª especie que ya os describí en un video hace algunos mensajes atrás.

     

  Un saludo.

 

[feriva]

Si estuvieras de acuerdo, ya por último, contéstame a esta pregunta:
¿Cuántos puntos tiene tu \(  r-R=0  \)?
Te doy dos opciones posibles para contestar, para que así no te arranques por Peteneras:
a) Un punto.
b) Más de un punto.

Spoiler

Opino que no puedes seguir discutiendo con nadie sobre la integral de Riemann ni ninguna otra cosa de análisis hasta que no digas cómo entiendes eso (sí puedes, pero no llegaréis nunca a estar de acuerdo en nada).

[cerrar]

Saludos.

  Feriva
 Para calcular el campo en  la superficie de la esfera, r=R, siempre lo estamos calculando en un único punto que cumple esto. Pero todos los puntos de la superficie cumplen esta condición.
    Siempre utilizamos un único  punto, cualquiera de la superficie para realizar este cálculo.
    No sé si con esto te he respondido a tu pregunta.

Ya, pero es que sobre un punto (digamos en la dirección del eje “Y”) yo puedo colocar un segmento de longitud \( r-R \) sobre un solo putno del eje “X”. Entonces, si \( r-R=0 \), dicho segmento no existe, pues consta de un sólo punto; y eso implica que tal “segmento” esté asociado a todas las direcciones del espacio y, con eso, ya no se sabe ni quién es el vector del campo particular al que quieres referirte, “todo es campo” (un campo sin vector de campo no es un campo).


Una pregunta sobre esto:

Carlos hola de nuevo.   

        1) Dependiendo del tipo de las características de cada  función,  éstas pueden ser integrables o no en Riemann, en Lebesgue, en HK.

       Debido a la definición de cada integral (Riemann, Lebesgue, HK), hay funciones que no pueden ser integrables en unos casos u otro.

         Las funciones integrables en  Riemann tienen la limitación en el nº de puntos con discontinuidad (deben ser  un número finito), si el nº es infinito pero es un conjunto de medida nula ya no puede ser integrable en Riemann, pero sí puede ser en Lebesgue con la condición que  la integral de su módulo sea integrable también en Lebesgue. Esto es debido a la definición de cómo se calcula la integral  en  Lebesgue.

    Cuando tenemos una función que es discontinua en un nº de puntos que no es de medida nula, o si la función no está acotada, esta función no es integrable por Lebesgue,  pues con la definición de cálculo de integral no se puede hacer y se dice que no es integrable.

     Luego se da un salto  en el proceso de integración con  la integral de HK, la cual ya no tiene restricciones sobre la acotación de la función, ya no es necesaria esta condición y por lo tanto, hay funciones que no son integrables en Lebesgue debido a que no es acotada pero en HK si pueden ser integrables. En este caso, sí se puede calcular la integral.

¿Pero tu esfera hueca es como un bombo de lotería, así hecha como de alambres de anchura nula en vez de tener una capa continua de puntos?

Saludos.

[sugata]

Reitero mi desconocimiento de análisis de dos variables....

Se trata de hacer el cálculo de la integral como una integral impropia de 2ª especie que ya os describí en un video hace algunos mensajes atrás.

Que yo sepa, las integrales impropias tienen límites en más menos infinito. Tu estás integrando en un intervalo acotado, y para hacerlo, debe estar definida.....
No he visto el video. A ver si lo encuentro. Pero no puedes pasar de una integral definida a una impropia, creo....

[Carlos Ivorra]

Nada por aquí, nada por allá...

        1) Dependiendo del tipo de las características de cada  función,  éstas pueden ser integrables o no en Riemann, en Lebesgue, en HK.

       Debido a la definición de cada integral (Riemann, Lebesgue, HK), hay funciones que no pueden ser integrables en unos casos u otro.

         Las funciones integrables en  Riemann tienen la limitación en el nº de puntos con discontinuidad (deben ser  un número finito), si el nº es infinito pero es un conjunto de medida nula ya no puede ser integrable en Riemann, pero sí puede ser en Lebesgue con la condición que  la integral de su módulo sea integrable también en Lebesgue. Esto es debido a la definición de cómo se calcula la integral  en  Lebesgue.

