Autor Tema: Responder preguntas sobre crecimiento de una población

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08 Marzo, 2021, 02:04 am
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manooooh

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Hola!

Una población actualmente tiene 30 millones de habitantes y aumenta el 10% cada 5 años. Calcular

a) La cantidad de habitantes en 2026 y 2040.
b) La cantidad de habitantes 10 años antes.
c) ¿Cuándo habrá el doble de lo que hay actualmente?




En principio les planteo como lo pensé yo, y ustedes me corrigen y plantean una forma más directa de resolverlo:

Empecé suponiendo que se trata de un modelo de crecimiento exponencial de población. Ahora viene mi problema y es que no sé si puedo decir que como la población aumenta 10% cada 5 años, entonces aumentará 2% cada año, si planteo \( f(t)=30.000.000(1.02)^t \) entonces a los \( 5 \) años habrá \( f(5)=33.122.424,096\approx33.122.424 \) habitantes, mientras que lo lógico sería \( 33.000.000 \).

Además me cuesta hallar la función "en el momento actual" es decir 2021. Pero igualmente seguí y contesté a los puntos:

a) Como \( 2026-2021=5 \) y \( 2040-2021=19 \), meto esos valores en la función: \( f(5)\approx33.122.424 \) y \( f(19)\approx43.704.335 \) habitantes.

b) Como \( 2011-2021=-10 \) lo meto en la función: \( f(-10)=24.610.448 \) habitantes.

c) Si actualmente hay 30 millones, debo despejar el tiempo cuando haya el doble, es decir 60 millones:

\( f(t)=30.000.000(1.02)^t=60.000.000\to(1.02)^t=2\to x\ln(1.02)=\ln(2)\to x\approx35 \), es decir se requerirán 35 años para duplicar la población actual.

¿Ven bien la función planteada? ¿Por qué funciona si yo parto de \( t_0=0 \) pero el enunciado parte de \( t_0=2021 \)? ¿Se corrige desplazando la función a la derecha i.e. lo correcto es \( g(t)=30.000.000(1.02)^{t-2021} \)?

Gracias!!
Saludos

08 Marzo, 2021, 09:02 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Vaya por delante que hay que presuponer un modelo de crecimiento. Con esto quiero decir que del dato objetivo y tomado al pie de la letra, de que cada \( 5 \) años aumenta un \( 10 \)% no se puede saber como ha sido el crecimiento en años intermedios.

 Entonces supongamos (como suele hacerse y es razonable) que en cada instante el crecimiento es proporcional a la población, es decir:

\( f'(t)=kf(t) \)

 Sabemos que la solución general de esa ecuación es:

\( f(t)=ce^{kt}  \)

 Para hallar las constantes imponemos las condiciones iniciales:

\(  f(2021)=30000000 \) (Igualmente si consideramos el tiempo medido desde el año actual podríamos considerar \( f(0)=30000000 \). Eso no va a variar el resultado. Simplemente cambia la forma de medir el tiempo y por tanto de introducir los datos).
\(  f(t+5)=f(t)\cdot 1.1 \)

 De la segunda ecuación:

\(  e^{5k}=1.1\quad \Rightarrow{}\quad e^k=\sqrt[5]{1.1} \)

 e imponiendo la primera queda:

\(  f(t)=30000000\cdot 1.1^{\frac{t-2021}{5}} \)

Saludos.

09 Marzo, 2021, 12:40 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Vaya por delante que hay que presuponer un modelo de crecimiento. Con esto quiero decir que del dato objetivo y tomado al pie de la letra, de que cada \( 5 \) años aumenta un \( 10 \)% no se puede saber como ha sido el crecimiento en años intermedios.

Claro, gracias.

Entonces supongamos (como suele hacerse y es razonable) que en cada instante el crecimiento es proporcional a la población, es decir:

\( f'(t)=kf(t) \)

 Sabemos que la solución general de esa ecuación es:

\( f(t)=ce^{kt}  \)

 Para hallar las constantes imponemos las condiciones iniciales:

\(  f(2021)=30000000 \) (Igualmente si consideramos el tiempo medido desde el año actual podríamos considerar \( f(0)=30000000 \). Eso no va a variar el resultado. Simplemente cambia la forma de medir el tiempo y por tanto de introducir los datos).
\(  f(t+5)=f(t)\cdot 1.1 \)

 De la segunda ecuación:

\(  e^{5k}=1.1\quad \Rightarrow{}\quad e^k=\sqrt[5]{1.1} \)

 e imponiendo la primera queda:

\(  f(t)=30000000\cdot 1.1^{\frac{t-2021}{5}} \)

No llego a la expresión de la función: Si \( f(t)=ce^{kt} \) hay que buscar \( c,k \):

- Si \( f(2021)=30000000 \) luego \( ce^{2021k}=30000000\to c(e^{k})^{2021}=30000000 \)

- Si \(  f(t+5)=f(t)\cdot 1.1 \) luego \( ce^{k(t+5)}=ce^{kt}1.1\to ce^{kt}e^{5k}=ce^{kt}1.1\to e^{5k}=1.1\to e^k=\sqrt[5]{1.1} \)

Entonces reemplazo esto último en la ecuación de arriba:

\( c(\sqrt[5]{1.1})^{2021}=30000000\to\boxed{c=\dfrac{30000000}{(\sqrt[5]{1.1})^{2021}}} \) y ese número según WA es \( 5.57440\ldots \cdot 10^{-10} \) ???.

Saludos

09 Marzo, 2021, 05:12 am
Respuesta #3

Gustavo

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Hola. No tienes ningún error:

\[
ce^{kt}= \dfrac{30000000}{(\sqrt[5]{1.1} )^{2021}  }\ e^{kt}= 30000000\cdot \dfrac{(e^k)^t}{1.1^{2021/5} } = 30000000\cdot \dfrac{1.1^{t/5}}{1.1^{2021/5} } = 30000000\cdot 1.1^{\dfrac{t-2021}{5} }
\]