Autor Tema: Identidad con coeficiente binomial

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03 Agosto, 2019, 12:58 am
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Eparoh

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Hola a todos, llevo un par de horas intentado demostrar la siguiente identidad y estoy completamente atascado:

\( \displaystyle\sum_{k=0}^n{(-1)^k \binom{n}{k} (n-k)^j}=\begin{cases} 0 & \text{si}& 0 \leq j <n\\n! & \text{si}& j=n\end{cases} \)

¿Alguna idea de como demostrarlo?
Un saludo, y muchas gracias por las respuestas.

03 Agosto, 2019, 01:57 am
Respuesta #1

Abdulai

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Hola a todos, llevo un par de horas intentado demostrar la siguiente identidad y estoy completamente atascado:

\( \displaystyle\sum_{k=0}^n{(-1)^k \binom{n}{k} (n-k)^j}=\begin{cases} 0 & \text{si}& 0 \leq j <n\\n! & \text{si}& j=n\end{cases} \)

¿Alguna idea de como demostrarlo?
Un saludo, y muchas gracias por las respuestas.

Fijate que si    \( F_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k}e^{(n-k)x}=\left(e^x-1\right)^n \)

Su derivada j-ésima será   \( F_n^{(j)}(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k} (n-k)^j e^{(n-k)x}  \)

Y en 0      \( F_n^{(j)}(0) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k} (n-k)^j  \)

Por lo tanto el problema se reduce a analizar el valor de las derivadas en 0 de \( \left(e^x-1\right)^n \)

03 Agosto, 2019, 10:41 am
Respuesta #2

martiniano

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Caramba Abdulai. Qué buena idea!!!  :aplauso:

03 Agosto, 2019, 01:34 pm
Respuesta #3

Eparoh

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Vaya, muchísimas gracias por la respuesta, la verdad es que es una solución muy elegante.
Mira que intenté de alguna forma expresarlo como un binomio, y hasta pensé en la aplicación exponencial, pero nunca se me ocurrió lo de las derivadas.
Una idea genial ;)
Respecto a ver las derivadas, expresando en serie de Taylor \( e^x-1 \), se ve fácilmente que al elevarlo a \( n \) se obtiene el resultado deseado.
Un saludo