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Mensajes - feriva

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Reitero mi desconocimiento de análisis de dos variables....
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Se trata de hacer el cálculo de la integral como una integral impropia de 2ª especie que ya os describí en un video hace algunos mensajes atrás.
Que yo sepa, las integrales impropias tienen límites en más menos infinito. Tu estás integrando en un intervalo acotado, y para hacerlo, debe estar definida.....
No he visto el video. A ver si lo encuentro. Pero no puedes pasar de una integral definida a una impropia, creo....

Es que es impropia de segunda especie, él toma cero en uno de los límites de integración sin que ese cero esté definido para la función, de forma que, en vez de ser cero, son los valores que se aproximan a cero sin llegar nunca; viene a pasar lo mismo que cuando un límite tiende a infinito, da el mismo tipo de problema. Pero es que no hace falta considerar eso, es una complicación.
...
Y ahora está considerando integrales que en vez de partirse en columnas cada vez más finas, como en Riemann, se parten en filas, a lo ancho, como la de Lesbegue; que tampoco hace falta para nada con lo del cascarón. 

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Teoría de Conjuntos / Re: ¿Es un función la relación?
« en: 05 Abril, 2024, 08:37 pm »
Hola RDC:
Hola Ani, si no son funciones qué son?
Me enseñaron que toda función es una correspondencia pero que no toda correspondencia es una función. Supongo que no me enseñaron mal y que entendí bien  ;)
Saludos

O sea, solo son correspondencias?

Lo pregunto por curiosidad porque no tengo ni idea. Gracias

Sí, sólo, porque las aplicaciones también son funciones.

Saludos.

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Propuestos por todos / Re: Un conejo semi-mentiroso
« en: 05 Abril, 2024, 08:23 pm »
Hola a todos. Os propongo el siguiente problema sencillo:

La Liebre de Marzo, personaje de Alicia en el País de las Maravillas, siempre miente de lunes a miércoles y dice la verdad el resto de la semana. ¿Qué día puede haber dicho "mentí ayer y mentiré mañana"?

Dejo en spoiler lo que yo creo que, salvo que sea el mayor error de mi vida, es la solución y la "polémica" que acompaña. Poned vuestras soluciones antes de abrirlo para ver si no he perdido la cabeza.

Spoiler
Si al decir "de lunes a miércoles" no incluyera dichos días (aunque sería una forma muy rara de decirlo), entonces solo mentiría el martes y, claramente es el único día donde podría decir la frase y no creo que haya nadie que cuestione esto.

Ahora bien, si consideramos que miente los lunes, martes y miércoles, no podría decir la frase ningún día que diga la verdad, pues siempre están rodeados por algún día que dice la verdad y, en consecuencia, mentiría. Por otra parte, tampoco podría decirlo el martes, pues entonces querría decir que el lunes y miércoles miente, cosa que es cierta. Solo quedan pues las opciones de lunes y miércoles en las cuales sí podría decir la frase pues, para el caso del lunes, como el domingo dice la verdad, al decir la frase estaría mintiendo, y para el caso del miércoles lo mismo pues el jueves dice la verdad.

La "polémica" surge de que este problema me lo comentó un amigo que está preparando a niños de primero y segundo de la ESO para las olimpiadas matemáticas y ha sido uno de los problemas propuestos en la primera fase de la categoría junior de la olimpiada matemática de Albacete de este año (el problema 6) y, al parecer, la solución que se considera correcta es que no puede haberlo dicho ningún día. La única manera que se me ocurre para establecer que no tiene solución es considerar que entienden que la frase "mentí ayer y mentiré mañana" es cierta siempre que no mienta ambos días, es decir, que lo interpretan como un "o". Pero, esto me parece descabellado pues, incluso sin saber nada de nada de lógica, no creo que nadie nunca aceptara como verdadera una frase de la forma "A y B" donde A o B sean falsas. ¿Que opináis?
[cerrar]

Un saludo.

Sin haber leído nada (ni tu spoiler ni nada) mi pensamiento había sido éste

Spoiler
Pensé que no podía elegir ninguna.
Pero luego he leído y te doy la razón, la conjunción F y V es falsa, me he despistado

[cerrar]

Saludos.

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Si estuvieras de acuerdo, ya por último, contéstame a esta pregunta:
¿Cuántos puntos tiene tu \(  r-R=0  \)?
Te doy dos opciones posibles para contestar, para que así no te arranques por Peteneras:
a) Un punto.
b) Más de un punto.
Spoiler
Opino que no puedes seguir discutiendo con nadie sobre la integral de Riemann ni ninguna otra cosa de análisis hasta que no digas cómo entiendes eso (sí puedes, pero no llegaréis nunca a estar de acuerdo en nada).
[cerrar]

Saludos.
  Feriva
 Para calcular el campo en  la superficie de la esfera, r=R, siempre lo estamos calculando en un único punto que cumple esto. Pero todos los puntos de la superficie cumplen esta condición.
    Siempre utilizamos un único  punto, cualquiera de la superficie para realizar este cálculo.
    No sé si con esto te he respondido a tu pregunta.


Ya, pero es que sobre un punto (digamos en la dirección del eje “Y”) yo puedo colocar un segmento de longitud \( r-R \) sobre un solo putno del eje “X”. Entonces, si \( r-R=0 \), dicho segmento no existe, pues consta de un sólo punto; y eso implica que tal “segmento” esté asociado a todas las direcciones del espacio y, con eso, ya no se sabe ni quién es el vector del campo particular al que quieres referirte, “todo es campo” (un campo sin vector de campo no es un campo).


Una pregunta sobre esto:

Citar
Carlos hola de nuevo.   

        1) Dependiendo del tipo de las características de cada  función,  éstas pueden ser integrables o no en Riemann, en Lebesgue, en HK.

       Debido a la definición de cada integral (Riemann, Lebesgue, HK), hay funciones que no pueden ser integrables en unos casos u otro.

