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Temas - pierozeta

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1
Buenas tardes por favor, pueden darme una idea de como hacer este ejercicio?
Calcule la cohomología de DeRham de los siguientes abiertos, y mirando al producto, concluya que no son difeomorfos.

a) \( U=\mathbb{R}^3\setminus (L_1\cup C) \),  \( L_1=\{x=y=0\} \) y \( C=\{x^2+y^2=1,z=0\} \)

b) \( V=\mathbb{R}^3\setminus (L_2\cup C) \),  \( L_2=\{x=3,y=0\} \) y \( =\{x^2+y^2=1,z=0\}.
 \)


Estoy pensando en hacer \( U_1=U \), \( V_1=L_1\cup C \), así

\( U_1\cup V_1=\mathbb{R}^3 \), \( U_1\cap V_1=\emptyset\ldots \).
Como \( L_1 \) e \( C \) son disjuntos, entonces \( H^k(V_1)=H^k(L_1)\oplus{H^k(C)} \), entonces aplicando la sucesión de MV

\( \ldots\rightarrow{H^k(\mathbb{R^3})}\rightarrow{H^k(U_1)\oplus{H^k(V_1)}}\rightarrow{0} \)

Antes de continuar así, quisiera saber si mi idea está buena. Hasta ahora no he usado que las posiciones de la recta y circunferencia son diferentes, no sé qué hacer ahí.


Vi bien y no puedo usar MV, pues \( V_1 \) no es abierto  :banghead:. Alguna idea?

Muchas gracias.


2
Análisis Matemático / Ejercicio de límites superiores de funciones
« en: 11 Febrero, 2017, 03:45 pm »
Hola amigos, espero que me puedan ayudar con este ejercicio.

Sea \( f:[0,1]\to\mathbb R \) una función acotada. Dado \( \varepsilon>0 \), sea \( F_{\varepsilon}\subseteq{[0,1]} \) el conjunto de los \( x\in [0,1] \) tales que existe una sucesión \( (x_n) \) tal que
\( \lim_{n\to+\infty} x_n=x,\quad \lim sup_{n}|f(x_{n+1})-f(x_n)| \geq \varepsilon. \)

Diga se cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifique.

(a) Para toda función \( f \), el conjunto \( F_{\varepsilon} \) es cerrado.

(b) Si \( x_0\in F_{\varepsilon} \), entonces \( f \) no es continua en \( x_0 \).

(c) Si \( f \) no es continua en \( x_0\in[0,1] \), entonces existe un \( \varepsilon >0 \) con \( x_0\in F_{\varepsilon} \).


Para la (a), pensé en tomar \( a\in\overline{F_{\varepsilon}} \), entonces existe una sucesión \( a_k\in F_{\varepsilon} \) tal que \( a_k\rightarrow{ a} \).

Como \( a_k\in F_{\varepsilon} \), entonces existe una sucesión \( (x_{k_n}) \) tal que

\( \lim_{n\to+\infty} x_{k_n}=a_k,\quad \lim sup_{n}|f(x_{k_{n+1}})-f(x_{k_n})| \geq \varepsilon. \)

De ahí, para \( m=m(k,n)=k+n \) pensé en definir \( b_m=a_{k_n} \), así
\( b_m\rightarrow{x} \) y
 \( \lim sup_{n}|f(b_{m+1})-f(b_m)| =\lim sup_{n}|f(x_{k_{n+1}})-f(x_{k_n})| \geq \varepsilon \)

 Por tanto,\(  x\in F_{\varepsilon} \). Sin embargo, no me convence porque no he usado que \( f \) es acotada.

La (b) es verdadera, por el criterio de sucesiones para funciones continuas.

Creo que (c) es verdadero, pero aún estoy pensando en como formularlo.

Muchas gracias. Un gran abrazo a todos.

