Hola
El orden usual se refiere a la de componente a componente.
En \( \mathbb{R}^2 \) definimos para \( x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \)
\( x\leq{y}\Longleftrightarrow{x_1\leq{y_1}\wedge x_2\leq{y_2}} \)
De acuerdo. Entonces fíjate que el orden en \( \Bbb R^n \) es:
\( x\leq y\quad \Leftrightarrow{}\quad x-y\leq 0\quad \Leftrightarrow{}\quad x_i-y_i\leq 0 \) para \( i=1,2,\ldots,n \)
Entonces para que una transformación conserve el orden tiene que cumplirse que:
\( x\leq y\quad \Rightarrow{}\quad T(x)\leq T(y) \)
equivalentemente que:
\( x-y\leq 0\quad \Rightarrow{}\quad T(x)-T(y)\leq 0 \)
y por linealidad:
\( x-y\leq 0\quad \Rightarrow{}\quad T(x-y)\leq 0 \)
En otras palabras tiene que cumplir que:
\( u\leq 0\quad \Rightarrow{}\quad T(u)\leq 0 \)
o equivalentemente:
\( u\geq 0\quad \Rightarrow{}\quad T(u)\geq 0 \)
(entendiendo que \( u\geq 0 \) significa que todas las componentes son no negativas).
Ahora puede verse que eso ocurre si y sólo si todas las entradas de la matriz \( T \) asociada a la transformación lineal son no negativas.Efectivamente. Si consideramos los vectores de la base canónica \( e_1=(1,0,0\ldots,0) \), \( e_2=(0,1,\ldots,0) \) hasta \( e_n=(0,0,\ldots,1) \) se tiene que \( e_i\geq 0 \) (porque tiene todas sus componente no negativas). Entonces \( Te_i \) es la columna \( i \)-ésima de la matriz asociada. Para que \( T \) conserve el orden sus elementos tienen que ser no negativos.
Recíprocamente si \( T \) es una matriz con todos sus elementos negativos y tomamos \( u\geq 0 \), es decir, un vector con todas las componentes no negativas entonces las componentes del vector \( Tu \) son combinaciones lineales de las coordenadas de \( u \) con coeficientes los elementos de \( T, \) si todos ellos son negativos el resultado es no negativo y por tanto \( Tu\geq 0 \).
Saludos.