    Cuando tenemos una función que es discontinua en un nº de puntos que no es de medida nula, o si la función no está acotada, esta función no es integrable por Lebesgue,  pues con la definición de cálculo de integral no se puede hacer y se dice que no es integrable.

     Luego se da un salto  en el proceso de integración con  la integral de HK, la cual ya no tiene restricciones sobre la acotación de la función, ya no es necesaria esta condición y por lo tanto, hay funciones que no son integrables en Lebesgue debido a que no es acotada pero en HK si pueden ser integrables. En este caso, sí se puede calcular la integral.

[cerrar]

... Y ¡ale hop!: un unicornio rosa:

     Una vez que la función sea integrable en HK ya se puede hacer el cálculo como está en su definición  de integral y podrá salir un valor finito o diverger.       Sabemos que una función  que tenga primitiva  es integrable en HK, esto indica que podemos hacer la integral   con la regla de Barrow, pero su resultado puede ser finito o  diverger. 

Pasamos a hablar de las funciones unicorniorrosa-integrables, porque las HK-integrables, aunque no lo sepas, si realmente son integrables, siempre tienen integral finita, por definición.

     El que salga un valor divergente lo que indica es que el área comprendida entre la función y el eje X, entre los puntos en que se integra da un valor infinito.
     En el caso  del cálculo de la componente Y de la  gravedad,  de una semiesfera hueca   en el punto x=1,  la función a integrar tiene primitiva  y por lo tanto, la función es integrable en HK, pero al realizar el cálculo la integral sale infinito, lo cual indica que la gravedad que es generada en ese punto en el eje Y es infinita lo cual tiene el mismo sentido físico que  el estar a una distancia  r=0 de una partícula puntual de masa M.

En efecto, sale infinito, y eso prueba que el integrando NO es HK-integrable, lo sepas tú o no.

   2)   Carlos,  En la componente Ey , Ez,   te he demostrado que todas las funciones son integrables en HK sólo que cuando  calculamos la integral para  la semiesfera diverge, pero la otra semiesfera crea  el mismo campo divergente pero de sentido contrario. Por eso las 2 componentes Ey=Ez=0.
  Esto creo que ha quedado muy claro en mis esquemas del mensaje pasado.

Sí, ha quedado muy claro que cancelas dos integrales que no existen, porque la dos dan infinito. Eso es una animalada, lo sepas tú o no.

Lo que dice el teorema que te cité, y que queda claro que no entiendes, es que si una función es HK-integrable en un rectángulo \( [-1, 1]\times [0, 2\pi] \) (lo que en particular requiere que la integral sea finita), entonces también es integrable en \( [-1, 1]\times [0, \pi] \), y eso, aunque tú no lo sepas, implica que la integral también es finita. Desde el momento en que admites que la integral en  \( [-1, 1]\times [0, \pi] \) (correspondiente a la semiesfera) es infinita, deberías admitir (si no vivieras en tu mundo de unicornios rosa) que la integral para la esfera tampoco existe, porque eso es lo que afirma el teorema que te cité y cuyo significado no entiendes.

     El esquema del vector gravedad resultante que he expuesto aquí es idéntico para un punto de la superficie como para un punto fuera de la superficie. Siempre por la simetría esférica de la esfera, el componente resultante Z e Y se anulan.  Siempre cualquier punto de masa de la semiesfera tiene otro punto en la otra semiesfera que hace que ambas contribuciones en las componentes Z e Y se anulen.  Cualquier forma de hacer a integral al final va hacer que se anulen las componentes Z e Y.

Si cancelas infinitos, seguro, pero eso NO se puede hacer.

   Pero no quiero que quede duda  a nivel  matemático de esto que físicamente se ve tan claro y para ello os voy a demostrar que  si la integral de una función diverge, hay una posibilidad que al sumar otra integral su resultado se anule.

     Sea un función f(x) que su integral diverge.   \( \int_a^b f(x) dx = + infinito \).

