Autor Tema: Problema de elección de asientos

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07 Marzo, 2021, 11:05 pm
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manuvier

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Si a un ómnibus con \( n \) asientos suben \( i \) personas con \( i\leq n \).
(a) ¿De cuántas maneras pueden elegirse los asientos en los que se sentara la gente?
(b) ¿De cuántas maneras distintas puede disponerse la gente en el ómnibus?
(c) * Asumamos ahora que la gente se dispone al azar y que cada disposición particular tiene la misma probabilidad (equiprobabilidad).
Supongamos que \( n = 4m \) y que el ómnibus tiene un pasillo en el medio; y que a cada costado del pasillo hay \( m \) filas de 2 asientos.
Para darle un toque romántico, suponga ahora que sube al ómnibus Keanu Reeves o Angelina Jolie (según la opción de cada uno), qué probabilidad tiene Ud. de quedar sentado al lado del personaje en cuestión?

He resuelto el ejercicio de la siguiente forma pero no estoy seguro de si esta bien.

a) El primer pasajero tiene \( n \) formas de elegir un asiento, el segundo \( n-1 \) lugares, el tercero \( n-3 \) y así sucesivamente,  entonces la respuesta seria \( n(n-1)(n-2).....(n-i) \)

b) En esta parte pienso que hay que multiplicar las ordenaciones posibles de los pasajeros por las posibles disposiciones de esos grupos de pasajeros \( i!*\displaystyle\binom{n}{i} \)

c) El c lo sigo pensando

Podrían decirme si he razonado bien las partes a y b, gracias.

Mensaje corregido desde la administración.

07 Marzo, 2021, 11:52 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Yo creo que en el apartado a) te piden las maneras de elegir \[ i \] asientos de los \[ n \] disponibles, independientemente de quién se siente en cada asiento. Entonces, la respuesta sería \[ \binom{n}{i} \].

El apartado b) sí te pide las maneras distintas en que se puede sentar la gente. La respuesta que das es correcta: \[ \binom{n}{i} i! \]. Pero fíjate que esto es lo mismo que la solución que has dado para el apartado a). La solución que das al apartado a) tiene una errata, debería ser \[ n(n-1)\dots (n-i+1) \] (el primero tiene \[ n \] asientos disponibles, el segundo \[ n-1 \], el tecero \[ n-2 \],..., el \[ i \]-ésimo \[ n-i+1 \]).
Pero \[ \binom{n}{i}i!=\frac{n!}{i!(n-i)!}i!=\frac{n!}{(n-i)!}=n(n-1)\dots (n-i+1) \]. Así que da lo mismo, como no podía ser de otra manera pues estamos contando lo mismo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Marzo, 2021, 12:15 am
Respuesta #2

manuvier

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Gracias, estaba interpretando mal la parte a, seguiré pensando la parte c

08 Marzo, 2021, 09:04 pm
Respuesta #3

robinlambada

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Gracias, estaba interpretando mal la parte a, seguiré pensando la parte c

Para este te puede ayudar pensar de cuantas maneras distintas se pueden sentar 2 personas concretas juntas, en \( 2m \) parejas de asientos, teniendo en cuenta que puede pasar que cualquiera puede estar a la izquierda o derecha del otro.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

08 Marzo, 2021, 09:08 pm
Respuesta #4

robinlambada

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Otra forma de plantearlo que se me acaba de ocurrir.

Primero piensa de cuantas maneras puedes sentarte tu, una vez fijado tu asiento ¿ cuantas maneras hay de que la persona famosa se siente a tu lado, teniendo en cuenta que hay un pasillo que limita?
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08 Marzo, 2021, 09:58 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Primero piensa de cuantas maneras puedes sentarte tu, una vez fijado tu asiento ¿ cuantas maneras hay de que la persona famosa se siente a tu lado, teniendo en cuenta que hay un pasillo que limita?

De hecho es indiferente de cuantas maneras puedes sentarte tu. Simplemente si consideras fijado tu asiento, el famoso puede tiene la misma probabilidad de sentarse en los restantes.... Ergo...

Saludos.

08 Marzo, 2021, 10:32 pm
Respuesta #6

robinlambada

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Hola

Primero piensa de cuantas maneras puedes sentarte tu, una vez fijado tu asiento ¿ cuantas maneras hay de que la persona famosa se siente a tu lado, teniendo en cuenta que hay un pasillo que limita?

De hecho es indiferente de cuantas maneras puedes sentarte tu. Simplemente si consideras fijado tu asiento, el famoso puede tiene la misma probabilidad de sentarse en los restantes.... Ergo...

Saludos.
Claro, mucho más fácil así.

Saludos.
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11 Marzo, 2021, 01:55 pm
Respuesta #7

manuvier

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Esta fue la respuesta del profesor a este problema :
 En la parte c tenemos que i=2. Es cierto que los casos posibles son arreglos de 4m tomados de a i. Los casos favorables son $m (por cada lugar en el que tú te sientes hay un caso favorable a estar al lado de Keanu Reeves: a saber, que él esté en el asiento de al lado). De modo que la probabilidad es 4m/(4m(4m-1)=1/(4m-1). Otra forma de pensarlo es que tú te vas a sentar en uno de los 4m lugares, si él eligiera al azar dónde sentarse tiene 4m-1 casos posibles y un solo caso favorable a que elija el asiento de al lado. Dividiendo llegás al mismo resultado.
Cordiales saludos.

11 Marzo, 2021, 03:21 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

 ¿Pero intentaste seguir las indicaciones que te habíamos dado?.

Otra forma de pensarlo es que tú te vas a sentar en uno de los 4m lugares, si él eligiera al azar dónde sentarse tiene 4m-1 casos posibles y un solo caso favorable a que elija el asiento de al lado. Dividiendo llegás al mismo resultado.

Esto es exactamente esta idea:

De hecho es indiferente de cuantas maneras puedes sentarte tu. Simplemente si consideras fijado tu asiento, el famoso puede tiene la misma probabilidad de sentarse en los restantes.... Ergo...

Saludos.