Una de las obsesiones que me están haciendo perder la razón es
hallar el correcto fundamento de la matemática.Se supone que la matemática es la más exacta de las ciencias, y en tal caso sus fundamentos deben ser aún más exactos, claros, definidos y precisos.Aún no tengo claro cómo funcionan las cosas en el terreno de
fundamentos, y eso me produce un malhumor que no puedo disimular.
Aunque estoy investigando arduamente el tema, hay mucho que analizar antes de llegar al menos a una solución que me deje tranquilo.
No obstante, la intención del presente thread es menos ambiciosa, y más amigable.
Tan sólo planeo que cada uno se sincere o medite acerca de la visión general que tiene de la matemática.Y para comenzar, doy mi propia visión.
A veces se habla de "matemáticas" y a veces de "matemática".
Como yo lo veo, sólo hay una sola ciencia matemática, así que prefiero usar el sustantivo singular.
La construcción mental que tengo de la misma es más o menos como sigue:
* Existen varios temas complejos e interesantes en "la" matemática, que la gente usualmente prefiere clasificar en "
ramas" de la matemática. Esas "
ramas" se construyen conceptualmente como "
teorías axiomáticas". En esos axiomas se usan conjuntos e inferencias lógicas, y también puede que se acuda a otras teorías preexistentes. Por ejemplo, se suelen usar sin aviso los
números naturales o reales sin mucho preámbulo, como si estuvieran enquistados naturalmente en la lógica misma.
Así, tenemos las ramas típicas:
Cálculo, Álgebra Lineal, Álgebra (general), Geometría euclidiana, Análisis matemático, Teoría de Medida, Topología, Geometría Diferencial, Teoría de Representación, Teoría de Grafos, Análisis Numérico, Optimización, y un larguísimo etcétera.
¿Todas estas teorías son especulaciones en el aire, o tienen una base sólida?Si yo quiero darle una base a cualquiera de estas teorías, recurro a la teoría de conjuntos. Veamos:
* Todas esas teorías pueden fundamentarse a partir de la
Teoría de Conjuntos estándar, y para ello basta cualquiera de las "clásicas":
Teoría de Zermelo-Fraenkel, Teoría de Newman-Godel-Bernays, Teoría de Morse Y Kelley.Así que la cuestión de la validez de las teorías o ramas de la matemática puede reducirse a la validez de la
teoría de conjuntos.
Ahora bien, la teoría de conjuntos ¿se construye en el aire o tiene alguna base?* La validez de la
teoría de conjuntos se inscribe en la
lógica. Existen operaciones lógicas básicas que tienen su contraparte operativa en la teoría de conjuntos... pero lo importante es que
si uno confía en la lógica, puede basar la teoría de conjuntos en ella, y luego
toda la matemática se sostiene en estos pilares.
Sin embargo, la
lógica podría haberse inventado de una manera caprichosa o difusa.
Si nos adscribimos a la forma discursiva de la
lógica de aristóteles, quizá nos formemoes la idea de que los razonamientos descansan en el discurso, y en algunas operaciones lógicas básicas.
En realidad no se trabaja así, sino que primero
se construye un lenguaje para la matemática, formado por un "alfabeto", o sea, una l
ista de símbolos que se consideran válidos, y sólo esos.
Esos símbolos se combinan entre sí mediante reglas bien definidas, que determinan qué combinaciones forman una frase "con sentido" para la
lógica, y cuáles no.
Luego, con esos símbolos y construcciones se da una
lista de postulados iniciales que serán los
axiomas de la teoría de conjuntos.O sea que la
teoría de conjuntos se define con un
lenguaje (que pretende ser) preciso.
Las afirmaciones de ese lenguaje podrán ser verdaderas o falsas, y podrán demostrarse o no.
*
Así que toda la matemática descansa en la lógica ahora. ¿Y la lógica, sobre qué bases descansa?Resulta que la
lógica se inscribe en un marco que se llama actualmente
"metamatemática".
Allí se define lo que es un
lenguaje de primer orden:
una lista de símbolos (finita) y unas reglas de formación de expresiones (finitariamente recursivas).Ese lenguaje es de carácter
sintáctico, o sea,
vacío de significado, son sólo
reglas de formación de expresiones. Cuando uno las usa para expresar teoremas matemáticos, está
jugando con la intuición, pero
las demostraciones son un puro cálculo.
No puede uno hablar de cosas que están más allá de lo que uno puede demostrar.
Se puede especular o conjeturar, pero no se puede afirmar nada categóricamente.
Y el carácter de la
lógica es esencialmente "
vacío de significado".
O sea, es "
formal".
Así es como me tomo toda demostración o todo cálculo.
Sólo
una cadena ordenada de símbolos sin significado, pero a los cuales uno puede adornar con bellas intuiciones del infinito, de la geometría, de la física (espacio y tiempo), etc., etc.
* En particular, los
números mismos los adscribo a la
teoría de conjuntos y la lógica.
Así que, para resumir, el
esquema mental que tengo de la
matemática es el siguiente:
\( \xymatrix{& \textsf{Teorías matemáticas} & \textsf{Teoría de conjuntos}\ar[l]\ar[dl] & \textsf{Lógica de Primer Orden}\ar[l] \\ & \textsf {Teoría de números naturales y/o reales}\\} \)
O sea que básicamente trabajo según el
programa formalista de Hilbert.Russell también
adscribió toda la matemática a la lógica, y me cuesta entender las diferencias filosóficas de fondo entre
Hilbert y Russell.