      Sea \( g(x)= 0 \)     la función nula  para todo x,  g(x) la podemos poner de la siguiente forma sencillamente:

      \( g(x)= f(x) - f(x) \),,

     Integrando ambas igualdades tenemos que la igualdad se mantiene:

    \( \int_a^b g(x) dx = 0 \)   y por tanto  \(   0=  \int_a^b f(x) dx - \int_a^b f(x) dx \),,

     Por lo tanto   la resta de 2 integrales que divergen puede  resultar cero, sólo si ambas funciones son iguales.
 
    En el caso  que estamos hablando, esto es precisamente  lo que ocurre: La integral  en las 2 semiesferas divergen pero idénticas matemáticamente,  pero una se compensa con la otra, porque es exactamente lo mismo.     

Esto, aparte de ser también una tontería, no tiene nada que ver con la tontería que haces en tu "demostración", porque allí no descompones una integral nula en suma integrales de la misma función sobre el mismo conjunto, sino que descompones una integral en un rectángulo \( [-1, 1]\times [0,2\pi] \) en suma de integrales en dos rectángulos \( [-1, 1]\times [0,\pi] \) y \( [-1, 1]\times [\pi,2\pi] \) y luego, a pesar de que ninguna de las dos existe, manipulas una para decir que es igual a la otra. Todas las manipulaciones que haces sobre integrales de funciones no integrables son meras trampas de tahúr. Admites que las dos integrales son infinitas y sólo tu inmensa ignorancia te impide ver que eso demuestra que la integral sobre el rectángulo grande no existe. El teorema 2.2 que te cité y que no entiendes prueba que si la integral completa fuera finita, las dos integrales en que la descompones también tendrían que ser finitas. ¿Y qué le vamos a hacer si no entiendes el enunciado del teorema 2.2? No puedo hacer que te estudies el libro entero, ni mucho menos que lo entendieras si lo intentaras. ¿Qué remedio hay para ti?

    3) Carlos  he utilizado el teorema que tú dices  que nos habla del teorema de Rubini  y  te he demostrado  que las funciones \( f(x,-) \) y \( f(-,\theta) \) son integrables  para las e componentes (x, y, z) y que se cumple el teorema de Rubini, por lo que la demostración  que la función \( f(x,\theta) \) es integrable  en HK está realizada.

Tú has demostrado que es integrable y yo te he demostrado que no es integrable, con la diferencia de que en mi demostración no aparecen unicornios rosas, y en la tuya los hay por todas partes, sobre todo cuando manipulas algebraicamente integrales que no existen. No puedes cancelar dos "expresiones matemáticas" presuntamente iguales cuando en realidad son dos integrales que no existen.

Ya he dicho que de física ni idea, pero en tu definición de HK integrable dice que tiene que ser derivable en un intervalo, pero dices que \( \dfrac{1}{1-x} \) tiene primitiva. ¿Y si x=1? Has integrado en un intervalo donde no está definida la función, ¿no?
Pregunto porque de integrales en dos variables ni idea.

Edito: Se adelantó Carlos y parece que yo no iba mal encaminado....

Ah, ésa es otra. En efecto. Yo he señalado la primera trampa que he visto, pero ésa es otra, sin duda.

   Por otro lado indicar que en el punto x=1, que es donde está  la divergencia de la función a integrar, no hay problema con la integración pues como ves hacemos límite cuando \( t --> 1^-. \)

      Se trata de hacer el cálculo de la integral como una integral impropia de 2ª especie que ya os describí en un video hace algunos mensajes atrás.

No tiene sentido discutir tu cálculo porque en realidad tiene errores de bulto y al final no queda esa integral, pero si realmente crees que \( 1/(1-x) \) es integrable en \( [-1, 1] \) y que la integral es finita, eso ya te retrata (por enésima vez) y deja claro tu nivel de conocimiento.

[feriva]

Reitero mi desconocimiento de análisis de dos variables....

Se trata de hacer el cálculo de la integral como una integral impropia de 2ª especie que ya os describí en un video hace algunos mensajes atrás.

Que yo sepa, las integrales impropias tienen límites en más menos infinito. Tu estás integrando en un intervalo acotado, y para hacerlo, debe estar definida.....
No he visto el video. A ver si lo encuentro. Pero no puedes pasar de una integral definida a una impropia, creo....

