Hola, muy buenas a todos. Les saludo esperando se encuentren bien. Por favor, podrían ayudarme a revisar si mis desarrollos (o ideas) están bien en los ejercicios que plantearé abajo. Además necesito ayuda con uno de ellos que no se me ocurre cómo hacerlo.
Pregunta 1:
Definiciones previas
Dado un grupo \( G \) y elementos \( x,y \in G \) se define el conmutador de \( x \) e \( y \) como el elemento \( [x, y] := xyx^{-1}y^{-1} \). Si \( H, K \leq{G} \), entonces se define el conmutador de \( H \) y \( K \) como \( [H, K] := 〈{[h, k] : h ∈ H, k ∈ K}〉 \). El conmutador de \( G \) se define como \( [G, G]. \)
i) Pruebe que \( Z(G) = \{x ∈ G | [x, g] = e, ∀g ∈ G\}. \)
ii) Si \( H ≤ G \) es tal que \( gHg^{-1} = H \) para todo \( g \in G \) y \( H \cap{[G, G]} = {e} \), entonces, \( Z(H) = Z(G) \cap{H} \)
Pregunta 2:
Considere el grupo de Heisenberg \( H(R) := \left\{\begin{pmatrix}
1 & a & c \\
0 & 1 & b \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} | a,b,c \in R\right\}
\) con R anillo conmutativo con unidad.
i) Calcule \( Z(H(R)) \)
ii) Demuestre que \( H(\mathbb{Z}) \) tiene dos generadores \( x = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\) e \( y= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Pruebe que \( s:= [x,y] \) conumuta con \( x \) y con \( y \). Pruebe que \( s \) es generador de \( Z(H(\mathbb{Z})) \)
iii) Encuentre y determine el orden del conmutador de \( H(\mathbb{F}_p) \), donde \( p \) es un número primo.
Pregunta 3
Considere \( H = D_{2024} \) y \( K = SL(4, \mathbb{F}_{13} \)). Encuentre explícitamente los elementos de \( Z(H \times{K}) \)
Mis desarrollos:
Pregunta1
i) Recordemos que \( Z(G) = \{x \in G | xg = gx, \forall g \in G\} \). Así, dado \( x \in G \) se tiene que \( xg = gx, \forall g \in G \) \( \Longleftrightarrow{xgx^{-1}g^{-1}=e} \) . Por tanto, se tiene que \( Z(G) = \{x \in G | [x,g]=e, \forall g \in G\} \)
ii) Claramente, por definición se tiene que \( Z(H)\subseteq{H} \). Probemos que \( Z(H)\subseteq{Z(G)} \). Sean \( h \in Z(H) \) y \( g \in G \) arbitrario y considere el elemento \( [h,g] \). Notemos que \( [h,g] = hgh^{-1}g^{-1}=h(gh^{-1}g^{-1}) \in H \), pues \( gHg^{-1} = H \) y \( H\leq{G} \). Además, es claro que \( [h,g] \in [G,G] \), por tanto, \( [h,g] \in H\cap{[G,G]}=\{e\} \). Por tanto, por el ejercicio anterior, se tiene que \( h \in Z(G) \). Así, concluimos que \( Z(H) \subseteq{Z(G)\cap{H}} \). Por otro lado, sea \( x \in Z(G) \cap{H} \) \( \Longleftrightarrow{x \in H\wedge x\in Z(G)} \)\( \Longrightarrow{x \in H\wedge x \in Z(H)} \) \( \Longleftrightarrow{x \in Z(H)\cap{H} = Z(H)} \). Concuimos que \( Z(H) = Z(G)\cap{H} \)
Pregunta 2:
i)Me da algo de pereza escribir todo el desarrollo, así que sólo diré cómo lo hice. Tomé una matriz arbitraria \( A= \begin{pmatrix}
1 & a & c \\
0 & 1 & b \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \) en \( Z(H(R)) \) y una matriz \( B = \begin{pmatrix}
1 & a' & c' \\
0 & 1 & b' \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \in H(R) \). Encontrando las inversas de las matrices y efectuando el producto llegué a la condición \( ab'=a'b \). Luego, \( a=b=0 \). Por tanto, \( A \) pertenece al generado por \( w= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \)
Luego, si tomamos un elemento en el generado por \( w \), es fácil ver que pertenecerá a \( Z(H(R)) \). Por tanto, \( Z(H(R)) = \left<{w}\right> \).
ii) Podemos notar que dada una matriz \( A\in H(\mathbb{Z}) \) se tiene que \( A= y^{b}x^{a}s^{c} \), para algunos \( a,b,c \in \mathbb{Z} \). Por tanto, \( H(\mathbb{Z})\subseteq{\left<{y,x,s}\right>\subseteq{\left<{y,x}\right>}} \), por la definición de \( s \), no??. La otra contención es clara y por ende se da la igualdad. Verificar la conmutatividad es sencillo y que \( w \) genere a \( Z(H(\mathbb{Z})) \) se deduce del ítem i) de esta pregunta.
iii) Este ítem es dónde no sé muy bien qué hacer, si me pudieran ayudar les agradecería. Tomé los conmutadores \( [a,b] \) en el conmutador de \( H(\mathbb{F}_p) \) y creo que debiesen tener orden p...por lo que por lagrange debiese ser un divisor de p el orden...pero no sé cómo relacionarlo.
Pregunta 3
Sabemos que \( Z(H \times K) = Z(H) \times Z(K) \). De ahí, (omitiré la deducción) tenemos que \( Z(D_{2024})=\{id,r^{1012}\} \) y \( Z(SL(4,\mathbb{F}_{13}))=\{\lambda I_n| \lambda\in \mathbb{F^{x}}_{13} \wedge \lambda⁴ = 1\} \). Por tanto, \( ord(\lambda)|4 \). De ahí, (a mano)...no sé si habrá otro modo más elegante, encontre que \( \lambda\in \{1,12,5,8\} \). Con eso podemos responder a la pregunta.
Saludos y desde ya muchas gracias
