Autor Tema: Encontrar todos los Isomorfismos

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03 Marzo, 2021, 04:06 pm
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Francois

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Buen día chicos.
Quería saber cómo puedo resolver esta pregunta.

Hace mucho que no veo álgebra lineal, y quería saber si me pueden guiar los pasos de cómo
resolverlo. En realidad no entiendo bien a que se refiere con la pregunta.


Pregunta

Considere \( (\mathbb{R}^n,\leq) \) el conjunto parcialmente ordenado usual.

Encuentre todos los isomorfismos lineales \( T:\mathbb{R}^n\longrightarrow{\mathbb{R}^n} \) tales que

\(  x,y\in \mathbb{R}^n, x\leq y \Longleftrightarrow{T(x)\leq T(y)} \)

Muchas gracias.
Saludos.

03 Marzo, 2021, 04:58 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buen día chicos.
Quería saber cómo puedo resolver esta pregunta.

Hace mucho que no veo álgebra lineal, y quería saber si me pueden guiar los pasos de cómo
resolverlo. En realidad no entiendo bien a que se refiere con la pregunta.


Pregunta

Considere \( (\mathbb{R}^n,\leq) \) el conjunto parcialmente ordenado usual.

Encuentre todos los isomorfismos lineales \( T:\mathbb{R}^n\longrightarrow{\mathbb{R}^n} \) tales que

\(  x,y\in \mathbb{R}^n, x\leq y \Longleftrightarrow{T(x)\leq T(y)} \)

Te pide las aplicaciones lineales biyectivas en \( \Bbb R^n \) que preservan una cierta relación de orden. El problema es que hay muchas formas de definir un orden parcial en \( \Bbb R^n \) y para ser sincero, no sé cual se conoce como "el usual".

¿Dónde has encontrado el problema?.

Saludos.

03 Marzo, 2021, 06:43 pm
Respuesta #2

Francois

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El orden usual se refiere a la de componente a componente.

En \( \mathbb{R}^2 \) definimos para \( x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \)

\( x\leq{y}\Longleftrightarrow{x_1\leq{y_1}\wedge x_2\leq{y_2}}  \)

Y bueno, la pregunta que puso fue en el tema ORDEN PARCIAL GENERADO POR UN CONO.
Utiliza T.L  creciente para que a partir de un c.p.o \( (X,\leq_C) \)
Define un orden parcial en Y , basados en T y C y así \( (Y,\leq_{T(C)}) \)

Y como habló sobre T.L ahí nos dejo esa pregunta.

Saludos.



05 Marzo, 2021, 10:53 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

El orden usual se refiere a la de componente a componente.

En \( \mathbb{R}^2 \) definimos para \( x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \)

\( x\leq{y}\Longleftrightarrow{x_1\leq{y_1}\wedge x_2\leq{y_2}}  \)

De acuerdo. Entonces fíjate que el orden en \( \Bbb R^n \) es:

\( x\leq y\quad \Leftrightarrow{}\quad x-y\leq 0\quad \Leftrightarrow{}\quad x_i-y_i\leq 0 \) para \( i=1,2,\ldots,n \)

Entonces para que una transformación conserve el orden tiene que cumplirse que:

\( x\leq y\quad \Rightarrow{}\quad T(x)\leq T(y) \)

equivalentemente que:

\( x-y\leq 0\quad \Rightarrow{}\quad T(x)-T(y)\leq 0 \)

y por linealidad:

\( x-y\leq 0\quad \Rightarrow{}\quad T(x-y)\leq 0 \)

En otras palabras tiene que cumplir que:

\( u\leq 0\quad \Rightarrow{}\quad T(u)\leq 0 \)

o equivalentemente:

\( u\geq 0\quad \Rightarrow{}\quad T(u)\geq 0 \)

(entendiendo que \( u\geq 0 \) significa que todas las componentes son no negativas).

Ahora puede verse que eso ocurre si y sólo si todas las entradas de la matriz \( T \) asociada a la transformación lineal son no negativas.

Efectivamente. Si consideramos los vectores de la base canónica \( e_1=(1,0,0\ldots,0) \), \( e_2=(0,1,\ldots,0) \) hasta \( e_n=(0,0,\ldots,1) \) se tiene que \( e_i\geq 0 \) (porque tiene todas sus componente no negativas). Entonces \( Te_i \) es la columna \( i \)-ésima de la matriz asociada. Para que \( T \) conserve el orden sus elementos tienen que ser no negativos.

Recíprocamente si \( T \) es una matriz con todos sus elementos negativos y tomamos \( u\geq 0 \), es decir, un vector con todas las componentes no negativas entonces las componentes del vector \( Tu \) son combinaciones lineales de las coordenadas de \( u \) con coeficientes los elementos de \( T, \) si todos ellos son negativos el resultado es no negativo y por tanto \( Tu\geq 0 \).

Saludos.