Es que es impropia de segunda especie, él toma cero en uno de los límites de integración sin que ese cero esté definido para la función, de forma que, en vez de ser cero, son los valores que se aproximan a cero sin llegar nunca; viene a pasar lo mismo que cuando un límite tiende a infinito, da el mismo tipo de problema. Pero es que no hace falta considerar eso, es una complicación.
...
Y ahora está considerando integrales que en vez de partirse en columnas cada vez más finas, como en Riemann, se parten en filas, a lo ancho, como la de Lesbegue; que tampoco hace falta para nada con lo del cascarón. 

[sugata]

Es que es impropia de segunda especie

Vale. Ya lo he mirado. Yo solo conocía las de primera especie....
Pero haciendo los cálculos sigue siendo divergente, ¿no?

[DCM]

   2)   Carlos,  En la componente Ey , Ez,   te he demostrado que todas las funciones son integrables en HK sólo que cuando  calculamos la integral para  la semiesfera diverge, pero la otra semiesfera crea  el mismo campo divergente pero de sentido contrario. Por eso las 2 componentes Ey=Ez=0.
  Esto creo que ha quedado muy claro en mis esquemas del mensaje pasado.

Sí, ha quedado muy claro que cancelas dos integrales que no existen, porque la dos dan infinito. Eso es una animalada, lo sepas tú o no.

Lo que dice el teorema que te cité, y que queda claro que no entiendes, es que si una función es HK-integrable en un rectángulo \( [-1, 1]\times [0, 2\pi] \) (lo que en particular requiere que la integral sea finita), entonces también es integrable en \( [-1, 1]\times [0, \pi] \), y eso, aunque tú no lo sepas, implica que la integral también es finita. Desde el momento en que admites que la integral en  \( [-1, 1]\times [0, \pi] \) (correspondiente a la semiesfera) es infinita, deberías admitir (si no vivieras en tu mundo de unicornios rosa) que la integral para la esfera tampoco existe, porque eso es lo que afirma el teorema que te cité y cuyo significado no entiendes.

Hola Carlos   hay algo   que quiero volver a recalcar pues es muy importante y lo hago con el siguiente esquema:
 

   
   1) Está claro que en el punto P, que está en el exterior de la  esfera, fuera de la superficie, tiene como resultado de la gravedad, en la componente Y,    \( E_y=0 \).
       Esto se explica desde el punto de vista físico, ya que cualquier punto de la esfera hueca, dm,  crea una  gravedad en la componente Y  en este punto P y luego existe otro punto de la superficie, en la semiesfera contraria, d'm, que crea la misma componente pero con signo contrario.

     Esto es debido a la simetría esférica de la esfera y que la fuerza que se crea por cada partícula es radial entre el punto de medida y la partícula que crea el campo.

     Este mismo argumento es válido desde el punto de vista físico para el punto de la superficie de la esfera, P'. No hay nada diferente desde el punto de vista físico que haga que la \( E_y \) sea distinto de cero para este punto.

    Por lo tanto, el único valor posible  de la componente \(  E_y \)   en el punto de la superficie de la esfera hueca  es cero.

    Esto es algo tan básico en física, pero no es que lo diga yo, sino que lo podéis encontrar este razonamiento,  en internet cuando se calcula el campo creado por cuerpos con simetría esférica. Os adjunto un ejemplo del cálculo del campo eléctrico de una cáscara  semiesférica, en coordenadas cartesianas, en su centro. Lo importante de este ejemplo es sólo para que veáis que  en los puntos del eje de simetría de  estas formas con simetría esférica, sólo se crea la componente según el eje de simetría y se anulan las otras dos de los ejes cartesianos.

     

   Por lo tanto lo único que hay que calcular es la componente \( E_x \).

    En resumen desde el punto de vista físico, en una esfera hueca , utilizando las coordenadas cartesianas, sabemos que las componentes \( E_y \)  \( E_z \) se anulan  por simetría esférica y la definición del campo gravitatorio y sólo tenemos un valor distinto de cero en la componente \(  E_x \).

   
   2)  De todas formas  estoy intentando armonizar lo que dice la física con las matemáticas y por ello continuo con el intento.