         Las funciones integrables en  Riemann tienen la limitación en el nº de puntos con discontinuidad (deben ser  un número finito), si el nº es infinito pero es un conjunto de medida nula ya no puede ser integrable en Riemann, pero sí puede ser en Lebesgue con la condición que  la integral de su módulo sea integrable también en Lebesgue. Esto es debido a la definición de cómo se calcula la integral  en  Lebesgue.

    Cuando tenemos una función que es discontinua en un nº de puntos que no es de medida nula, o si la función no está acotada, esta función no es integrable por Lebesgue,  pues con la definición de cálculo de integral no se puede hacer y se dice que no es integrable.

     Luego se da un salto  en el proceso de integración con  la integral de HK, la cual ya no tiene restricciones sobre la acotación de la función, ya no es necesaria esta condición y por lo tanto, hay funciones que no son integrables en Lebesgue debido a que no es acotada pero en HK si pueden ser integrables. En este caso, sí se puede calcular la integral.

¿Pero tu esfera hueca es como un bombo de lotería, así hecha como de alambres de anchura nula en vez de tener una capa continua de puntos?

Saludos.

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Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Razonamiento matemático
« en: 05 Abril, 2024, 12:18 pm »
En una reunión de intermediarios estuvieron presentes tanto hombres como mujeres, siendo \( 13 \) más hombres que mujeres. Cada hombre presente entregó \( 1 \) tarjeta de presentación a cada otro hombre y \( 3 \) tarjetas de presentación a cada mujer. Cada mujer presente repartió \( 2 \) tarjetas de presentación entre sí y \( 3 \) tarjetas de presentación a cada hombre. En total se entregaron \( 282 \) tarjetas
Más visitantes para hombres que para mujeres. Sabiendo que el número de hombres en la reunión no es múltiplo de \( 19 \), entonces este número es múltiplo de?(R:\( 17 \))

O no he entendido o me he equivocado (o las dos cosas).

Spoiler

\( h=m+13 \)

Si cada hombre entrega una tarjeta a otro, cada hombre entrega \( h-1=m+12 \) tarjetas.

Luego en total serán

\( h(h-1)=(m+13)(m+12) \) tarjetas repartidas a hombre.

Ahora entregan 3 tarjetas a cada mujer; entonces la cantidad repartida es

\( 3mh=3m(m+13)= \)

\( 3m^{2}+39m \)

Y esta cantidad se suma a la anterior; en total los hombres reparten:

\( (m+13)(m+12)+3m^{2}+39m \).

Cada mujer repartió a cada mujer 2 tarjetas, esto es una cantidad de \( 2m(m-1) \) tarjetas.

Y a cada hombre 3 tarjetas, esto es

\( 3hm=3m(m+12) \).

Lo que hace una cantidad total de \( 3m^{2}+39m+3m(m+12) \).

En entre hombres y mujeres repartieron

\( (m+13)(m+12)+3m^{2}+39m+3m^{2}+39m+3m(m+12)=282 \).

esto es

\( 10m^{2}+139m-126=0 \).

Pero "m" no da entero.

[cerrar]

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Foro general / Re: Humor matemático.
« en: 04 Abril, 2024, 01:27 am »

Mira que veo muchas de estas... Pero esta foto no la conocía....
Es buenísima!!!!

¡Claro, como los ventiladores! Acabáramos, ahora sí que está todo claro. 

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Foro general / Re: Humor matemático.
« en: 03 Abril, 2024, 11:21 pm »
Vaya tontería.....
La mejor manera de refutar a los terraplanistas es ver la serie de anime "Campeones"
Desde una portería no se podía ver la otra y tenias que correr mucho para ver aparecer la portería contraria. En una tierra plana es imposible.
¡¡¡¡Jake mate terraplanistas!!!!

Es que a al vez que es un plano infinito es hueca y de espesor cero (sobre esto esperemos la participación de DCM para que nos ilustre).

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Foro general / Re: Humor matemático.
« en: 03 Abril, 2024, 09:24 pm »
¡Jaque mate, físicos!




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De oposición y olimpíadas / Re: Área círculo
« en: 03 Abril, 2024, 03:40 pm »
Calcular el área del círculo:

Spoiler


Lo explico un poco:
Prolongo el segmento 3 hasta tocar en la circunferencia.
A partir de eso, dibujo el diámetro de la circunferencia tomando el extremo del segmento 2.
Por simetría, dibujo un rectángulo.
Ahora, tangente a la prolongación del segmento que mide 1 (cuyo valor no necesito conocer) dibujo una circunferencia tangente; la cual tiene un radio de 1, dato que me da la proyección del segmento 2.
Por tanto, como el diámetro de esa pequeña circunferencia es 2, el trozo que sobra arriba al segmento 3 mide 1.
Por tanto, los catetos del triángulo que tiene como hipotenusa el radio, miden  1 y 2.

[cerrar]

Saludos.

Pero ahí ya estás asumiendo que el segmento que falta vale \( 1 \) creo. Ya que solo así la prolongación del lado \( 1 \) es tangente a la circunferencia que dibujas. Si es que te entendí todo bien.  :laugh:

Saludos.


Sí, está mal. Pero es porque estoy asumiendo que el centro de la circunferencia pequeña coincide con el de la grande; y no tendría por qué. Si pudiera asegurar eso sin saber que lo de arriba mide 1, no haría falta. Pero no puedo, qué rabia :D

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De oposición y olimpíadas / Re: Área círculo
« en: 03 Abril, 2024, 01:04 pm »
Calcular el área del círculo:

Spoiler


Lo explico un poco:
Prolongo el segmento 3 hasta tocar en la circunferencia.
A partir de eso, dibujo el diámetro de la circunferencia tomando el extremo del segmento 2.
Por simetría, dibujo un rectángulo.
Ahora, tangente a la prolongación del segmento que mide 1 (cuyo valor no necesito conocer) dibujo una circunferencia tangente; la cual tiene un radio de 1, dato que me da la proyección del segmento 2.
Por tanto, como el diámetro de esa pequeña circunferencia es 2, el trozo que sobra arriba al segmento 3 mide 1.
Por tanto, los catetos del triángulo que tiene como hipotenusa el radio, miden  1 y 2.

