Sea \( (X, \tau) \) un espacio de Hausdorff donde \( X \) es infinito. probar que \( (X, \tau) \) es \( T_2 \) si y solo si para cada \( x\in{X} \) se tiene que:
\( \overline{\left\{{x}\right\}}= \displaystyle\bigcap_{N\in{N_x}}^{}\overline{{N}} \)
Dmst:
sea \( y\neq{x} \) existen abiertos \( U_x \) y \( V_y \) tales que \( U_x\cap{V_y}=\emptyset \). luego, \( x\in{{V_y}^c} \). sin perder la generalidad tenemos que:
\( V=\displaystyle\bigcup_{y\neq{x}}^{}{V_y } \) es un abierto tal que \( x\not\in{V} \) pero \( y\in{V} \) para cada \( y\neq{x} \).
\( \Longleftrightarrow{} \) \( \left\{{x}\right\}=X-V=V^c \), por ende \( \left\{{x}\right\} \) es un cerrado, es decir que, \( \left\{{x}\right\}=\overline{\left\{{x}\right\}} \). Además, \( V^c=(\displaystyle\bigcup_{y\neq{x}}^{}{V_y })^c=\displaystyle\bigcap_{y\neq{x}}^{}{{V_y}^c }=\displaystyle\bigcap_{y\neq{x}}^{}{\overline{{V_y}^c} } \). Solo bastaría tomar \( N={V_y }^c \) y combinando igualdades tenemos:
\( \overline{\left\{{x}\right\}}=\displaystyle\bigcap_{N\in{N_x}}^{}{\overline{N} } \)
Así esta bien? no sé si el si y solo si se pueda hacer así directamente.
