Autor Tema: Problema de probabilidad.

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07 Marzo, 2021, 01:34 am
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zimbawe

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Hola, tengo el siguiente ejercicio. Agradecería si me dicen si es o no correcta mi solución, gracias.
 \(  g  \) es la función densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua. Si la función densidad
de probabilidad conjunta de las variables aleatorias  \( X  \),  \( Y  \) y  \( Z  \) es:  \( f(x, y, z)=g(x)g(y)g(z), \ x, y, z, \in \mathbb{R}   \)

Calcular:
 \( P(X<Y<Z)   \)

Por la forma de la función de densidad conjunta, es claro que  \( X, Y, Z   \) son independientes e identicamente distribuidas puesto que tienen la misma función de densidad $g$ Ahora, sabemos que:

 \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy\ dz=1   \)
Ahora, sabemos que:
 \( P(X<Y<Z)=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dy\ dz   \)

Por la simetría de f tenemos las siguientes igualdades:

 \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dy\ dx=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{y}^{\infty} \int _{x}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dx\ dy=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{z}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dy \  dz\ dx=
   \)
 \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{z}^{\infty} \int _{x}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dy \  dx\ dz=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{z}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dx \  dy\ dz=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{y}^{\infty} \int _{z}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dx \  dz\ dy   \)

Es fácil ver que  \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy\ dz   \) es la suma de las integrales anteriores. Luego tendríamos que:

 \( 1=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy\ dz=6\int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dy\ dz=6P(X<Y<Z)   \)

Luego   \( P(X<Y<Z)=\frac{1}{6}   \)

07 Marzo, 2021, 03:29 am
Respuesta #1

robinlambada

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Hola:
Hola, tengo el siguiente ejercicio. Agradecería si me dicen si es o no correcta mi solución, gracias.
 \(  g  \) es la función densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua. Si la función densidad
de probabilidad conjunta de las variables aleatorias  \( X  \),  \( Y  \) y  \( Z  \) es:  \( f(x, y, z)=g(x)g(y)g(z), \ x, y, z, \in \mathbb{R}   \)

Calcular:
 \( P(X<Y<Z)   \)

Por la forma de la función de densidad conjunta, es claro que  \( X, Y, Z   \) son independientes e identicamente distribuidas puesto que tienen la misma función de densidad $g$ Ahora, sabemos que:

 \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy\ dz=1   \)
Ahora, sabemos que:
 \( P(X<Y<Z)=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dy\ dz   \)

Por la simetría de f tenemos las siguientes igualdades:

 \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dy\ dx=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{y}^{\infty} \int _{x}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dx\ dy=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{z}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dy \  dz\ dx=
   \)
 \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{z}^{\infty} \int _{x}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dy \  dx\ dz=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{z}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dx \  dy\ dz=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{y}^{\infty} \int _{z}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dx \  dz\ dy   \)

Es fácil ver que  \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy\ dz   \) es la suma de las integrales anteriores. Luego tendríamos que:

 \( 1=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy\ dz=6\int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dy\ dz=6P(X<Y<Z)   \)

Luego   \( P(X<Y<Z)=\frac{1}{6}   \)

El resultado al que llegas es correcto y la idea que usas también.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

07 Marzo, 2021, 03:55 am
Respuesta #2

zimbawe

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Muchas gracias Robin. Feliz noche.

07 Marzo, 2021, 04:34 am
Respuesta #3

pierrot

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Yo también lo veo bien. Sólo señalaría estas erratas:

Hola, tengo el siguiente ejercicio. Agradecería si me dicen si es o no correcta mi solución, gracias.
 \(  g  \) es la función densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua. Si la función densidad
de probabilidad conjunta de las variables aleatorias  \( X  \),  \( Y  \) y  \( Z  \) es:  \( f(x, y, z)=g(x)g(y)g(z), \ x, y, z, \in \mathbb{R}   \)

Calcular:
 \( P(X<Y<Z)   \)

Por la forma de la función de densidad conjunta, es claro que  \( X, Y, Z   \) son independientes e identicamente distribuidas puesto que tienen la misma función de densidad $g$ Ahora, sabemos que:

 \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy\ {\color{red} dx}=1   \)
Ahora, sabemos que:
 \( P(X<Y<Z)=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dy\ {\color{red} dx}   \)

Por la simetría de f tenemos las siguientes igualdades:

 \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dy\ dx=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{y}^{\infty} \int _{x}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dx\ dy=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{z}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dy \  dz\ dx=
   \)
 \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{z}^{\infty} \int _{x}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dy \  dx\ dz=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{z}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dx \  dy\ dz=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{y}^{\infty} \int _{z}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dx \  dz\ dy   \)

Es fácil ver que  \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy\ {\color{red}dx}   \) es la suma de las integrales anteriores. Luego tendríamos que:

 \( 1=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy\ {\color{red}dx}=6\int _{-\infty}^{\infty} \int _{x}^{\infty} \int _{y}^{\infty} g(x)g(y)g(z) \ dz \  dy\ {\color{red}dx}=6P(X<Y<Z)   \)

Luego   \( P(X<Y<Z)=\frac{1}{6}   \)

Y daría una justificación de por qué \( \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \ dz \  dy \ dx \) es la suma de las integrales anteriores (esencialmente, es que dado \( (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \) con \( x\ne y\ne z \) se cumple alguna de estas opciones mutuamente excluyentes: \( x<y<z \) o bien \( y<x<z \) o bien \( x<z<y \) o bien \( z<x<y \) o bien \( z<y<x \) o bien \( y<z<x \), es decir, alguna de las \( 3! \) ordenaciones posibles de las variables, las cuales he escrito en orden de acuerdo a cómo planteaste las integrales).
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