Sección 1.2. La Verdad MatemáticaSe analizan los conceptos de verdad y de demostración en las matemáticas.
Penrose hace alusión a una búsqueda de
fiabilidad al hacer
afirmaciones matemáticas, y de que esto fue necesario como un primer paso para la noción de
verdad científica.
No me queda muy clara la conexión que debiera establecerse en la antigüedad, según Penrose, entre verdad científica, fiabilidad científica, verdad matemática y fiabilidad matemática.
Hace un salto directo a la noción de
verdad matemática, y de cómo diferenciar aquello que es
una mera hipótesis en la matemática (o sea, algo que
quizá sea verdad, pero aún no lo sabemos), de aquello cuya
verdad está asegurada (o sea,
demostrada, mediante algún
criterio o razonamiento considerado
correcto).
Como siempre, uno puede preguntarse en este punto sobre el significado de
verdadero y
demostrado, ya sea en la matemática o en otra ciencia.
Lo que yo, personalmente, considero que es una
clave o pauta a seguir, en cualquier época presente o futura del desarrollo matemático y/o científico, es
perseguir el ideal de exactitud-fiabilidad.
La noción de exactitud-fiabilidad (ambas cosas "juntas") es más bien un sentimiento, una intuición, algo no muy claramente definido conceptualmente hablando. Aún así, me parece que, si ante una afirmación cualquiera uno antepone automáticamente todo el tiempo la pregunta:
¿Es esa afirmación exacta-fiable?, en ese caso estaremos empujando la matemática hacia donde tiene que ir.
¡Estoy buscando un método extra-lógico como base de
lo matemático!
Este tipo de cosas corren el riesgo de llevarnos por callejones sin salida, y quizá lo mejor es avanzar en la ciencia de una manera más natural, explorando sus límites desde adentro, hasta producir una crisis que obligue a reconsiderar los paradigmas (¿Kuhn, Lakatos?), pero sin forzarlo desde la inventiva de una noche de insomnio (¿Argentinators?)...
Penrose remarca que los antiguos se "dieron cuenta" de que unas
matemáticas incuestionables eran la base necesaria para cualquier afirmación científica.
De ahí la necesidad de hacer
demostraciones de las
afirmaciones matemáticas mismas, para dejar establecida con toda seguridad, de una vez y para siempre, si cierto hecho matemático en realidad se cumple en cualquier caso, y no sólo en unos pocos ejemplos particulares.
Hoy en día la
verdad matemática y la
teoría de la demostración son temas de ardua investigación en
lógica.
Recomiendo al que no lo ha hecho que eche un vistazo al thread
Teorema de Godel, en el subforo de
Lógica y Teoría de Conjuntos, en donde estas cuestiones se discuten bastante:
Thread del rincón matemático sobre: El Teorema de Godel.En algún momento Penrose habla también del Teorema de Godel (capítulo 16).
Si llegamos ahí, veremos qué es lo que dice.
Penrose sitúa los orígenes (conocidos) de la
demostración matemática en el trabajo de los griegos Tales (625 a 547 a.C.) y Pitágoras (572 a 497 a.C.).
Tales fue el primero en usar la idea de demostración, pero los pitagóricos fueron los primeros en usarla continuamente.
Una de las utilidades de dar una demostración, es establecer la certeza de un hecho matemático que no es obvio, o completamente obvio.
Tomando hechos "obvios", y encadenándolos con el razonamiento, se llega a demostrar una afirmación, que en principio era sólo una sospecha o hipótesis.
A continuación Penrose nos dice algunas cosas sobre Pitágoras mismo, pero no entra en detalles.
Tan sólo habla de su influencia sobre el pensamiento matemático posterior.
Por una parte, los pitagóricos mantenían sus conocimientos en secreto.
Además de eso, no hay otros registros históricos sobre Pitágoras.
Así que sólo se saben algunas pocas cosas.
El tema de Pitágoras siempre me ha interesado, así como el de Arquímedes.
No he sido capaz de encontrar libros buenos sobre Pitágoras.
Tengo a mano un pequeño librito de Paul Stranthern, que tiene algo de información histórica, pero adolece del defecto de ser demasiado "expresivo". Por ejemplo, se burla de las supersticiones de los pitagóricas, en vez de usar esa energía en cosas más "serias".
En cuanto a Arquímedes (que lo he traído de los pelos, porque no está en el texto de Penrose), tengo un libro llamado "El Código de Arquímedes", de Netz y Noel.
El título pretende llamar la atención, abusando de la fama mundial de "El Código da Vinci".