3
Buenas noches amigos, alguno de ustedes sabe donde puedo encontrar ejemplos y/o ejercicios resueltos como el siguiente, mi profesor no me quiere decir. Muchas gracias

Sea \( g:\mathbb R\to\mathbb R \), definida por
\( g(x)=|x|-2\left|x-\dfrac{1}{2}\right| + |x-1|. \)

Defina recursivamente las funciones \( f_n:[0,1]\to \mathbb R \) por \( f_0=0 \) y
\( f_{n+1}(t)=f_n(t)+\dfrac{1}{2^n}\displaystyle\sum_{0\leq k<3^n}^{}g(3^{n+1}t-3k-1).
 \)

(a) Defina \( f:[0,1]\to \mathbb R \) por
\( f(t)=\lim_{n}f_n(t). \)
Para eso, pruebe que para todo \( t\in [0,1] \), el límite anterior existe.
(b) Calcule \( f(1/3), f(1/2) \) y \( f(2/3) \).
(c) Pruebe que la función \( f:[0,1]\to \mathbb R \) es continua.
(d)Diga si existen funciones monótonas estrictamente crecientes \( h_+,h_-:[0,1]\to \mathbb R \) con
\( f(t)=h_+(t)-h_(t) \), para todo \( t\in[0,1] \).

4
Buenos días amigos, por favor les agradecería que me den una idea con el siguiente ejercicio:

\( K \) denota el conjunto de Cantor usual. Si \( X \) es un conjunto, denotamos por \( X' \) al conjunto de los puntos de acumulación de \( X \).

Diga si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.
(a) Sea \( X\subset [0,1] \) un conjunto no enumerable. Entonces \( X''=X' \).

(b) Sea \( X\subset [0,1] \) un conjunto no enumerable. Entonces existen \( a,b\in [0,1] \), con \( a<b \) y \( (a,b)\subset X' \).

(c) Sea \( X\subset [0,1] \) un conjunto no enumerable. Entonces existe una función continua y estrictamente creciente \( f:[0,1]\to\mathbb R \), con  \( f(K)\subset X' \).

Para tener una idea, consideré \( X \) como \( X=\mathbb I\cap [0,1] \), pero \( X'=[0,1] \), pero con ese ejemplo las afirmaciones son verdaderas. Estoy pensando en otros conjuntos no numerables, pero por ahora no consigo avanzar.

Para la (c) pensé en usar la función de Cantor, pero como es no decreciente, tendría que usar una modificación.
 
Muchas gracias.

Saludos!!

5
Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justifique su respuesta.

(a) Toda función acotada \( f:\mathbb Q\cap [0,1]\to\mathbb R \) es continua.

(b) Toda función continua \( g:\mathbb Q\cap [0,1]\to\mathbb R \) es uniformemente continua.

(c) Sea \( h:\mathbb Q\cap [0,1]\to\mathbb R \). Son equivalentes:

i) Existe una función continua \( \overline{h}:[0,1]\to\mathbb R \), \( \overline{h}|_{\mathbb Q\cap [0,1]}=h \).

ii) \( h \) es uniformemente continua.

Mi solución:

(a) Es verdadero, porque todos los puntos de \( \mathbb Q\cap [0,1] \) son isolados aislados.

(b) Falso, sea  \( g(x)=\dfrac{1}{x-\pi/4} \), entonces \( g \) es continua en \( \mathbb Q\cap [0,1] \), pero no uniformemente continua.

(c) Falso, tomo \( h=g \) del item anterior.
¿Están correctos?

Gracias

6
Buenas noches amigos, les agradecería mucho si me pueden dar una ayuda con el siguiente ejercicio:

Sean \( p=49/100 \) y \( f_n:[0,1]\to [0,1] \) funciones definidas recursivamente por \( f_0(x)=x \) y

\( f_{n+1}(x)=\begin{cases} pf_n(2 x) & \text{si}& 0\leq x\leq 1/2\\p+(1-p)f_n(2x-1) & \text{si}& 1/2\leq x\leq 1\end{cases} \)
Se pide

(a) Hallar \( C_1>0 \) y \( \lambda \in (0,1) \) tales que
\( \forall n,m\in\mathbb N,\forall x\in[0,1], (n<m)\to (|f_n(x)-f_m(x)|\leq C_1\lambda^n). \)

(b) Hallar \( C_2>0 \) y \( \alpha \in (0,1) \) tales que

\( \forall n\in\mathbb N,\forall x_0,x_1\in[0,1], |f(x_0)-f(x_1)|\leq C_2|x_0-x_1|^{\alpha}). \)

(c) Usando (a) y (b), muestre que existe una función continua \( f:[0,1]\to [0,1] \) tal que
\( \forall x\in [0,1],\quad \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x). \)


Escribí \( f_1(x) \) y \( f_2(x) \) para tener una idea, pero no pude avanzar más.