[cerrar]

Saludos.

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Hola

¡Vaya requiebro que le acabo de hacer al foro para arreglarlo, y casi sin esfuerzo!. Te lo dedico manooooh...  ;D ;D ;D

Ja ja! Siempre muy atento Luis... muchas gracias <3

Aunque no entendí bien el mensaje, ¿requiebro y sin esfuerzo no son antónimos?


No necesariamente, manooooh.
Según el diccionario, requebrar es volver a quebrar en piezas más menudas lo que estaba ya quebrado, y en el lenguaje taurino también se usa, creo, para aludir a aciertos pases de muleta o cosas de ésas (pero no sé muy bien, no soy aficionado, hablo de oído).

Aquí en Madrid un requiebro es un piropo (a una mujer, concretamente); como dice la canción: “la cuna del requiebro y el chotís”.

Saludos.

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Hola DCM. Veo que cortaste el ritmo de tus intervenciones con la última pregunta que te hice y reapareces al cabo de diez días; esperaba que me dijeras algo. Supongo que mi pregunta te resultará estúpida; y lo será quizá.

Como te dije en las primeras conversaciones que intercambiamos, yo tengo una teoría de la que ya te hablé y te expliqué más o menos.

Desde que registré dicha idea han pasado 22 años; te pongo la prueba a de ello.

Spoiler



[cerrar]

Tengo una copia del trabajo y me da vergüenza poner alguna foto porque digo numerosas tonterías; pero la idea de fondo me sigue pareciendo interesante; y más ahora con los recientes descubrimientos que se han llevado a cabo con el James WEBB.

Yo también dividí por cero en una de las cuestiones principales, en la primera formula, y encima me parecía tan claro que no especifiqué qué operaciones había hecho, pensando que era obvio.

Pero de esto hace 22 años y sólo me había asomado un par de años a la facultad de la UNED para estudiar cuatro cosas. Durante este tiempo han acabado su carrera de física cuatro generaciones de estudiantes, entre las que quizá esté la tuya (podría haber estudiado mucho en ese tiempo, sin embargo, dejó de interesarme el tema al ver que no podía determinar nada con mi idea).

Voy a poner una foto del trabajo aquel, pues todavía lo conservo; verás que igualo radios a gravedades, esto está dentro de un contexto muy “revolucionario”, no es que yo no supiera en aquel entonces que eso no se puede hacer (es aparte de tonterías involuntarias que dije por falta de conocimientos).

En fin, no te rías mucho

Spoiler

[cerrar]

El segundo dibujo representa un sistema que se expande con toda su materia, el propio observador y la propia unidad de medida.

En cuanto el “espesor” de las cosas, digamos que, según esto, lo que es un punto para un observador del presente, es un pequeño segmento para un observador del pasado. Esta idea no se puede tratar demasiado bien matemáticamente porque la unidad en matemáticas es abstracta y es única, no cambia con el tiempo; pero al menos tenemos el concepto de homotecia y de semejanza.

Por mi parte, como tú, también consideraba un punto inicial que medía “g/2”, pero esa “g” era indeterminable para mí; tanto respecto de la Tierra como del Universo o cualquier otra cosa. Así que a la postre no importa.

Con esto sólo quiero que Imagines la cantidad de gente que ha podido inventar cosas parecidas mucho antes que tú (aunque yo lo justificaba, no decía que existieran los cascarones huecos o los puntos gordos sin atender a una consideración, como era la de que la materia se expandiera, aumentando ésta en el tiempo).

En el segundo dibujo represento lo que es básicamente la cuestión. Esas circunferencias representan un sistema expansivo con un observador que también se expande. En el centro de las circunferencias está el pasado (el monigote más pequeño) y en la parte más exterior el presente (lo que llamaba “horizonte de sucesos”, porque no tenía clara la verdadera definición de “horizonte de sucesos”).

Para los monigotes más grandes, más expandidos, la unidad también está expandida respecto de los menos. Así, mide con una misma unidad siempre, constante, si considerar esa expansión (al no tener consciencia de esa expansión de la materia).

De la primera “onda” a la siguiente más interior, medirá \( u \); a la siguiente más interior también creerá medir \( u \), pues piensa que hay la misma longitud y que él también tiene el mismo tamaño, pero en realidad mediría \( u/2 \) (u otra proporción) al no considerar que la unidad se ha expandido (la unidad, si es constante, se va quedando pequeña).

A la siguiente onda más interior utilizará entonces, sin darse cuenta, una unidad que será la mitad que la anterior \( u/4 \); y así sucesivamente. De este modo, al medir más hacia el pasado, registra una proporción expansiva menor. Pero visto desde fuera, abarcando todo el tempo a la vez, esa espiral no sería arquimediana, sino logarítmica.

Aunque no estoy muy seguro, considerar esta idea (con los arreglos que necesite) podría dar sentido a lo que se dice en este vídeo.


No importa que sea contradictoria con otras teorías, eso es lo de menos. Lo importante es si podría resultar útil para algo; la física no está unificada y no importa la compatibilidad, es un error pensar así porque puede llevar a no explorar nuevas posibilidades. Las teorías tienen que funcionar para algo, y ya está, no ser “verdad” o “mentira”. Y en este sentido la pregunta ya te la hizo alguien por ahí, si mal no recuerdo: ¿Para qué sirve lo que dices?”.

En las propias matemáticas hay cosas que funcionan con una teoría y cosas contrarias con otra; así que si en matemáticas pasa eso... pues fíjate en física.