   Primero indicar que yo veo varios tipos de funciones a la hora de integrarlas según R,L, HK:

   1) Funciones que por forma no pueden ser integradas según la definición R,L, HK. Las cuales no puedes dar dar ningún resultado de la integral, pues no se sabe cómo calcularla, no puedes hacer ningún tipo de cálculo. Para mí estas funciones no son integrables.

   2) Funciones que sí se puede integrar según la definición R, L, HK, y por tanto puedes realizar la integral según la regla de Barrow y todas las demás propiedades de las integrales. Para mí  estas funciones son funciones integrables.

      a) Al realizar la integral el resultado sale un valor finito. Indica que el área que existe entre la función y el eje x es un número finito.

      b) Al realizar el cálculo de la integral el resultado es divergente. Indica que el área que existe entre la función y el eje x es  infinita.

      Tanto el caso a)  como el b) tiene un significado físico y nos da información precisa sobre esta función que estamos integrando. El que salga infinita es lo mismo que decir que la gravedad a una distancia de una masa puntual es infinita.


Por otro lado indicar que  lo que demostré en mi último mensaje

 Sea un función f(x) que su integral diverge.   \( \int_a^b f(x) dx = + infinito \).

      Sea \( g(x)= 0  \)    la función nula  para todo x,  \( g(x) \) la podemos poner de la siguiente forma sencillamente:
      \( g(x)= f(x) - f(x),, \)

     Integrando ambas igualdades tenemos que la igualdad se mantiene:

    \( \int_a^b g(x) dx = 0 \)   y por tanto    \( 0=  \int_a^b f(x) dx - \int_a^b f(x) dx,, \)

     Por lo tanto   la resta de 2 integrales que divergen puede  resultar cero, sólo si ambas funciones son iguales.


   No le has dado la importancia que tiene, pues aquí te demuestro que es falso que siempre que una suma o resta de  integrales que alguna diverja el resultado  es divergente y esto lo utilices para decir que la integral suma también diverja.

   Hay sólo un caso que esto no se cumple y es cuando es una resta de las integrales de la misma función.  Y esto es incuestionable pues si esto no fuera así la integral de la función  \( f(x)=0 \) divergería, lo cual no es posible.

   Pero esto es precisamente lo que pasa en el caso de la componente \( E_y \).

     La gravedad de una semiesfera  hueca con respecto al eje de las X, es igual pero de sentido contrario a la gravedad de la otra semiesfera  hueca  y por lo tanto las 2 se anulan.

    Es el único caso que esto puede ocurrir.

   Recordemos que:

\( \vec E_y =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{\pi}  B \cos\theta, d\theta  -\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{\pi}  B \cos\alpha  d\alpha =0 \)

donde B es
   \( B= \lim_{t\rightarrow 1^-}\left(\tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{2}}\right)-2 \sqrt{t+1}\right) \)

  Por tanto queda demostrado que la \( E_y = 0 \)  para  las 2 formas de integrar \( (x,\theta) \). 

   De esta forma queda armonizada la Física y las Matemáticas.

   Carlos, ten en cuenta que las funciones \( f(x,\theta) \) que tenemos en todas las componentes son del tipo:

    \( f(x,\theta) = g(x) h(\theta) \),, donde las funciones \( g(x) \) y \( h(\theta) \) tienen primitivas y por lo tanto son integrables en HK.

     Y tu sabes que este tipo de funciones cuando es un producto con las variables separadas,  siempre cumple el teorema de Fubini, da igual  en el orden que se integre el resultado es el mismo. Por lo tanto siempre podemos asignar cualquiera de las 2 formas de integrar  como resultado  final de la integral,

    Por lo tanto  Carlos si quieres discutir sobre  la gravedad de esta esfera hueca en su superficie en coordenadas cartesianas  debe ser sobre la componente E_x.
   Que como ves no hay ningún problema para calcular su integral   resultando

   \( \vec E_x=-\frac{GM}{2R^2} \vec i \)

   Que como ves sale exactamente igual que el cálculo que llevamos haciendo en coordenadas esféricas. Lo cual no podía ser de otra forma.

   Un saludo.