Como dice sugata estás sumando dos veces el área que comparten. Para obtener el resultado tienes que restar esa área del total.
Para hallar el área compartida fijate que la mitad de ésta es el área de un cuarto del circulo menos el área de un triángulo rectángulo de catetos \( a/2 \):
Es decir:
\[ A_{comp} = 2\left(\frac{(a/2)^2 \pi}{4} - \frac{(a/2)^2}{2}\right) = \]
\[ =2\left(\frac{(a/2)^2 \pi}{4} - \frac{2(a/2)^2}{4}\right) = \]
\[ = \frac{(a/2)^2 (\pi - 2)}{2} = \frac{a^2(\pi - 2)}{8} \]
Si ahora restas esta área a la que calculaste obtienes el resultado del libro:
\[ A_{somb} = \frac{a^2 \pi}{4} - \frac{a^2(\pi - 2)}{8} = \displaystyle\frac{2a^2\pi -a^2\pi + 2a^2}{8} \]
\[ = \displaystyle\frac{a^2\pi + 2a^2}{8} = \displaystyle\frac{a^2(\pi + 2)}{8} \]
Se adelantó Luis.
Otra forma más sencilla es simplemente sumando el área de dos cuartos de círculo (un semicirculo) al área del cuadrado de lados \( a/2 \), es decir:
\[ A_{somb} = \frac{a^2 \pi}{8} + (a/2)^2 = \displaystyle\frac{a^2\pi + 2a^2}{8} = \displaystyle\frac{a^2(\pi + 2)}{8} \]Saludos.