En síntesis, ves lícito que:
(1) \( A\cap B \) contiene a los elementos que están en \( A \) y en \( B \) (De acuerdo)
(2) \( A\cup B \) contiene a los elementos de \( A \) y a los de \( B \) (En desacuerdo)
¿En desacuerdo? ¿Entonces no ves lícito decir que un corral que contenga al conjunto \( G\cup P \) contiene a los gallos
y a los pavos? Pues es puro castellano. Como ha señalado Pie, tendrás que escribir a Wikipedia para que cambien su definición de unión.
pero no ves lícito que yo diga que (2) es equivalente a decir, por ejemplo:
(2') \( A\cup B \) contiene a los elementos que pertenecen a \( A \) y contiene a los elementos que pertenecen a \( B \)
¿Cómo que no? Claro que (2) es equivalente a (2').
lo cual para mí (2') significa exactamente lo mismo que (1). Por ende (1) = (2). Hasta que yo no tenga claro por qué (2) es distinto a (2') no veré por qué (1) es distinto a (2).
Pero no es así. Por supuesto que (2) es equivalente a (2'). En lo que te equivocas es cuando dices que (2') es lo mismo que (1).
No es lo mismo en absoluto decir que un conjunto contiene a los elementos que están en A y en B (1) que decir que contiene a los conjuntos que están en A y a los que están en B (2'). Son dos cosas completamente distintas.
No es lo mismo decir que el corral contiene a los gallos y a los pavos (1) que decir que contiene a los bichos que son gallos y pavos (2'). El corral que cumple (2') tiene que estar vacío (porque ningún bicho es gallo y pavo), mientras que el que cumple (1) contiene a la unión del conjunto de los gallos y el de los pavos.
(...) El uso correcto de las conjunciones es demasiado sutil como para que sea viable pensar que \( \land \) se ha de traducir siempre por "y", mientras que \( \lor \) se ha de traducir siempre por "o". (...)
Pues no veo que esa sutileza se tratase en los libros o siquiera se de una explicación a los alumnos cuando ven esas operaciones entre conjuntos. Debo ser el único ignorante que confunde la "y" usada en la definición de intersección con la "y" usada en la definición de unión, cuando en lógica hay una única tabla de verdad de la conjunción.
En los libros no viene porque dan por hecho que todo el mundo entiende frases como "en el corral están los gallos y los pavos" y comprende que eso significa que el corral contiene a \( G\cup P \) y no a \( G\cap P=\emptyset \).
Es que nadie discute la tabla de verdad de la conjunción. No es lo mismo
(el corral contiene a los gallos)
y (el corral contiene a los pavos),
donde la conjunción relaciona dos sentencias cuyo sujeto el es corral, que
el corral contiene (a los bichos que son gallos y que son pavos),
donde la conjunción une dos sentencias cuyo sujeto no es el corral, sino los bichos que hay en él.
Si te gusta más en términos formales, estás confundiendo
\( x\in G\cup P\leftrightarrow (x\in G\lor x\in P) \)
donde la conjunción afecta a dos fórmulas con sujeto \( x \) (que es un bicho) con
\( (G\subset G\cup P)\land P\subset (G\cup P) \)
Que también es una afirmación sobre la unión (y un teorema) que involucra una conjunción entre dos fórmulas que hablan del corral (la unión) no de ningún bicho \( x \).
Matemáticamente puedes definir \( A\cup B \) como el menor conjunto que cumple
\( (A\subset A\cup B)\land (B\subset A\cup B) \)
y así has definido la unión con una conjunción de una forma que no es la usual, pero que es lógicamente impecable, y que se corresponde con la expresión que sí que es natural en castellano: que la unión contiene a los elementos de \( A \)
y a los elementos de \( B \) (y a ninguno más). Esa
y que acabo de poner se corresponde exactamente con la \( \land \) que he puesto más arriba, sin menoscabo alguno de su tabla de verdad.
Con esa lógica, cuando un inglés me oyera decir "no he visto nada", entendería que he visto algo, porque una doble negación es una afirmación.
Pues lo veo como una deficiencia del lenguaje. Aunque es cierto que todo el mundo lo toma así. La idea es simple: sea p="He visto algo". Luego no(p)="No he visto algo"="He visto nada". Por lo que no(no(p))="No he visto nada"=p.
¿Y con eso quieres decir que si digo "No he visto nada" tú entiendes que he visto algo? ¿Y si digo "no viene nadie" entiendes que he dicho lo contrario que si digo "nadie viene"?
