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Mensajes - pierozeta

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1
Gracias por sus respuestas, para el item (a) conseguí pues \( U=S^1\times S^1 \), para el item 2 aún no pues para usar la sucesión de Mayer Vietoris tengo que saber el grupo de cohomologia de \( \mathbb{R}^3\setminus S^1 \), cómo puedo hallarlo?

Otra cosa, conversando con mi profesor, sobre la parte de mirando al producto él se refirió a el producto wedge, ver que en uno el mapa de deRham es degenerado y en el otro es no degenerado, eso tampoco entendí. Alguna idea?

Muchas gracias!

2
Buenas tardes por favor, pueden darme una idea de como hacer este ejercicio?
Calcule la cohomología de DeRham de los siguientes abiertos, y mirando al producto, concluya que no son difeomorfos.

a) \( U=\mathbb{R}^3\setminus (L_1\cup C) \),  \( L_1=\{x=y=0\} \) y \( C=\{x^2+y^2=1,z=0\} \)

b) \( V=\mathbb{R}^3\setminus (L_2\cup C) \),  \( L_2=\{x=3,y=0\} \) y \( =\{x^2+y^2=1,z=0\}.
 \)


Estoy pensando en hacer \( U_1=U \), \( V_1=L_1\cup C \), así

\( U_1\cup V_1=\mathbb{R}^3 \), \( U_1\cap V_1=\emptyset\ldots \).
Como \( L_1 \) e \( C \) son disjuntos, entonces \( H^k(V_1)=H^k(L_1)\oplus{H^k(C)} \), entonces aplicando la sucesión de MV

\( \ldots\rightarrow{H^k(\mathbb{R^3})}\rightarrow{H^k(U_1)\oplus{H^k(V_1)}}\rightarrow{0} \)

Antes de continuar así, quisiera saber si mi idea está buena. Hasta ahora no he usado que las posiciones de la recta y circunferencia son diferentes, no sé qué hacer ahí.


Vi bien y no puedo usar MV, pues \( V_1 \) no es abierto  :banghead:. Alguna idea?

Muchas gracias.


3
Muchas gracias EnRIque!!! :)

4
Hola EnRique, muchas gracias voy a pensar de nuevo la (a), sí la (b) es correcta, voy a corregirlo. Un gran abrazo

5
Análisis Matemático / Ejercicio de límites superiores de funciones
« en: 11 Febrero, 2017, 03:45 pm »
Hola amigos, espero que me puedan ayudar con este ejercicio.

Sea \( f:[0,1]\to\mathbb R \) una función acotada. Dado \( \varepsilon>0 \), sea \( F_{\varepsilon}\subseteq{[0,1]} \) el conjunto de los \( x\in [0,1] \) tales que existe una sucesión \( (x_n) \) tal que
\( \lim_{n\to+\infty} x_n=x,\quad \lim sup_{n}|f(x_{n+1})-f(x_n)| \geq \varepsilon. \)

Diga se cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifique.

(a) Para toda función \( f \), el conjunto \( F_{\varepsilon} \) es cerrado.

(b) Si \( x_0\in F_{\varepsilon} \), entonces \( f \) no es continua en \( x_0 \).

(c) Si \( f \) no es continua en \( x_0\in[0,1] \), entonces existe un \( \varepsilon >0 \) con \( x_0\in F_{\varepsilon} \).


Para la (a), pensé en tomar \( a\in\overline{F_{\varepsilon}} \), entonces existe una sucesión \( a_k\in F_{\varepsilon} \) tal que \( a_k\rightarrow{ a} \).

Como \( a_k\in F_{\varepsilon} \), entonces existe una sucesión \( (x_{k_n}) \) tal que

\( \lim_{n\to+\infty} x_{k_n}=a_k,\quad \lim sup_{n}|f(x_{k_{n+1}})-f(x_{k_n})| \geq \varepsilon. \)

De ahí, para \( m=m(k,n)=k+n \) pensé en definir \( b_m=a_{k_n} \), así
\( b_m\rightarrow{x} \) y
 \( \lim sup_{n}|f(b_{m+1})-f(b_m)| =\lim sup_{n}|f(x_{k_{n+1}})-f(x_{k_n})| \geq \varepsilon \)

 Por tanto,\(  x\in F_{\varepsilon} \). Sin embargo, no me convence porque no he usado que \( f \) es acotada.

La (b) es verdadera, por el criterio de sucesiones para funciones continuas.

Creo que (c) es verdadero, pero aún estoy pensando en como formularlo.

Muchas gracias. Un gran abrazo a todos.

