[JoanL]

Buenas tardes a todos.
Tengo dudas con el siguiente ejercicio:
"Sea \( \textrm{$\{\boldsymbol{z_1, \cdots , z_r}\}$} \) una base ortonormal para un espacio vectorial \( S \). Muestre que si \( \boldsymbol{\vec{x}} ∈ S \), entonces
\( \boldsymbol{\vec{x}^{t}\vec{x}}=(\boldsymbol{\vec{x}^{t}z_1})^2+\cdots+(\boldsymbol{\vec{x}^{t}z_r})^2 \)"
Intenté resolver este problema usando un teorema que, básicamente, dice que si una matriz \( Y \) está en un espacio lineal \( V \) y contenido en este hay un subespacio \( U \) de dimensión \( r \), entonces existe una única matriz \( Z \) en \( U \) tal que \( Y-Z\perp{}U \). Lo que hice fue aplicarlo a los vectores indicados.
Como \( \vec{x}\in S \) entonces \( \vec{x} \) puede ser escrito como combinación lineal de los elementos de dicha base ortonormal; así
\( \vec{x}=c_1z_1+\cdots+c_rz_r \)
donde \( c_j=\left<{y,z_j}\right> \) (producto interno), con \( y-\vec{x}\perp{}U \) y \( \vec{x}\in U \)
Y hasta ahí llegué. Me estanqué en esa parte.
Quisiera saber si lo que he procedido hasta el momento es correcto, o hay muchas falencias.
Les agradecería mucho la ayuda que me puedan brindar.
Saludos.

[Gustavo]

Hola. No entiendo el enunciado. ¿Qué es \( x' \)?

[JoanL]

Hola Gustavo.
Es el vector transpuesto de \( \boldsymbol{\vec{x}} \).
Ya cambio la notación para evitar la ambigüedad.
Saludos.

[Gustavo]

Ah, ya entiendo. Aunque ahora no veo adónde apuntas con tu prueba.

Un camino es calculando directamente ambos lados. Nota que la condición de que \( \{ z_1,\ldots, z_r\}  \) sea una base ortonormal te dice que \( z_i^tz_j \) es 0 si \( i\neq j \) y 1 si \( i=j \). Luego, si tienes \( x= \sum_{i=1}^r c_iz_i  \) para ciertos escalares \( c_i \), entonces

\( \displaystyle x^tx= \left( \sum_{i=1}^{r} c_iz_i  \right)^t \left( \sum_{j=1}^{r} c_jz_j  \right) = \left( \sum_{i=1}^{r} c_iz_i^t  \right) \left( \sum_{j=1}^{r} c_jz_j  \right)= \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{r} c_ic_j z_i^tz_j.    \)

Simplifica esa suma con lo que sabemos de los \( z_i^tz_j \). Además, también puedes usar lo mismo para calcular los términos de la derecha de la ecuación, que son de la forma

\( \displaystyle x^tz_j= \sum_{i=1}^{r} c_iz_i^tz_j.  \)

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