[Mrclolo]

Buenas,

Quisiera saber porque un numero tiene la misma congruencia en modulo 3 que la suma de sus dígitos.

[Fernando Revilla]

Bienvenido al foro.

Quisiera saber porque un numero tiene la misma congruencia en modulo 3 que la suma de sus dígitos.

Sea el número natural \( m=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\ldots+a_110+a_0 \). Entonces,

            \( m-(a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0) \)
        \( =a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\ldots+a_110+a_0-(a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0) \)
        \( =a_n[(10^n-1)+1]+a_{n-1}[(10^{n-1}-1)+1]+\ldots+a_1[(10-1)+1]+a_0-(a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0) \)
        \( =a_n(10^n-1)+a_{n-1}(10^{n-1}-1)+\ldots+a_1(10-1) \),

y los números \( 10^{k}-1 \) son múltiplos de \( 3 \). Concluye.

[feriva]

Buenas,

Quisiera saber porque un numero tiene la misma congruencia en modulo 3 que la suma de sus dígitos.

Para verlo de forma más simple, puedes particularizar primero en un número de tres cifras, por ejemplo; y descomponerlo en potencias de 10: \( a10^{2}+b10+c
  \).

Se trata de dividir entre 3 esos números, esas potencias 10, y ver que resto nos queda.

En este casos es muy sencillo, no hace falta ni hacer la división para buscar los restos:

A 10 le sobra uno para ser nueve, que es un múltiplo de 3, luego el resto es 1; a 100 le sobra 1 para ser 99, el resto vuelve a ser 1...

Con todas las potencias de diez vas a tener el mismo resto al dividir entre 3, resto 1.

Dicho de otra manera, toda potencia de 10 va a ser de esta forma \( 1000...=9999...+1
  \).

Ahora, volvemos al ejemplo y sustituyamos

\( a10^{2}+b10+c=
  \)

\( a(99+1)+b(9+1)+c
  \)

Multiplicando por la distributiva queda:

\( a\cdot99+a+b\cdot9+b+c
  \).

La condición, obviamente, es que la suma sea múltiplos de 3; luego quitando los que ya lo son, nos queda que esta suma

\( a+b+c
  \)

tiene que ser un múltiplo de 3 para que sea divisible entre 3.

Y visto que el resto de toda potencia de 10 es 1, pues va a pasar con números de tres cifra o de las que sea, con todos.

Saludos.