Y a partir de eso que digo, lo primero que tienes que hacer es cambiar ese título, porque no puedes decir que esté mal la integral, porque no está mal. La ciencia no es un “quítate tú que me pongo yo”; aunque, por desgracia, durante mucho tiempo se ha entendido bastante así.

La ciencia es proponer experimentos, teorías, contar a los demás observaciones, ideas... no es una discusión de patio de vecindad. ¿Cuál es tu idea, que la Tierra es un plano infinito, que es hueca? ¿Y cómo es el Universo? Porque la Tierra está muy trillada ya, vivimos encima de ella, sabemos bastante de ella aunque no se sepa todo.

¿Tú idea es cambiar las matemáticas dándole a los puntos dimensión? Pues tendrás que decir cómo, poner unas condiciones. En un triángulo rectángulo de 1x1 todos los puntos de la hipotenusa son (x,y) y se corresponden biyectivamente con los puntos (x,0) y los (0,y); hay la misma cantidad de puntos pero los catetos miden menos que la hipotenusa; luego nos vemos en la necesidad de que la dimensión de los puntos sea cero, porque, si no, los lados tendrían medir lo mismo. Ahora bien, si tú me hablas del tiempo, de expansión de la materia o algo parecido, entonces quizá podamos considerar que un punto sea adimensional y no lo sea según qué condiciones.

Saludos.

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Dudas:
1)podemos ver, entonces, la clase de todos los conjuntos posibles como un conjunto completamente desordenado? O eso no tiene nada que ver con la clase de todos los conjuntos posibles?

2) Este "desorden" tiene algo que ver con la aleatoriedad?

un saludo

No sé dar una respuesta segura a eso; es que yo no “veo” ahí. Como diría Paco Gandía, aquel humorista, veo menos que un galápago en lejía.

Lo que sí puedo “ver”, intuitivamente, es que dados números reales así, por ejemplo

\( 3,457712 \)

\( 3,457712... \)

donde el de arriba es un irracional y el de abajo un racional, puedo meter en medio un racional o un irracional:

\( 3,457712 \)

\( 3,457712...1 \) racional

\( 3,457712... \)

La condición de ese racional consiste en que en el irracional llegará un momento que tenga una cifra mayor que 1 (puede ser la primera detrás del dos, esa misma u otra) entonces, donde los puntos suspensivos del racional se ponen las mismas cifras del irracional (las que sigan, no sabemos ahora, pero tendrá las que sea) hasta antes de donde está el 1. De esta manera, el irracional tiene una cifra mayor a partir de ese lugar, es mayor; y, por otra parte, el racional de arriba es menor. Luego el racional construido así queda en medio.

Si en vez de un racional quieres que quede en medio un irracioanal, pues a ese mismo racional construido le añades detrás del 1 una cantidad infinita de cifras que no formen un periodo. Y siempre se va a poder.

Veámoslo. Si ahora tomamos el nuevo racional y el irracional, por ejemplo, se vuelve a poder hacer lo mismo

\( 3,457712...1 \)

\( 3,457712...1...1 \)

\( 3,457712... \)

Porque el irracional no forma un periodo, va a existir siempre una cifra “ad hoc” para cambiar.

Esto quiere decir que los intervalos de racionales que toma Dedekind están llenos de agujeros a priori, porque ha “sacado” los irracionales. Pero esos agujeros se tapan encajándolos entre otros intervalos de racionales distintos a los tomados con raíz de dos.

Si en vez de decir “los números cuyo cuadrado...” decimos “los números cuya función f son menores que r (con r racional) y por otra parte los que son mayores, se tiene una visión más general (aunque más difuminada, porque hay que imaginarse una función y un “r”; pero no hace falta buscar nada de eso, se imagina en abstracto y a través del ejemplo del cuadrado y el 2 se puede entender).

El hecho de que \( \sqrt{2} \) no quede aislado como único irracional entre los intervalos, no implica que esos otros irracionales no se puedan aislar también entre otros intervalos de racionales; por lo dicho arriba, porque siempre se pueden intercalar racionales e irracionales, infinitamente (y hacia “dentro”, de manera que no se sale del pozo, de una cierta acotación).

Luego con esa idea abstracta queda construida la recta real; no número a número, obviamente, sino con la idea en general.

Pero lo del orden, lo aleatorio... puf, no sé contestar eso, “¿Hay algún médico [matemático en este caso] entre el público?”.

Saludos.

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Hola

Imagina que tu objetivo es clasificar ciertos objetos para tener un mejor orden.

Tienes bolígrafos rojos y verdes y pelotas de básquet y de fútbol.

Si tuvieras que armar uno o varios conjuntos con esos objetos, ¿te pondrías a armar un cajón con todos los bolígrafos y las pelotas en el mismo cajón?

¿O pondrías los bolis en un cajón y las pelotas en otro?

Saludos

Depende.
...
Un conjunto es un montón de cosas (objetos, ideas, sensaciones…) sobre los que se puede encontrar una relación o establecer una relación o bien no se puede hacer nada de esto. Quizá sí se puede decir que, si se da este último caso, el conjunto sólo se podrá definir por extensión, pero quizá también pueda definirse por comprensión, es difícil aseverarlo.
Así, un conjunto será cualquier cosa que tú quieras que sea un conjunto.

Saludos, manooooh.

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Independientemente del argumento de la diagonal, existen números como éste \( (1+\dfrac{1}{n})^{n} \), que son únicos, pero no existe ningún “n” tal que lo podamos meter ahí y obtener el número “e”. No existe, porque si existiese, los naturales tendrían máximo, sería un conjunto finito. Pero sí existe el número “e”, como número real, porque es mayor que 1 y menor que 3; en la práctica, para cosas de física y demás, pues es obligatorio tomar aproximaciones, no podemos escapar de eso, nunca trabajaremos con “e” al hacer cuentas con números. Y entre dos números reales muy juntos, todo lo que se quiera, existen siempre otros infinitos números; decir lo contrario es negar que aquí \( 1/n \) ese “n” puede ser tan grande como queramos. Y en esos números infinitamente “pegados”, no numerables es donde está el infinito “grande”, el no numerable. Entonces, si consideramos que \( 1/n \) es tan pequeño como queramos, tenemos que considerar que existe el infinito no numerable (el que muestra la diagonal) porque si consideramos lo contrario, estamos diciendo que “n” no puede ser tan grande como queramos.

