[manooooh]

Hola Carlos

Tengo una duda cuando pasas de lenguaje simbólico a castellano:

\( \sqrt 2 = \{r\in \mathbb Q\mid  r<0\}\cup \{r\in \mathbb Q\mid r\geq 0,\ r^2<2\} \)

La raíz cuadrada de \( 2 \) es el conjunto de todos los números racionales negativos (que ciertamente son menores que \( 1.4142\ldots \)) y todos los números positivos cuyo cuadrado es menor que \( 2 \).

\( \sqrt2 \) se define como una unión de conjuntos, pero cuando lo escribes en castellano utilizas el conectivo "y". ¿No debería ser "o" por definición de \( \cup \)? Si es "y", ¿cómo lo traducirías si ahora la definición de \( \sqrt2 \) es con una \( \cap \)?

Gracias y saludos

[Carlos Ivorra]

\( \sqrt2 \) se define como una unión de conjuntos, pero cuando lo escribes en castellano utilizas el conectivo "y". ¿No debería ser "o" por definición de \( \cup \)?

No.

Si es "y", ¿cómo lo traducirías si ahora la definición de \( \sqrt2 \) es con una \( \cap \)?

Entonces diría que \( \sqrt 2 \) es el conjunto de los números racionales negativos cuyo cuadrado es menor que \( 2 \) o, si no te gusta el pronombre relativo, diría que son los números racionales que son negativos y tienen cuadrado menor que \( 2 \), pero no es eso.

\( \sqrt 2 \) es el conjunto de los números racionales que son negativos o tienen cuadrado menor que \( 2 \), por lo que \( \sqrt 2 \) contiene a los números negativos y también a los positivos con cuadrado menor que \( 2 \).

En general, \( A\cup B \) contiene a los elementos de \( A \) y a los de \( B \).

[manooooh]

Hola

Entonces diría que \( \sqrt 2 \) es el conjunto de los números racionales negativos cuyo cuadrado es menor que \( 2 \) o, si no te gusta el pronombre relativo, diría que son los números racionales que son negativos y tienen cuadrado menor que \( 2 \), pero no es eso.

\( \sqrt 2 \) es el conjunto de los números racionales que son negativos o tienen cuadrado menor que \( 2 \), por lo que \( \sqrt 2 \) contiene a los números negativos y también a los positivos con cuadrado menor que \( 2 \).

En general, \( A\cup B \) contiene a los elementos de \( A \) y a los de \( B \).

Me he perdido con las marchas y contramarchas. Cuando dices "En general, \( A\cup B \) contiene a los elementos de \( A \) y a los de \( B \)", ¿cómo defines entonces a \( A\cap B \)?

Según entiendo, en lógica se dice que \( p\land q \) es verdadera cuando ambas proposiciones lo son; se dice que \( p\lor q \) es verdadera cuando al menos una de las dos es verdadera. Creo que aquí coincides conmigo, ¿no?

Luego se define \( A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\} \), es decir \( A\cap B \) es el conjunto de elementos que están en \( A \) y en \( B \); \( A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\} \) es el conjunto de elementos que están en \( A \) o en \( B \). No hay más.

Saludos

[Carlos Ivorra]

Me he perdido con las marchas y contramarchas.

No hay ninguna marcha ni ninguna contramarcha. Entiendo que eso significaría que estoy diciendo una cosa y la contraria, y no es así. Estoy diciendo lo mismo de varias maneras distintas, todas correctas y ninguna contradice a la otra.

Cuando dices "En general, \( A\cup B \) contiene a los elementos de \( A \) y a los de \( B \)", ¿cómo defines entonces a \( A\cap B \)?

\( A\cap B \) contiene a los elementos que están en \( A \) y en \( B \), que no son los de \( A \) y los de \( B \).

Según entiendo, en lógica se dice que \( p\land q \) es verdadera cuando ambas proposiciones lo son; se dice que \( p\lor q \) es verdadera cuando al menos una de las dos es verdadera. Creo que aquí coincides conmigo, ¿no?

Claro.

