Autor Tema: Total de soluciones enteras

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17 Enero, 2020, 04:41 am
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YeffGC

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Hola amigos necesito ayuda para resolver este ejercicio ya que no sé si mis ideas son correctas el ejercicio dice asi

Sean k, n y r \( \in{\mathbb{N}} \). Muestre que el número de soluciones enteras de la ecuación  \( x_1+x_2+...+x_n=r \) 
 tal que \( 0<x_i<k \) para cada \( i = 1, 2, ..., n \) está dado por:
\( \displaystyle\sum_{i=0}^n{(-1)^i\displaystyle\binom{n}{i}\displaystyle\binom{r-(k+1)i+n-1}{n-1}} \)


mis ideas se basan a que ya existe un teorema que dice el total de soluciones esta dado por\( \displaystyle\binom{r}{r+n-1} \) entonces comparar esas dos formulas y no se por inducción
espero su ayuda

17 Enero, 2020, 06:17 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola amigos necesito ayuda para resolver este ejercicio ya que no se si mis ideas son correctas el ejercicio dice asi

Sean k, n y r \( \in{\mathbb{N}} \). Muestre que el número de soluciones enteras de la ecuación  \( x_1+x_2+...+x_n=r \) 
 tal que \( 0<x_i<k \) para cada \( i = 1, 2, ..., n \) está dado por:
\( \displaystyle\sum_{i=0}^n{(-1)^i\displaystyle\binom{n}{i}\displaystyle\binom{r-(k+1)i+n-1}{n-1}} \)


mis ideas se basan a que ya existe un teorema que dice el total de soluciones esta dado por\( \displaystyle\binom{r}{r+n-1} \) entonces comparar esas dos formulas y no se por inducción
espero su ayuda

Una forma es haciendo lo que hago aquí pero esta vez el polinomio base empieza en \( x^0 \) en vez de en \( x^1 \). Te sale automáticamente la fórmula que tienes ahí.

Por otro lado observa que \( \binom{r}{r+n-1}=0 \) si \( n>1 \) y vale \( 1 \) si \( n=1 \). Creo que te has confundido con la composición débil de un número, dada por la fórmula \( \binom{r+n-1}{r} \), pero esta fórmula no es aplicable en tu caso si \( k<r \).

17 Enero, 2020, 04:35 pm
Respuesta #2

YeffGC

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pero esta fórmula no es aplicable en tu caso si \( k<r \).
Hola justamente \( r>k \) aunque fuese asi no la puedo ocupar