Para mí, ambos autores dan lugar al mismo sistema.
No me doy cuenta si estoy enmarcado en uno u otro.
Todo esto da cuenta de
una "cadena" constructiva de la matemática, desde
unos pilares mínimos, y de ahí en adelante.
Ahora bien. Los
intuicionistas como
Kronecker, Poincaré y Brower no "creían" en el
logicismo ni en los
axiomas.
Ellos decían que el
formalismo podía ser a lo sumo una manera de expresar con buena precisión los "resultados" del
trabajo matemático "real". El trabajo matemático se hace, según ellos, con
meras intuiciones de la mente.
Y no son cualesquiera intuiciones, sino un par de "
actos" específicos: (1) la concepción del "dos", o sea, la capacidad de la mente de
distinguir o crear dos entidades (intuitivas) distintas entre sí, y (2) la capacidad mental de "
repetición" de un proceso.
Esa manera "mental" de trabajar no es para nada formalista, y obliga a la matemática a conformarse a vivir con arduas restricciones.
La falta de popularidad del intuicionismo es causa de la enorme cantidad de resultados matemáticos importantes que habría que echar a la basura.
Al parecer, las mentes "
formales", como las de
Russell o Hilbert,
admiten la existencia de objetos matemáticos, con tal de probar que el sistema axiomático que define esos objetos no tiene contradicciones.O sea:
no-contradicción implica existencia.Para los
intuicionistas esto
no es suficiente, y exigen que todo sea "
construido" a partir de algo concreto.
En virtud de este tipo de objeciones,
me acostumbré a exigir que todos los
sistemas axiomáticos que uso sean no triviales, o sea, que tengan un "modelo" en el que los axiomas funcionen, y sea no vacío, que haya "acción".
Más tarde, gracias a los estudios de
Godel, parece ser que esta exigencia "
moral" tiene un sentido preciso en la
teoría de lenguajes de primer orden:
un sistema axiomático dado en la lógica de primer orden es consistente si y sólo si tiene un modelo.
Lo que nunca me quedó claro es:
cómo es que alguien puede justificar las aseveraciones en el mundo de los lenguajes de primer orden.1 * No se puede hablar de una teoría matemática o de los números mismos, sin antes haberlos dado mediante axiomas basados en la teoría de conjuntos.
2 * No se puede hablar de conjuntos y cardinales sin antes haberlos establecido en una teoría lógica.
3 * No se puede razonar lógicamente sin antes haber definido la lógica y sus reglas en el lenguaje de primer orden. (O en cualquier otro lenguaje).
Si se viola esa cadena de prohibiciones, me vuelvo loco.
Por una parte, considero que es un vicio de "circularidad".
La
circularidad sin alguna consideración especial, no puede dejarse a su libre albedrío: es fuente de paradojas, y es un pecado mortal para cualquier matemático o lógico.
Otra objeción proviene del modo en que entiendo a los "conjuntos" de la
teoría de conjuntos.
Para mí, no existen como
colecciones de ninguna cosa, son sólo "letritas en una expresión lógica vacía".
Si voy a usar la palabra "conjunto" en contexto metamatemático, tengo que ser específico en eso, ya que estoy haciendo una "interpretación" o "modelo" de la
teoría de conjuntos.
Pero a la larga, esto implica que estoy tomando a la lógica como modelo de sí misma, o a la teoría de conjuntos como modelo de sí misma.
Eso es una circularidad viciosa, y además conlleva la deshonestidad de que un sistema bien puede justificarse a sí mismo, pero eso no es garantía de que sea válido.
Es como si yo me invento un sistema judicial, luego se me acusa de haber cometido una fechoría, y uso a mi propio código penal para juzgarme a mí mismo: "Me considero Inocente y libre de culpa".
Al demostrar
teoremas acerca del lenguaje de primer orden en sí mismo, la gente alegremente hace
operaciones aritméticas, o habla de conjuntos, o de cardinales... Yo no logro aceptar ese tipo de cosas porque, como se ve en el esquema de ahí arriba, ninguna de esas cosas tienen sentido cuando uno está en
la etapa de un lenguaje de primer orden.No se puede hablar de
conjuntos, porque
aún no están definidos. Tampoco se puede usar la
lógica, porque la
lógica misma
no se ha definido.
Si se habla de "conjuntos", entonces serán de "
otro tipo" que los de "la"
teoría de conjuntos que puse en el esquema de flechas arriba.
Y si se usa una "
lógica" para razonar, será otra distinta a aquella que aún no se ha definido ni construido ni nada.
Para mí, el mundo metamatemático es lo mismo que a un pez que lo sacan del agua.
Mientras estoy en el mundo de la lógica de primer orden y la teoría de conjuntos, me siento como un pez en el agua.
Pero cuando me sacan "afuera" de ese mar, ya no puedo respirar.Y tengo la impresión de que se hacen operaciones ilegítimas o no bien fundamentadas.
Me parece extraño que los otros peces puedan respirar afuera del "agua".
Claro, que esto es sólo mi esquema mental, y quizá le estoy pifiando en tonterías.
Ojalá sea así, y no tenga que leerme todos los libros de fundamentos que estoy planeando leerme.
Doy por sentado que los aburrí con todo esto.
Mas, si les interesa, pueden cada uno compartir su visión general o esquema mental de la matemática, tal como la entienden o se la imaginan.
O lo que sea que quieran compartir, bah.