Luego se define \( A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\} \), es decir \( A\cap B \) es el conjunto de elementes que están en \( A \) y en \( B \); \( A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\} \) es el conjunto de elementes que están en \( A \) o en \( B \). No hay más.

Todo eso es cierto, pero no contradice en nada a que en \( A\cup B \) están los elementos de \( A \) y los de \( B \), que no son, salvo si \( A=B \), los que están en \( A \) y en \( B \).

¿En \( A\cup B \) están los elementos de \( A \)? Sí,

¿En \( A\cup B \) están los elementos de \( B \)? Sí,

luego en \( A\cup B \) están los elementos de \( A \) y los de \( B \). Lógica pura.

Si en un corral de una granja metes a todos los gallos y todos los pavos, ¿el corral contiene al conjunto \( G\cup P \) unión del conjunto de los gallos y el de los pavos? Sí. ¿Y no es igualmente cierto que en el corral están los gallos y los pavos? Decir que en el corral que contiene a \( G\cup P \) están los gallos o los pavos sería cierto, pero inexacto, porque alguien te que oyera decir eso no podría descartar que sólo estuvieran los gallos o sólo los pavos. Para que entienda que el corral contiene a \( G\cup P \), ni más ni menos, tendrás que decir que en su interior están los gallos y los pavos.

[manooooh]

Hola

Cuando dices "En general, \( A\cup B \) contiene a los elementos de \( A \) y a los de \( B \)", ¿cómo defines entonces a \( A\cap B \)?

\( A\cap B \) contiene a los elementos que están en \( A \) y en \( B \), que no son los de \( A \) y los de \( B \).

Entonces si queremos ser más extensos podríamos decir:

- \( A\cup B \) contiene a los elementos de \( A \) y a los elementos de \( B \).
- \( A\cap B \) contiene a los elementos que están en \( A \) y a los elementos que están en \( B \).

No veo ninguna diferencia, pero ninguna, más que las palabras "que están", pero entiendo que decir una cosa o la otra es exactamente lo mismo.

Bien podrías haber dicho, tomando el segundo, "\( A\cap B \) es el conjunto formado por todos los elementos que están en \( A \) y en \( B \)" y sería equivalente a \( A\cup B \), la forma corta que has dicho y expandida que he dicho; todas equivalentes entre sí.

Saludos

P.D. Si prefieres puedes dividir el hilo y poner como asunto "Confusión tonta sobre las definiciones de \( A\cup B \) y \( A\cap B \)".

[Carlos Ivorra]

- \( A\cup B \) contiene a los elementos de \( A \) y a los elementos de \( B \).

Esto es cierto.

- \( A\cap B \) contiene a los elementos que están en \( A \) y a los elementos que están en \( B \).

Esto es falso.

No veo ninguna diferencia, pero ninguna, más que las palabras "que están", pero entiendo que decir una cosa u la otra es exactamente lo mismo.

Si te refieres a que "contiene a los elementos de \( A \) y a los elementos de \( B \)" es exactamente lo mismo que "contiene a los elementos que están en \( A \) y a los elementos que están en \( B \)", en efecto, ambas afirmaciones dicen lo mismo. Por eso la segunda afirmación que has hecho es falsa, porque las dos frases equivalentes describen a \( A\cup B \), no a \( A\cap B \), al contrario de lo que pretende tu segunda afirmación.

Bien podrías haber dicho, tomando el segundo, "\( A\cap B \) es el conjunto formado por todos los elementos que están en \( A \) y en \( B \)"

Eso es cierto.

y sería equivalente a \( A\cup B \), la forma corta que has dicho y expandida que he dicho; todas equivalentes entre sí.

Aquí ya no sé qué quieres decir.

Lo que tienes que entender es que si en un corral metes los gallos y los pavos, entonces es cierto a la vez:

1)  En el corral están los gallos y los pavos.

2) Un bicho cualquiera del corral es un gallo o un pavo.

Y son dos formas equivalentes de decir que los bichos del corral forman el conjunto \( G\cup P \), la unión del conjunto de los gallos y el conjunto de los pavos.