Claro que podemos elegir un “n” finito tan grande que nadie llegue a usarlo nunca, y decir que hasta ahí nos vale; pero eso... es más antiguo que ZFC, pues el hecho de considerar que “n” no tiene límite es muy anterior a la teoría de conjuntos, los griegos ya lo consideraban.

Saludos.

Hola feriva,

Sí. está claro que ningún irracional está como elemento del conjunto de los racionales. De hecho, con Dedekind se define irracional como un subconjunto infinito de los racionales cuyos elementos están ordenados a través de un corte de Dedekind.

Y esta definición me parece sorprendente, porque implica que el conjunto de los racionales contiene todos los números irracionales. Pero los contiene como subconjuntos de infinitos racionales ordenados según un corte de Dedekind.

Un saludo

Están “intercalados”, no es que los contengan, porque eso sería decir que hay racionales que a la vez son irracionales.

O sea, si consideras todos los números del segmento de racionales \( [a,b)\cup(b,c] \) ahí quedan unos agujeros, puesto que esto “b)” son racionales menores que “b” tan cercanos como se quiera a b, y no se acaban; y esto “(b” son números mayores que “b” tan cercanos como se quiera; lo mismo pero por la otra punta. Lógicamente, “b” es racional y tiene que estar ahí en medio, existe, pero es imposible que tenga a su lado racionales que sean el anterior y el siguiente; porque no existen el anterior ni el siguiente. Entonces quedan “agujeros” al lado de “b”, infninitos agujeros a cada lado; pero no consecutivos ni no consecutivos, al no aparecer el concepto de anterior y siguiente tampoco aparece ese concepto, no podemos “verlo” o entenderlo bien, lo que si vemos es que no hay continuidad, no hay números racionales “pegados” a “b”

Ahora, por definición, los agujeros no están cubiertos por racionales, porque consideramos que están todos los racionales de los dos intervalos, luego en los agujeros hay otros números (porque no tiene mucho sentido entender que no hay nada entre números distintos, tiene que haber más números).

Con esa idea no se puede definir un agujero concreto, porque está vista como por “extensión”, digamos. Entonces Dedekind considera eso por comprensión. Si decimos (elegimos decir, definimos) que en el primer intervalo están todos los racionales cuyo cuadrado es menor que 2 y en el segundo intervalo todos los racionales cuyo cuadrado es mayor que 2, entonces estamos definiendo un agujero que es raíz cuadrada de 2. Pero esto no quiere decir que sea el ínico irracional que hay en medio, no es el “único agujero” porque sería afirmar que entre raíz de 2 y los racionales de al lado no hay más irracionales; y esto es falso, entre cualquier racional e irracional, más en general, entre dos reales cualesquiera, siempre hay otro irracional; y también otro racional.

Esto útlimo bien podría haberse sabido antes de Dedekind (por parte de algunos) intuitivamente, porque podemos estirar las cifras de la mantisa de un número tanto como queramos, ir añadiendo más y más (y aquí, para mí, es imprescindible imaginarlo con tiempo, dinámicamente, porque supone la comparación de números finitamente largos (pero tan largos como se quiera) con números infinitamente largos; pensarlo de golpe, “sin tiempo”... sencillamente es imposible, el que diga que lo entiende, miente, no entiende nada, como le pasa a cualquier mortal).

Pero también podría no haberse sabido y usarlo más o menos bien “subconscientemente”. Basta pensar en que, por ejemplo, “Por convención, el 1 no se considera un número primo; esto no se aceptó universalmente hasta mediados del siglo XX”, según se puede leer en la Wikipedia. Fíjate qué tarde se empezó a considerar no primo; eso significa que no habían pensado que entonces cualquier primo estaría compuesto por dos primos \( 7=1*7 \) y que a tenor eso no existirían los coprimos, pues el 1 divide a todos. Sin embargo, en realidad, lo consideraban no primo para esas cosas, aunque le llamaran primo. Algunos aspectos teóricos han tardado mucho en asentarse, y el tema de los irracionales requiere una meditación aún mayor que eso de que el 1 no debe definirse como primo.

Saludos.

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Teoría de números / Re: Números primos: curiosidades
« en: 30 Marzo, 2024, 09:37 am »
Quería compartir un artículo sobre la República de Platón, donde unos matemáticos descifraron en el texto varios teoremas sobre la distribución de los números primos. Me ha parecido interesante por lo que feriva había comentado al principio sobre lo del primordial.

El artículo está aquí: https://www.researchgate.net/publication/226417480_Plato's_hidden_theorem_on_the_distribution_of_primes

Básicamente los teoremas son:

a) Sea $$3<p_i<p_{i+1}$$ siendo $$p_i, p_{i+1}$$ primos consecutivos. Entonces, cada entero $$r<p_{i+1}$$ divide a $$p_i!$$

b) si $$n>5$$, siendo un natural, entonces $$n!$$ es divisible por todos los naturales menores o iguales que $$n$$. Y también por todos los compuestos menores que $$2n$$

Luego hay cierta especulación con el 7!=5040.

Un saludo

Ah, es que eso son factoriales no primoriales; o sea, esto \( P! \), si p es el primo 5, por ejemplo, es factorial de cinco

\( P!=5!=5*4*3*2 \)

en cambio, el primoral de 5 es el producto de los primeros cinco primos y se escribe así \( P_{5}\# \)

\( P_{5}\#\text{=2*3*5*7*11} \)

Va a ser divisible por todos los primos que aparecen desde el primero hasta el último, pero no por números al cuadrado o potencias mayores que 1; yo me despisté en mi “conjetura”, no pensé despacio, me dio la impresión al no fijarme en los cuadrados.