7
Sea \( f:A\subset\mathbb {R}^n\to\mathbb{R} \)  una función  \( C^1 \) en \( A \), y sea \( y\in\mathbb{R} \) tal que \( \nabla f(x)\neq 0 \), para todo \( x\in f^{-1}(y) \).
Muestre que en una vecindade de cada punto \( p\in f^{-1}(y) \), el conjunto \( f^{-1}(y) \) puede ser parametrizado por una función \( C^1 \) \( g:B\subset\mathbb{R}^{n-1}\to \mathbb {R}^n \) en \( B \).

Hice esto:
Sea \( x=(x_1,\ldots,x_n)\in f^{-1}(y) \), entonces como \( \nabla f(x)=(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x), \ldots, \dfrac{\partial f}{\partial x_n}(x))\neq 0 \), existe \( i\in\{1,...,n\} \), tal que,
\( \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)\neq 0 \). Creo que debo usar el teorema de la función implícita, pienso que \( g \) debe ser una función real, o sea \( g:B\to \mathbb{R} \).

Me pueden dar una idea?

Muchas gracias

8
Hola amigos, tengo el siguiente ejercicio:

Sea \( f:M\rightarrow{}N \) una apliación continua entre variedades conexas de la misma dimensión, con M compacta. Suponga que:
1) \( f \) es diferenciable a menos de un número finito de punots de M.
2) \( f \) posee apenas un número finito de valores críticos.

Muestre qe f es constante o sobreyectora.

Sea \( K=VC(f) \) el conjunto de valores críticos de \( f \), como es finito, es cerrado, como f es continua, \( f^{-1}(K) \) también es cerrado en \( M \).
Sean \( X=M\setminus f^{-1}(K) \)  e \( Y=N\setminus K \), entonces X e Y son abiertos.
Como K es finito y N conexa entonces Y es conexa.

Supongo que \( f \) no es constante, entonces existen \( p,q\in M \) tal que \( f(p)\neq{f(q)} \). Como M es conexa, entonces es conexa por caminos(por ser variedad), luego existe un camino continuo \( g:[0,1]\rightarrow{M} \) tal que \( g(0)=p \) e \( g(1)=q \).

No sé cómo usar la condición 2 ni la compacidad de M.

Ahí me quedo.

Muchas gracias.

9
Hola amigos, me pueden dar una idea de cómo puedo probar que los conjuntos
\( X=\{(x,|x|);x\in{\mathbb{R}}\} \), \( Y=\{(x,x^2);x\in{\mathbb{R}}\} \)

no son difeomorfos?

Muchas gracias.

10
Hola amigos, espero me puedan dar alguna idea para estos ejercicios. Un abrazo

Sean \( U\subset \mathbb{R}^n \) abierto e \( Y\subset \mathbb{R}^m \) un conjunto cualquiera. Suponga que \( f:U\rightarrow{}Y \) es un difeomorfismo local. Entonces

(i) Muestre que para cada \( p\in U \) se tiene que \( df_p:\mathbb{R}^n\rightarrow{\mathbb{R}^m} \) es inyectiva.

(ii) Concluya que si \( M\subset{\mathbb{R}^k} \) es una variedad diferenciable de dimesión \( n \), entonces \( n\leq k \).

(iii) Muestre que en el caso \( n=k \) ocurre si, y solo si, \( M \) es un abierto de \( \mathbb{R}^k \)


Para (i), como es un difeomorfismo local, existe un entorno abierto \( U_p\subset U \) de \( p \), y un entorno abierto \( V_{f(p)}\subset Y \) de \( f(p) \) tal que \( f:U_p\rightarrow{V_{f(p)}} \) es un difeomorfismo, pero ahí me detengo y no sé como continuar.


Gracias.

11
Buenos días amigos, espero me puedan ayudar en estos ejercicios. Muchas gracias.

1. Sea \( F \) una extensión de Galois sobre un cuerpo \( K \), \( G=Aut_{K}(F) \). Sea \( K\subset{}E\subset{}F \), \( E \) un subcuerpo intermediario y \( N=N_{Aut_{K}F}(Aut_{E}F) \) el normalizador de \( Aut_{E}F \) en \( Aut_{K}F \). Probar que \( N=\{g\in G;g(E)\subset E \} \).

No veo en qué me ayuda que la extensión es de Galois?