6
Buenas noches amigos, alguno de ustedes sabe donde puedo encontrar ejemplos y/o ejercicios resueltos como el siguiente, mi profesor no me quiere decir. Muchas gracias

Sea \( g:\mathbb R\to\mathbb R \), definida por
\( g(x)=|x|-2\left|x-\dfrac{1}{2}\right| + |x-1|. \)

Defina recursivamente las funciones \( f_n:[0,1]\to \mathbb R \) por \( f_0=0 \) y
\( f_{n+1}(t)=f_n(t)+\dfrac{1}{2^n}\displaystyle\sum_{0\leq k<3^n}^{}g(3^{n+1}t-3k-1).
 \)

(a) Defina \( f:[0,1]\to \mathbb R \) por
\( f(t)=\lim_{n}f_n(t). \)
Para eso, pruebe que para todo \( t\in [0,1] \), el límite anterior existe.
(b) Calcule \( f(1/3), f(1/2) \) y \( f(2/3) \).
(c) Pruebe que la función \( f:[0,1]\to \mathbb R \) es continua.
(d)Diga si existen funciones monótonas estrictamente crecientes \( h_+,h_-:[0,1]\to \mathbb R \) con
\( f(t)=h_+(t)-h_(t) \), para todo \( t\in[0,1] \).

7
Buenos días amigos, por favor les agradecería que me den una idea con el siguiente ejercicio:

\( K \) denota el conjunto de Cantor usual. Si \( X \) es un conjunto, denotamos por \( X' \) al conjunto de los puntos de acumulación de \( X \).

Diga si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.
(a) Sea \( X\subset [0,1] \) un conjunto no enumerable. Entonces \( X''=X' \).

(b) Sea \( X\subset [0,1] \) un conjunto no enumerable. Entonces existen \( a,b\in [0,1] \), con \( a<b \) y \( (a,b)\subset X' \).

(c) Sea \( X\subset [0,1] \) un conjunto no enumerable. Entonces existe una función continua y estrictamente creciente \( f:[0,1]\to\mathbb R \), con  \( f(K)\subset X' \).

Para tener una idea, consideré \( X \) como \( X=\mathbb I\cap [0,1] \), pero \( X'=[0,1] \), pero con ese ejemplo las afirmaciones son verdaderas. Estoy pensando en otros conjuntos no numerables, pero por ahora no consigo avanzar.

Para la (c) pensé en usar la función de Cantor, pero como es no decreciente, tendría que usar una modificación.
 
Muchas gracias.

Saludos!!

8
Buenísimo, muchas gracias Carlos y el_manco.

Saludos!!

9
Gracias Carlos, tienes razón, olvidé la densidad de \( \mathbb Q \)
Que función puede servir e  la (c). Mi idea es tomar una funcion que no sea uniformemente continua en \( [0,1] \)

10
Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justifique su respuesta.

(a) Toda función acotada \( f:\mathbb Q\cap [0,1]\to\mathbb R \) es continua.

(b) Toda función continua \( g:\mathbb Q\cap [0,1]\to\mathbb R \) es uniformemente continua.

(c) Sea \( h:\mathbb Q\cap [0,1]\to\mathbb R \). Son equivalentes:

i) Existe una función continua \( \overline{h}:[0,1]\to\mathbb R \), \( \overline{h}|_{\mathbb Q\cap [0,1]}=h \).

ii) \( h \) es uniformemente continua.

Mi solución:

(a) Es verdadero, porque todos los puntos de \( \mathbb Q\cap [0,1] \) son isolados aislados.

(b) Falso, sea  \( g(x)=\dfrac{1}{x-\pi/4} \), entonces \( g \) es continua en \( \mathbb Q\cap [0,1] \), pero no uniformemente continua.

(c) Falso, tomo \( h=g \) del item anterior.
¿Están correctos?

Gracias

11
Un gran saludo para ti también, abrazos!

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Aqui :

\( |f_2(x)-f_1(x)|=(2p-1)x \) si \( 0\leq x\leq 1/2 \)
\( |f_2(x)-f_1(x)|=(2p-1)(1-x) \) si \( 1/2\leq x\leq 1 \)

Creo que debe ser \( |f_1(x)-f_0(x)| \), cierto?

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Muchas gracias el_manco, con tu idea voy intentar la (b)

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Buenas noches amigos, les agradecería mucho si me pueden dar una ayuda con el siguiente ejercicio:

Sean \( p=49/100 \) y \( f_n:[0,1]\to [0,1] \) funciones definidas recursivamente por \( f_0(x)=x \) y

\( f_{n+1}(x)=\begin{cases} pf_n(2 x) & \text{si}& 0\leq x\leq 1/2\\p+(1-p)f_n(2x-1) & \text{si}& 1/2\leq x\leq 1\end{cases} \)
Se pide

(a) Hallar \( C_1>0 \) y \( \lambda \in (0,1) \) tales que
\( \forall n,m\in\mathbb N,\forall x\in[0,1], (n<m)\to (|f_n(x)-f_m(x)|\leq C_1\lambda^n). \)

(b) Hallar \( C_2>0 \) y \( \alpha \in (0,1) \) tales que

\( \forall n\in\mathbb N,\forall x_0,x_1\in[0,1], |f(x_0)-f(x_1)|\leq C_2|x_0-x_1|^{\alpha}). \)

(c) Usando (a) y (b), muestre que existe una función continua \( f:[0,1]\to [0,1] \) tal que
\( \forall x\in [0,1],\quad \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x). \)


Escribí \( f_1(x) \) y \( f_2(x) \) para tener una idea, pero no pude avanzar más.