\( P_{4}\#\text{=2*3*5*7} \)

como 4 es una potencia, mayor que 1, de uno de esos primos, pues no divide al producto.

En cambio, en el factorial sí, porque aparece el 4, aparecen todos los naturales menores que el “n” del factorial; así que todos ellos dividen al producto, al factorial.

Saludos.

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Teoría de números / Re: Números primos: curiosidades
« en: 30 Marzo, 2024, 12:38 am »


Vale feriva, creo que te entiendo.

Si partes de un n!, basta con restarlo con un primo que sea mayor que él pero que, al restarlos, nos dé un número menor que el cuadrado del primo más grande que haya en n!.


En realidad, usando el factorial no hace falta que sea el cuadrado de ningún número en particular, basta con que sea un primo mayor que el factorial, pues siempre será coprimo con el factorial; pero yo mezclé ideas con lo tuyo y otras cosas y lo compliqué.

Eso sí, la resta tiene que ser menor que el factorial, igual que en lo que haces tú, para poder asegurar que ese coprimo es un primo.

No hace falta pensar tampoco en eso del mayor primo hasta “n” (hasta la mita), pues buscamos un primo mayor que el factorial, siempre va a ser coprimo con el factorial, por ser un primo mayor que cualquiera suyo, cualquiera de los que componen sus números.

Pero sigue siendo difícil (cuando el factorial tiene cientos de cifras) encontrar un primo que al hallar la diferencia, ésta sea más pequeña que el factorial, porque la cantidad de cifras va a tener que ser la misma, con una más va a quedar grande (con muchas cifras va a pasar eso salvo muy excepcionalmente). Y buscar un primo con la misma cantidad de cifras va a ser difícil con algo tan grande.
...
Te explicó mejor por qué se me cruzaron los cables.

Cuando tienes una secuencia de números naturales ordenados que llega hasta un “n”, existe un primo en dicha secuencia tal que \( p^{2}>n \), por lo que los compuestos hasta “n” serán todos múltiplos de ese “p”y de los más pequeños (no de todos a la vez, claro, de algunos, quiero decir que obligatoriamente todos los compuestos hasta “n” tendrán algún factor que será P ó menor que P; obligatoriamente todos los compuestos lo tendrán). Porque si tiene dos factores mayores que P, digamos x,y,entonces

\( xy>p^{2}>n \)

y así no puede estar dentro de la secuencia que va de 1 a “n” ningún compuesto mayor que el cuadrado de ese "p".

Puede estar a lo mejor x como factor, pero acompañado de uno de los menores que “p”, puede ser “qx” menor que “n”.

Y esto no tiene nada que ver con lo que decía, se me cruzaron las ideas al ver que usabas el cuadrado.

Esto sirve para encontrar primos de una forma cómoda, para eliminar posibilidades considerando números menores que la raíz cuadrad de “n” que puedan dividir a “n”, para saber si “n” es primo o no (por lo explicado).

Por ejemplo, si quiero saber si 23 es primo, la raíz de 23 es menor que 5 (dicho de otra manera, 5²>23) así que de ser compuesto tendría que estar formado por algún factor menor que 5, o seá, 3 ó 2; y rápidamente se ve que no es divisible por 2 ni por 3, luego es primo.

Buenas noches.

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en efecto, no podemos entender el funcionamiento del cerebro humano, porque para ello nos haría falta un nuevo Hitler

No con otro Hitler; yo creo que para saber eso falta mucho, quizá nos extingamos antes de saberlo

Bueno, yo sólo quería decir que Hitler sería necesario, no suficiente. Quiero decir que uno de los principales impedimentos para conocer el funcionamiento del cerebro es que no podemos coger a una víctima, abrirle el cráneo sin matarla y empezar a jugar con su cerebro a ver qué le pasa (que son cosas del mismo nivel de barbarie que hacían algunos "científicos" nazis, y también japoneses). Otra cosa es que con eso bastara..

La hidrocefalia y cosas así ya hacen un papel que puede servir, no es necesario que resucite Josef Mengele, “¡Vade retro, Satanás!” :D

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Teoría de números / Re: Números primos: curiosidades
« en: 29 Marzo, 2024, 08:01 pm »
Hola, RDC.

No, no es así. Espera, te explico con un ejemplo:

Tomemos este factorial

\( 5!=120 \)

Y consideremos la sucesión

\( 1,2,3...120 \)

Entonces la mitad es \( \dfrac{120}{2}=60 \).

Todos los compuestos de la sucesión \( 1,2,3...120 \) están formados por primos menores o iguales a 59; los mayores que \( \dfrac{120}{2}=60 \) también (todos son mútliplos de los menores salvo los primos; esto es porque los compuestos formados por primos mayores a 60 también serán mayores que 2n; en este caso con n=60).

Ahora, buscamos un primo mayor que el factorial, 120, que estimemos que pueda ser menor que \( 59^{2} \) (esto es lo que puede no ser tan fácil con números muy grandes, por eso hablé de tomar un Mersenne apropiado; pero en este ejemplo es muy sencillo encontrarlo, claro).

Así, de memoria, se nos puede venir a la cabeza el 127 (que es un primo “famoso”, por aquel coche “SEAT 127”, y es el primer primo mayor que 120).

Es claramente menor que el cuadrado de 59.

Pues ahora restamos y ya está

\( 127-10!= \)

\( 127-120=7 \).

Sale demasiado pequeño, pero con un factorial de muchas cifras no sería tan pequeño; ademas no elegiríamos el siguiente (sería imposible, y si pudiéramos ya tendríamos un primo muy grande directamente) sino uno con menos cifras que el cuadrado del primo que aquí hace de 59; que no sabríamos cuál es, pero podríamos estimar cifra arriba, cifra abajo, la cantidad de sus cifras.