2. Probar que \( \mathbb{Q}(\sqrt[4 ]{2}) \) no es el cuerpo de descomposición de ningún polinomio en \( \mathbb{Q}[x] \).

Sea \( a=\sqrt[ 4]{2} \), entonces el polinomio irreducible de \( a \) es \( f(x)=x^4-2 \) que posee 4 raíces, dos reales y dos complejas, y cómo las complejas no están en \( \mathbb{Q}(\sqrt[4 ]{2}) \), esté cuerpo no es el cuerpo de descomposición. Está correcto?

12
Hola amigos, agradecería que me den una ayuda en estos dos ejercicios:

1. Dadas las siguientes permitaciones en \( S_6 \)
\( \sigma=(124)(35) \) y \( \pi=(145)(36) \) muestre que ellas son conjugadas y encuentre \( \tau\in S_6 \) tal que
\( \tau^{-1}\sigma\tau=\pi \)

He hecho muchas composiciones y me enrredo   ???

2. Sean \( H=(\mathbb {Z}_4,+) \) y \( K=(\mathbb {Z}_5,+) \). Determine \( \phi:H\longrightarrow{Aut(K)} \) tal que el producto semidirecto \( (H\ltimes_{\phi}K,\ast) \) NO sea directo y tal que par todos \( h_1\in H \) y \( k_1,k_2\in K \) sea satisfecha la igualdad.

\( (h_1,k_1)\ast(\overline{2},k_2)=(h_1+\overline{2},k_1+k_2) \)

No sé como empezar, en esto de productos semidirectos no soy muy bueno :(


13
Estructuras algebraicas / Extensión finita
« en: 24 Noviembre, 2012, 06:58 am »
Hola compañeros, agradecería que me indiquen cómo puedo empezar este ejercicio:

 Si \( F=\mathbb{Q}(i,\alpha,\sqrt{3}) \), donde \( \alpha \) es una raíz cúbica de 1, e \( i^2=-1 \). Hallar \( [F:\mathbb{Q}] \) y una base de \( F \)  sobre \( \mathbb{Q} \).

Un fuerte abrazo.

14
Estructuras algebraicas / Grado de cuerpos sobre Q
« en: 19 Noviembre, 2011, 09:42 pm »
Hola amigos, tengo los siguientes ejercicios
Cual es el grado de los siguientes cuerpos sobre \( \mathbb{Q} \)?

1. \( \mathbb{Q}(a) \), donde \( a^3=2 \).
Spoiler
\( [\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]=n \), donde n es el grado del polinomio irreducible de \( a \) sobre \( \mathbb{Q} \).
Como \( a^3=2 \), entonces \( a \) es rai'z de \( f(x)=x^3-2 \), y este polinomio es irreducible en Q. Por tanto, el grado pedido es 3
[cerrar]

2. \( \mathbb{Q}(a) \), donde \( a^3=p \), p un primo.

Spoiler
De la misma manera, como el polinomio \( t^3-p \) es irreducible en \( \mathbb{Q} \), el grado tambien es 3.
[cerrar]

3. \( \mathbb{Q}(a) \), donde a es rai'z de \( t^3-t-1 \).

4. \( \mathbb{Q}(a,b) \), donde a es raiz de \( t^3-2 \) y b es ra'iz de \( t^2-3 \).

En la 3 y 4 me tranqueo.

Muchas gracias

15
Estructuras algebraicas / Ejercicos de polinomios irreducibles sobre Q`
« en: 19 Noviembre, 2011, 07:54 pm »
Hola a todos, estoy viendo el tema de extensio'n de cuerpos, y tengo los siguientes ejercicios que pongo es spoiler mi avance, espero que me ayuden.

1. Muestre que el polinomio \( p(t)=(t-a)^2+b^2 \) con \( a,b \) racionales y \( b\neq 0 \) es irreducible sobre los numeros racionales.
Spoiler
Como el grado de \( p \) es dos, si p es reducible, entonces existen g y h tales que \( p=gh \), donde g y h son lineales, entonces existen \( c,d \) raices de g y h respectivamente. Luego \( c \) y \( d \) son raices de p. Pero \( p(t)\neq 0 \) para todo t. Por tanto, \( p \) es irreducible en Q.
[cerrar]

2. Muestre que el polinomio \( t^3-p \) es irreducible sobre los numeros racionales para todo numero primo \( p \).
Spoiler
Estaba pensando igual que en el ejercicio anterior, pero lo unico que se me ocurre es por la propiedad de diferencia de cubos
\( t^3-p=(t-\sqrt[3 ]{p})(t^2+\sqrt[3 ]{p} t+\sqrt[3 ]{p}^2) \) y ninguno de esos polinomios tienen coeficientes en Q. No se' como ordenar mi idea

[cerrar]

Muchas gracias.