No puedes traducir con la lógica de Google Translator. Se usa "y" cuando el lenguaje pide "y" y se usa "o" cuando el lenguaje pide "o". Es equivalente decir "en el corral están los gallos y los pavos" o "el corral está ocupado por los bichos que son gallos o pavos". No puedes poner "y" donde he puesto "o" ni "o" donde he puesto "y". Y las dos frases son equivalentes.

[manooooh]

Hola

Si te refieres a que "contiene a los elementos de \( A \) y a los elementos de \( B \)" es exactamente lo mismo que "contiene a los elementos que están en \( A \) y a los elementos que están en \( B \)", en efecto, ambas afirmaciones dicen lo mismo. Por eso la segunda afirmación que has hecho es falsa, porque las dos frases equivalentes describen a \( A\cup B \), no a \( A\cap B \), al contrario de lo que pretende tu segunda afirmación.

Pero entonces volvamos a tu definición que según tú es correcta:

\( A\cap B \) contiene a los elementos que están en \( A \) y en \( B \)

¿A qué cosa te refieres cuando dices "y en \( B \)"? ¡¡A los elementos, en general, claro!! Si no dices qué cosa significa "y en \( B \)" no queda claro. Por eso es equivalente a decir "\( A\cap B \) contiene a los elementos que están en A y a los elementos que están en B."

Es como si te dijera: "Mi familia se compone de mi papá, mi mamá y mi hermano". Es una frase equivalente a "Mi familia se compone de mi papá, mi familia se compone de mi mamá y mi familia se compone de mi hermano", pero claro, es más corta la primera. Pero a mi criterio son dos frases que no les veo ninguna diferencia en cuanto a sus significados.

No puedes traducir con la lógica de Google Translator. Se usa "y" cuando el lenguaje pide "y" y se usa "o" cuando el lenguaje pide "o". Es equivalente decir "en el corral están los gallos y los pavos" o "el corral está ocupado por los bichos que son gallos o pavos". No puedes poner "y" donde he puesto "o" ni "o" donde he puesto "y". Y las dos frases son equivalentes.

Claro que no, si me pones dos conjuntos y me pides su unión e intersección te lo sabré hacer. Es más que nada no confundir la traducción a castellano de una definición matemática con otra.

Saludos

[Carlos Ivorra]

Pero entonces volvamos a tu definición que según tú es correcta:

\( A\cap B \) contiene a los elementos que están en \( A \) y en \( B \)

¿Por qué dices "según yo"? ¿Es que para ti no es correcta?

¿A qué cosa te refieres cuando dices "y en \( B \)"? ¡¡A los elementos, en general, claro!! Si no dices qué cosa significa "y en \( B \)" no queda claro.

¿Cómo que no queda claro? ¿Si digo que \( A\cap B \) contiene a los elementos que están en \( A \) y en \( B \), hay algo ahí que no quede claro? Es una frase clarísima e inequívoca.

Por eso es equivalente a decir "\( A\cap B \) contiene a los elementos que están en A y a los elementos que están en B."

Sí, es equivalente, claro.

Perdón, es que estaba viendo la tele mientras te respondía. No, no es equivalente. Es todo lo contrario. Es falso que la intersección contenga a los elementos que están en A y a los que están en B. Eso lo cumple la unión.

Es como si te dijera: "Mi familia se compone de mi papá, mi mamá y mi hermano". Es una frase equivalente a "Mi familia se compone de mi papá, mi familia se compone de mi mamá y mi familia se compone de mi hermano", pero claro, es más corta la primera. Pero a mi criterio son dos frases que no les veo ninguna diferencia en cuanto a sus significados.

Eso ya hay que cogerlo con pinzas. Estás jugando con que "componerse" puede entenderse en un sentido fuerte (componerse únicamente de) y también en un sentido débil (el de componerse en parte de, sin exclusión de que contenga más cosas). Si entendemos "componerse de" en el sentido fuerte entonces la primera afirmación es cierta y la segunda es falsa, porque si fuera cierta, sería cierto que "tu familia se compone de tu papá", que es falsa en el sentido fuerte. Por el contrario, si entendemos "componerse de" en el sentido débil, las dos son ciertas, pero ninguna determina tu familia, pues quien te lea no puede saber si no se compone de más miembros además de los que citas.