De hecho en este caso sencillo podemos elegir uno bastante más grande, siempre que la diferencia sea menor que 120. Así puedo elegir ( con Python) el más grande posible, que es 139. Entonces:

139-120=19.

No es el más grande posible, obviamente; estaba pensando en otro cosa

No hace falta estimar las cifras del cuadrado en este caso, vale con estimar las de ese primo; tiene que tener una o alguna cifra más para que sea mayor

Tiene una cifra menos que 120, nada más.

Con 100000 cifras, si conseguimos ajustarnos a alguno de los grandes que cumpla las condiciones, tendremos también un primo enorme, con las mismas cifras que el factorial o una pocas menos.

Pero no digo que sea fácil; habría que ponerse con el ordenador y trabajar en ello a ver qué tal.

Saludos.

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Adjunto la traducción de un texto de Michael McClennen (Dc de ciencia computacional de la Universidad de Michigan). Que tiene que ver con lo que restituto parece intentar indagar en este otro hilo: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=126295.msg517012;topicseen#msg517012

Artículo:
Spoiler
Sí, el argumento diagonal de Cantor es realmente correcto. Sin embargo, hay un añadido importante: no implica lo que muchos dicen que implica.

Específicamente, el argumento diagonal por sí mismo no implica la existencia de conjuntos más grandes que el conjunto de los números naturales. Esta implicación solo se sostiene en ciertos marcos lógicos, y no en otros. La buena noticia es que puedes elegir en qué marco lógico deseas trabajar. Puedes optar por hacer matemáticas en un marco en el que algunos conjuntos infinitos son más grandes que otros, o puedes elegir hacer matemáticas bajo un conjunto diferente de suposiciones bajo las cuales todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño. Ambas son elecciones igualmente válidas.

La mayoría de los matemáticos hoy eligen trabajar dentro del marco lógico llamado ZFC, en el cual el argumento diagonal sí implica la existencia de diferentes tamaños de infinito. Sin embargo, no hay razón para creer que ZFC es una descripción correcta del mundo, tanto como cualquiera de las alternativas. La mayoría de los matemáticos usan ZFC por conveniencia, porque les permite probar ciertas afirmaciones que los matemáticos piensan que deberían ser probables, como "todo espacio vectorial tiene una base". Pero, en última instancia, ZFC es una herramienta que los matemáticos usan para probar cosas y no una descripción de "cómo es realmente el mundo".

Me molesta cuando la gente generaliza inapropiadamente de la declaración "X es verdadero bajo ZFC" a "X es verdadero". Desafortunadamente, muchas personas hacen tales generalizaciones, ya sea explícitamente o sin pensar.

Si uno en cambio elige hacer matemáticas bajo la suposición básica de que "nada puede decirse que existe a menos que pueda caracterizarse de manera finita", entonces las consecuencias del argumento diagonal son muy diferentes. Las describiré a continuación. Personas como yo, que hacemos matemáticas basadas en esta suposición o alguna formulación similar, tendemos a llamarnos a nosotros mismos finitistas. Esta suposición no es consistente con el Axioma de Elección, pero sí es consistente con muchas formulaciones de la teoría de conjuntos que no contienen ese axioma. Tales formulaciones, junto con la suposición de caracterización finita, proporcionan una base sólida para el cálculo, la teoría de números, la mayor parte del análisis real y complejo, casi todo el álgebra, y en particular toda la matemática que subyace a la ciencia, la ingeniería, la informática y todas las demás empresas analíticas que usamos para comprender y manipular nuestro mundo físico. En resumen, trabajar bajo esta suposición no te limita en lo más mínimo a menos que seas un matemático que quiere probar teoremas específicos que dependen del Axioma de Elección.

Lo que el argumento diagonal implica realmente

Cantor presentó varias versiones diferentes de su argumento diagonal. En esencia, la formulación más rigurosa de estas demuestra que la siguiente declaración es absolutamente y sin lugar a dudas verdadera, dadas algunas nociones básicas de lo que es un conjunto:

"Existen algunos conjuntos infinitos que no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales".

Eso es todo. Una declaración muy significativa, pero no aparentemente revolucionaria.

Lo que esta declaración significa depende enteramente de otras suposiciones que elijas como base para tu razonamiento matemático. En particular, depende de un concepto llamado ordenamiento bien fundado.

Ordenamiento bien fundado

Un conjunto infinito S se puede llamar "bien ordenado" o "susceptible de ser bien ordenado" si y solo si existe una relación que asigna a cada subconjunto de S un elemento de ese subconjunto que puede considerarse el "primer elemento". En otras palabras, un ordenamiento bien fundado elige un primer elemento de cada subconjunto posible. Si tal relación existe, entonces, en principio, puedes comenzar con el "primer elemento" del conjunto entero y, al eliminar este elemento del conjunto y luego sucesivamente eliminar el "primer elemento" de cada subconjunto restante, eventualmente puedes recorrer todo el conjunto en una única secuencia extendida.

Para ser claros, este tipo de ordenamiento es diferente del usual ordenamiento de "mayor o menor" que aplicamos a los números. Por ejemplo, el ordenamiento usual de los enteros no es un ordenamiento bien fundado, porque no tiene un elemento más pequeño. Un posible ordenamiento bien fundado de los enteros es: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, …

Está claro que muchos conjuntos comunes como los números naturales, los enteros y los racionales tienen un ordenamiento bien fundado. Hay otros, como el continuo y el conjunto potencia de los números naturales, para los cuales esto no es tan claro.

Ahora, volvamos nuestra atención de nuevo al argumento diagonal.

