Hola, RM
La duda no está en la demostración, sino en la naturaleza de una expresión que aparece de paso. Primero el texto, y luego la duda:
Si \( f(x)=x^r \), entonces \( f'(x)=rx^{r-1} \)
Esta fórmula, que verificaremos en la sección 3.3, es válida para
todos los valores de \( r \) y \( x \) para los que \( x^{r-1} \) tenga sentido como número real(...)
Posteriormente demostraremos todos los casos de la regla general de la potencia. Por ahora ofrecemos una demostración del caso \( r=n \), un entero positivo, basada en la
factorización de una diferencia de potencias n-ésimas:
\( a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1}) \)
(Compruebe que la fórmula es correcta multiplicando los dos factores del miembro derecho). Si \( f(x)=x^n \), \( a=x+h \) y \( b=x \), entonces \( a-b=h \) y
\( f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}} \)
\( =\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{h\overbrace{[(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-3}x^2+...+x^{n-1}]}^{\mbox{n términos}}}{h}} \)
\( =nx^{n-1} \)
La duda es respecto a la expresión \( a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1} \). No es el binomio de Newton: faltan los coeficientes binomiales. Entonces, ¿qué es?.
¡Un saludo!