Salvo eso, es una crónica científica muy interesante, acerca de unos manuscritos que contienen detalles de ciertos desarrollos matemáticos de
Arquímedes que hasta ahora se desconocían. (No es una novela, sino algo que ha ocurrido recientemente).
Dispongo de algunos libros que adjudican a
Pitágoras ciertos sistemas de símbolos con connotaciones esotéricas.
Pero no tengo certidumbre acerca de qué dijo en realidad
Pitágoras sobre el significado "simbólico" de los números.
Sí parece que sabía mucho de números, y estaba fascinado por ellos.
Además los pitagóricos pensaban, como todo el mundo sabe, que
el Universo es número.
Quizá fueron los primeros en creer que la matemática debía ser la base que lo explicara todo.
Aunque lo hicieron desde un punto de vista religioso, dogmático, y quizá con elementos esotéricos.
Esta actitud no se condice con lo que hoy designamos
pensamiento científico, sino con una forma antigua de
Numerología, o más bien,
espiritualidad-esoterismo numerológicos.
Si alguien tiene información sobre vida y obra de
Pitágoras y los pitagóricos, y tiene deseos de discutir el tema, se podría abrir un thread para ello.
Idem cualquier otro matemático griego.
Penrose continúa hablando de los métodos griegos de demostración.
Nos cuenta que ellos consideraban ciertas afirmaciones como
evidentes, y en ese caso eran
axiomas.
Verdades que no requerían prueba alguna.
Mientras que cualquier otra afirmación requería una justificación mediante un razonamiento cuidadoso.
Este tipo de afirmaciones
demostradas, se llamaron
teoremas.
En la actualidad, los teoremas son más o menos lo mismo que antes.
Lo que ha cambiado es la noción de
axioma.
Para un matemático moderno, una
lista de axiomas son afirmaciones que se toman como
punto de partida de una teoría, pero nadie las considera ya como
verdades evidentes.
Desde un punto de vista matemático, nada hay evidente.
Sin embargo, algo consternado he quedado en el thread "Teorema de Godel", cuando tuve que conformarme conque los números naturales, al menos en una versión intuicionista de ellos, deben ser aceptados como "ya existentes" o "sobreentendidos".
Ciertas cuestiones se aceptan intuitivamente sin cuestionarlas, aunque sean sutiles, y me han quedado serias dudas sobre los fundamentos de las matemáticas modernas.
No obstante, lo que los griegos consideraban verdades evidentes de la geometría (hoy en día,
geometría euclidiana), en la actualidad no son tales, y podemos considerar como
axiomas a las negaciones de aquellos de la geometría de Euclides, para obtener teorías geométricas alternativas, y aún plenamente válidas, e incluso más interesantes.
Entra en duda pues el concepto de qué es realmente
lo verdadero, o al menos, qué es
verdadero en matemáticas.
El filósofo Platón (429 a.C. a 347 a.C) concebía un mundo sutil especial en donde residían las ideas perfectas de la matemática, entre otras cosas. Las proposiciones matemáticas no se refieren, según él, a objetos de la realidad física, sino a entidades ideales que residen en lo que Penrose llama
mundo platónico de las formas matemáticas.
Un detalle más, y es que los antiguos se fueron dando cuenta que la verdad de una afirmación matemática era intemporal, ya que una vez establecido un teorema, se percataban de que dicho teorema en realidad sería cierto siempre, en cualquier época.
El platonismo nos hace pensar en que la verdad matemática no depende de si alguien demuestra o descubre un Teorema alguna vez en la historia humana. Se nos dice que en realidad, lo que el teorema afirma era cierto aún antes de que un matemático escribiera la demostración en un papel. Y eso seguiría siendo cierto por toda la eternidad, en forma inmutable.
En cierto sentido, no estaríamos "construyendo" conocimiento, sino "descubriendo" verdades o hechos u objetos del
mundo platónico de las formas matemáticas idealizadas.
Dicen los entendidos que Kurt Godel era platonista...
Lo cual no me dice mucho de su visión de la matemática, en relación a su famoso teorema de incompletitud.
Pero esa... esa es otra historia.
Demás está decir que estaría bueno abrir un thread para discutir sobre el platonismo, y otras corrientes de pensamiento sobre la razón de ser de lo matemático, o el fundamento filosófico de las matemáticas y los números.
Anexado:Se ha suscitado cierto interés sobre la Verdad en Matemáticas y el Platonismo, y he separado los mensajes respectivos para seguir la discusión en un nuevo thread, al que puede accederse con el siguiente enlace:
Foros/Universidad/Otros/Platonismo y Verdad en Matemáticas