Si un conjunto S tiene un ordenamiento bien fundado, y si S también es del mismo tamaño que el conjunto de los números naturales, entonces este ordenamiento bien fundado genera implícitamente una correspondencia uno a uno entre S y los números naturales. El "primer elemento" de S corresponde a 0, el "primer elemento" del resto corresponde a 1, el "primer elemento" después de eso corresponde a 2, y así sucesivamente para todos los demás. Por lo tanto, la conclusión del argumento diagonal puede reformularse de la siguiente manera:

"Existen algunos conjuntos infinitos para los cuales una de las siguientes debe ser verdadera: o tal conjunto no tiene un ordenamiento bien fundado, o es más grande que el conjunto de los números naturales".

Hay muchos conjuntos de importancia fundamental que tienen esta propiedad, incluido el continuo (los números reales), el conjunto de todas las funciones del continuo a sí mismo, el conjunto potencia de los números naturales y muchos otros conjuntos derivados de estos. Si estás haciendo matemáticas que tocan cualquiera de estos conjuntos, puedes elegir cualquiera de estas posibilidades que te guste, pero te ves obligado a elegir una de ellas. Este es el verdadero significado del argumento diagonal.

Diferentes suposiciones

Como mencioné anteriormente, si las matemáticas en las que estás interesado son las matemáticas que son necesarias para la ciencia, la ingeniería y todas las demás formas de entender el mundo físico, eres libre de elegir cualquiera de estas posibilidades. Tu elección no afectará ninguna de las conclusiones matemáticas que necesitas para hacer tu trabajo. En este sentido, para todos excepto los matemáticos puros, la elección es puramente filosófica.

Hasta donde sé, todos los que reflexionan profundamente sobre este tema terminan eligiendo una u otra opción de manera absoluta. La mayoría (pero no todos) de los matemáticos de los siglos XX y XXI han terminado eligiendo la segunda opción, que algunos conjuntos son más grandes que los números naturales. Lo hacen basando explícitamente su matemática en la suposición de que "Todos los conjuntos infinitos tienen un orden bien fundado". Esta declaración fue reformulada por Zermelo como el Axioma de Elección lógicamente equivalente. Como mencioné anteriormente, esta suposición tiene el beneficio de permitir la demostración de teoremas como "todo espacio vectorial tiene una base" y "todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal". Estos tipos de teoremas no son necesarios si uno trabaja solo con la matemática que describe el mundo físico, porque esta matemática se basa en espacios vectoriales específicos cuyas bases son conocidas, anillos específicos que tienen ideales maximals conocidos y otros conjuntos que están explícitamente definidos para tener las propiedades necesarias para los usos a los que se destinan.

Personas como yo que eligen la primera opción sienten que afirmar la existencia de conjuntos cuya membresía nunca puede ser conocida conduce a la absurdidad. Fundamentamos nuestro razonamiento, en cambio, basando explícitamente nuestra matemática en la suposición de que "Todos los conjuntos infinitos tienen solo aquellos miembros que pueden ser caracterizados de manera única de alguna forma finita". Bajo esta suposición, cosas que no pueden ser abarcadas de manera finita como las funciones de elección o "secuencias infinitas de dígitos aleatorios" no existen realmente y no son temas adecuados para el razonamiento matemático.

No importa qué lenguaje o sistema formal se use para describir objetos matemáticos, existe alguna codificación que mapea cada declaración diferente en ese lenguaje o sistema a un número natural único. Por lo tanto, el conjunto de todas las descripciones únicas posibles de cosas es igual en tamaño al conjunto de los números naturales. Esto implica que el conjunto de todas las diferentes cosas matemáticas que podrían existir posiblemente es igual en tamaño a los números naturales. Bajo esta suposición, simplemente estamos volviendo a la idea de infinito que fue universalmente aceptada hasta mediados del siglo XIX: hay conjuntos finitos y hay conjuntos infinitos, y todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño.

Si eliges este tipo de marco, entonces el argumento diagonal tiene una implicación muy diferente. Implica que ciertos conjuntos, aquellos a los que se refiere como "infinitos no contables", no tienen un orden bien fundado. Son incontables no porque sean demasiado grandes para ser contados, sino porque no existe ninguna forma de que puedan ser ordenados para ser contados.

Quiero enfatizar nuevamente que esta es una forma igualmente válida de ver el argumento diagonal y es una perspectiva que, de hecho, un número no trivial de matemáticos adopta. Son una minoría decidida, pero existen.
[cerrar]

Sólo soy un aficionado de estos temas, pero me ha parecido interesante.

¿Qué opináis?

un saludo

Independientemente del argumento de la diagonal, existen números como éste \( (1+\dfrac{1}{n})^{n} \), que son únicos, pero no existe ningún “n” tal que lo podamos meter ahí y obtener el número “e”. No existe, porque si existiese, los naturales tendrían máximo, sería un conjunto finito. Pero sí existe el número “e”, como número real, porque es mayor que 1 y menor que 3; en la práctica, para cosas de física y demás, pues es obligatorio tomar aproximaciones, no podemos escapar de eso, nunca trabajaremos con “e” al hacer cuentas con números. Y entre dos números reales muy juntos, todo lo que se quiera, existen siempre otros infinitos números; decir lo contrario es negar que aquí \( 1/n \) ese “n” puede ser tan grande como queramos. Y en esos números infinitamente “pegados”, no numerables es donde está el infinito “grande”, el no numerable. Entonces, si consideramos que \( 1/n \) es tan pequeño como queramos, tenemos que considerar que existe el infinito no numerable (el que muestra la diagonal) porque si consideramos lo contrario, estamos diciendo que “n” no puede ser tan grande como queramos.

Claro que podemos elegir un “n” finito tan grande que nadie llegue a usarlo nunca, y decir que hasta ahí nos vale; pero eso... es más antiguo que ZFC, pues el hecho de considerar que “n” no tiene límite es muy anterior a la teoría de conjuntos, los griegos ya lo consideraban.

Saludos.

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