Lo normal cuando uno lee la primera frase es que quieres decir que esos son los únicos miembros que citas, además de ti mismo, cosa que hay que sobrentender por el contexto, de modo que "componerse" se entiende en sentido fuerte. Por el contrario, la segunda afirmación sólo es verdadera con el sentido débil de "componerse", y a mí, personalmente, me chirría un poco al oído. Resulta forzada.

Pero, dicho todo esto, no tengo claro qué es lo que cuestionas. ¿Con cuál de todas las frases que he dicho no estás de acuerdo?

Claro que no, si me pones dos conjuntos y me pides su unión e intersección te lo sabré hacer. Es más que nada no confundir la traducción a castellano de una definición matemática con otra.

Pues eso digo, que intentas traducir las definiciones matemáticas a frases castellanas con una lógica demasiado esquemática para que el resultado sea aceptable. El uso correcto de las conjunciones es demasiado sutil como para que sea viable pensar que \( \land \) se ha de traducir siempre por "y", mientras que \( \lor \) se ha de traducir siempre por "o". Con esa lógica, cuando un inglés me oyera decir "no he visto nada", entendería que he visto algo, porque una doble negación es una afirmación.

Un ejemplo mejor: Con esa lógica "nadie viene" y "no viene nadie" tendrían que ser frases opuestas, pero son sinónimas.

[feriva]

Hola, manooooh.

El lenguaje hablado siempre es ambiguo, si traduces literalmente los símbolos, mucha gente no te entenderá o tendrá dudas. Si dices que la unión son los elementos que están en A ó en B, también puede resultar ambiguo, ¿qué pasa con los que están en A y en B a la vez, los comunes? Aunque normalmente, con símbolos lógicos, la disyunción se considere no exclusiva por defecto, en palabras... tendría que haber un acuerdo muy asentado, muy popular, para evitar un gran número de equivocaciones y dudas.

Del mismo modo, si a alguien le dicen “recoge las cosas de tu cuarto y el baño”, no entiende que sean sólo las comunes (si se tiene peine en la habitación y en el baño, cosas así) sino todas. Eso lo entiendo como Calros, siempre lo he entendido así, lo otro me suena raro. Porque, ya digo, no es lo mismo con palabras que con símbolos, ya que, las palabras las usamos para todo, también para cualquier disciplina académica que no sea matemática; entonces van muy unidas no sólo a su significado coloquial sino tambié a diversos lenguajes técnicos que también merecen respeto. Por ejemplo, si a un músico le dices que considere el conjunto de las notas de un pentagrama y otro, va a considerar todas, no sólo las comunes a los dos pentagramas. Para eso tenemos la palabra “comunes”, precisamente. A un niño le dices “para el MCD descompón en primos y toma los comunes elevados a la menor potencia; para el mcm toma los comunes y no comunes...” Y desde antaño, diciéndolo así lo ha entendido todo el mundo. Pues para esto lo podríamos usar igual (sin convenio previo) y lo entendería todo el mundo: la unión son los elementos comunes y no comunes de A y B, la intersección los comunes.

Saludos.

[Pie]

Según la wiki:

\( A \cup{B} \) significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos aquellos de B, pero ningún otro.

\( A \cap{B} \) significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en común.

En ambos casos se utiliza la conjunción "y", claro que no se utiliza la misma definición cambiando sólo alguna palabra (tampoco sé qué sentido puede tener hacer esto).

Yo no creo que haya que usar la conjunción "o" para nada, en lo que decia Carlos se entiende que son los números (racionales) negativos y positivos menores que \(  \sqrt[ ]{2} \), y no los números que son comunes a los dos conjuntos (que tampoco tendría mucho sentido esto, ya que un número no puede ser positivo y negativo al mismo tiempo, o sería un conjunto vacío, si no entiendo mal todo esto de los conjuntos que también puede ser ).

Saludos.