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Sea \( f:A\subset\mathbb {R}^n\to\mathbb{R} \)  una función  \( C^1 \) en \( A \), y sea \( y\in\mathbb{R} \) tal que \( \nabla f(x)\neq 0 \), para todo \( x\in f^{-1}(y) \).
Muestre que en una vecindade de cada punto \( p\in f^{-1}(y) \), el conjunto \( f^{-1}(y) \) puede ser parametrizado por una función \( C^1 \) \( g:B\subset\mathbb{R}^{n-1}\to \mathbb {R}^n \) en \( B \).

Hice esto:
Sea \( x=(x_1,\ldots,x_n)\in f^{-1}(y) \), entonces como \( \nabla f(x)=(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x), \ldots, \dfrac{\partial f}{\partial x_n}(x))\neq 0 \), existe \( i\in\{1,...,n\} \), tal que,
\( \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)\neq 0 \). Creo que debo usar el teorema de la función implícita, pienso que \( g \) debe ser una función real, o sea \( g:B\to \mathbb{R} \).

Me pueden dar una idea?

Muchas gracias

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Buenos días amigos, ¿alguien tiene alguna idea?

Un abrazo.

Muchas gracias.

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Hola amigos, tengo el siguiente ejercicio:

Sea \( f:M\rightarrow{}N \) una apliación continua entre variedades conexas de la misma dimensión, con M compacta. Suponga que:
1) \( f \) es diferenciable a menos de un número finito de punots de M.
2) \( f \) posee apenas un número finito de valores críticos.

Muestre qe f es constante o sobreyectora.

Sea \( K=VC(f) \) el conjunto de valores críticos de \( f \), como es finito, es cerrado, como f es continua, \( f^{-1}(K) \) también es cerrado en \( M \).
Sean \( X=M\setminus f^{-1}(K) \)  e \( Y=N\setminus K \), entonces X e Y son abiertos.
Como K es finito y N conexa entonces Y es conexa.

Supongo que \( f \) no es constante, entonces existen \( p,q\in M \) tal que \( f(p)\neq{f(q)} \). Como M es conexa, entonces es conexa por caminos(por ser variedad), luego existe un camino continuo \( g:[0,1]\rightarrow{M} \) tal que \( g(0)=p \) e \( g(1)=q \).

No sé cómo usar la condición 2 ni la compacidad de M.

Ahí me quedo.

Muchas gracias.

18
Hola amigos, me pueden dar una idea de cómo puedo probar que los conjuntos
\( X=\{(x,|x|);x\in{\mathbb{R}}\} \), \( Y=\{(x,x^2);x\in{\mathbb{R}}\} \)

no son difeomorfos?

Muchas gracias.

19
Para la (iii), estaría bien así?
Suponiendo n=k. Tengo dos ideas:

Idea 1:
Spoiler
Sea \( p\in M \), entonces por definición, existe un abierto \( U\subset R^k \), que contiene a \( p \), un abierto \( V\subset R^n \) y un difeomorfismo \( g:V\rightarrow{U\cap M} \), como \( n=k \) y \( g \) es difeo, tengo que
\( g:V\subset R^n\rightarrow{R^n} \) es una función continua e inyectiva, entonces por el teorema de invarianza del dominio, la imagen \( g(V)=U\cap M \) es un abierto que contiene a \( p \) y está contenido en \( M \), es decir, para todo \( p\in M \), existe un conjunto abierto \( W \) contenido totalmente en \( M \), entonces \( M \) es abierto.
[cerrar]

Idea 2:

Spoiler
Sea \( p\in M \), entonces por definición, existe un abierto \( U\subset R^k \), que contiene a \( p \), un abierto \( V\subset R^n \) y un difeomorfismo \( g:V\rightarrow{U\cap M} \), como \( n=k \) y \( g \) es difeo, entonces por el teorema de la función inversa, si \( g(q)=p \), existen dos abiertos \( A,B\subset R^n \), \( q\in A\subset V \), \( p\in B\subset U\cap M \) tal que \( g:A\rightarrow{B} \) es difeomorfismo, entonces B es un abierto contenido en M, entonces M es abierto.
[cerrar]

El regreso es fácil.

muchas gracias

20
Conseguí hacer la (i) y (ii), ¿alguna idea por favor? Muchas gracias :D

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