[carambola]

Calcular el siguiente límite según el valor de $$a \in{\mathbb{R}}$$ :

$$\displaystyle\lim_{t \to{}0}{(t^{-a}(1-cos(t))}$$

Creo que sería de gran utilidad utilizar el polionomio de Maclaurin

Muchas gracias!

[Fernando Revilla]

$$\displaystyle\lim_{t \to{}0}{(t^{-a}(1-cos(t))}$$

Usa que \( 1-\cos t\sim \displaystyle\frac{t^2}{2} \) si \( t\to 0 \).

[carambola]

Y que hacemos con el $$-t^{-a}$$

[sugata]

Y que hacemos con el $$-t^{-a}$$

Estoy oxidado, pero.
\( \displaystyle\lim_{t \to 0}{-t^{-a}}=0^{-a} \)

¿Para qué valores de "a" da problemas este límite?

[Juan Pablo Sancho]

También puedes hacer:
\( 1-cos(t) = (1-\cos(t)) \cdot \dfrac{1+\cos(t)}{1+\cos(t)} = \dfrac{(1-\cos(t)) \cdot (1+\cos(t))}{1+\cos(t)} =  \)
\(  = \dfrac{1-\cos^2(t)}{1+\cos(t)} = \dfrac{\sen^2(x)}{1+\cos(t)}  \)

Y que hacemos con el $$-t^{-a}$$

Pero sólo tienes que copiar lo que te indica Fernando:

\( \displaystyle t^{-a} \cdot (1-\cos(t)) = \dfrac{1-\cos(t)}{t^a} = \dfrac{\frac{t^2}{2}}{t^a} \cdot \dfrac{1-\cos(t)}{\frac{t^2}{2}}  \)

[carambola]

Y que hacemos con el $$-t^{-a}$$

Estoy oxidado, pero.
\( \displaystyle\lim_{t \to 0}{-t^{-a}}=0^{-a} \)

¿Para qué valores de "a" da problemas este límite?

Si $$ a<0$$ el límite no es cero

[carambola]

Tienes que a es real, no necesariamente un natural o entero

[carambola]

Por eso no lo veo tan claro

[sugata]

Mira esta indicación que es mejor.

También puedes hacer:
\( 1-cos(t) = (1-\cos(t)) \cdot \dfrac{1+\cos(t)}{1+\cos(t)} = \dfrac{(1-\cos(t)) \cdot (1+\cos(t))}{1+\cos(t)} =  \)
\(  = \dfrac{1-\cos^2(t)}{1+\cos(t)} = \dfrac{\sen^2(x)}{1+\cos(t)}  \)

Y que hacemos con el $$-t^{-a}$$

Pero sólo tienes que copiar lo que te indica Fernando:

\( \displaystyle t^{-a} \cdot (1-\cos(t)) = \dfrac{1-\cos(t)}{t^a} = \dfrac{\frac{t^2}{2}}{t^a} \cdot \dfrac{1-\cos(t)}{\frac{t^2}{2}}  \)

[Fernando Revilla]

En resumen, quedaría \( L=\displaystyle\lim_{t\to 0}\displaystyle\frac{t^2}{2t^a} \) y la función \( f(t)=t^a \) la consideramos definida para \( t>0 \) para evitar bases negativas.

1. Si \( a<2 \), \( L=\displaystyle\lim_{t\to 0}\displaystyle\frac{t^{2-a}}{2}\underbrace{=}_{2-a>0}\displaystyle\frac{0}{2}=0. \)

2. Si \( a=2 \), \( L=\displaystyle\lim_{t\to 0}\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}. \)

3. Si \( a>2 \), \( L=\displaystyle\lim_{t\to 0}\displaystyle\frac{1}{t^{a-2}}\underbrace{=}_{a-2>0}+\infty \).