Pd1: mi teclado es ingle's y no puedo poner las tildes, espero que me comprendan.
Pd2: no tienen la opcion para cambiar a teclado espanol.

16
Hola amigos, por favor les agradecería que me indiquen como hacer los siguientes ejercicios. Como mi conexión está que se va, primero pongo los enunciados, apenas me salga algo, lo pongo.

1. Sea \( A \) una matriz \( n\times n \) autodajunta. Demuestre que existe un número real \( c \) tal que la matriz \( cI+A \) es positiva.

2.   Sea \( A:E\rightarrow{E} \) un operador sobre el K-espacio vectorial E. Pruebe que:

a) Si A es autoadjunto entonces \( A^n(v)=0 \) para algún \( n>0 \) y \( v\in E \), entonces \( A(v)=0 \).
b) Si A es un operador normal, \( \lambda\in K \), si \( (A-\lambda I)^n(v)=0 \), entonces \( (A-\lambda I)(v)=0 \)

Abrazos

17
Hola muchachos, me piden hallar la descomposición polar de la siguiente matriz \( A=\begin{bmatrix}{\sqrt{2}}&{1}&{1}\\{-\sqrt{2}}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{-1}\end{bmatrix} \)

O sea sé que debo descomponer A=PU, donde P es una matriz no negativa y U es unitaria, pero cómo podría empezar.

Muchas gracias.

18
Topología (general) / Conjuntos compactos
« en: 17 Enero, 2011, 01:47 pm »
Hola, tengo problemas con el siguiente ejercicios, pues como el conjunto de índices no es numerable, no sé como puedo trabajar, para construir una sucesión. Espero que me puedan ayudar
Este es el ejercicio:
Una familia de conjuntos \( (K_{\lambda})_{\lambda\in L} \) se llama una CADENA cuando para cualesquiera \( \lambda, \mu\in{L} \) se verifica que \( K_{\lambda}\subset{K_{\mu}} \) o \( K_{\mu}\subset{K_{\lambda}} \). Demostrar que si \( (K_{\lambda})_{\lambda\in L} \) es una cadena de compactos no vacíos, entonces su intersección \( \displaystyle\bigcap_{\lambda\in{L}}^{}K_{\lambda} \)es no vacía y compacta

Muchas gracias
Saludos


19
Cálculo 1 variable / Ejercicio de valores de adherencia
« en: 10 Enero, 2011, 10:50 am »
Hola amigos, tengo el siguiente ejercicio que no me sale, sea \( (x_n) \) una sucesión de números reales, y sea \( (a_k) \), una sucesión de valores de adherencia de \( (x_n) \) tal que \( a_k\rightarrow{a} \). Probar que \( a \) es valor de adhrencia de \( (x_n) \). Un número \( a \) es valor de adherencia de una sucesión \( (x_n) \) si existe una subsucesión que converge a \( a \). Una idea para comenzar por favor. Que tengan buen día

20
Hola amigos, espero que me puedan ayudar con estos ejercicios.

1)Sea \( f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n \) un polinomio con coeficientes enteros.
i) Si un número racional \( \cfrac{p}{q} \), donde \( p,q \) son primos entre sí, es raíz de \( f \), demostrar que \( p \) divide a \( a_0 \) y \( q \) divide a \( a_n \).
ii) Concluyase que cuando \( a_n=1 \), las raíces de \( f \) son enteras o racionales. En particular examinando la ecuación \( x^n-a=0 \), deducir que si \( a>0 \) es un número entero que no posse una raíz enésima entera, entonces \( \sqrt[n ]{a} \) es irracional.

iii) Utilizar los resultados anteriores para probar que \( \sqrt[ ]{2}+\sqrt[ 3]{2} \) es irracional.

Ya hice la (i) y (ii), solo me falta la (iii).

2. Sean \( a,b,c,d \) números racionales. Probar que \( a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2} \)  si y solo si \( a=c,b=d \).

Muchas gracias

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