Buenas a todos,
El enunuciado dice lo siguiente:
a) Mostrar que si \( A\in \mathbf{GL}_n(\mathbb{Z}) \) entonces el máximo común divisor de cada fila de \( A \) es \( 1 \), y lo mismo vale para cada columna de \( A \).
b) Probar que \( \mathbf{GL}_2(\mathbb{Z}) \) esta generado por los elementos:
\( \begin{pmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix} \)
Sugerencia: Recordar que multiplicar una matriz \( A \) por estos elementos equivale a hacer operaciones elementales en las filas o columnas de \( A \). Recordar también el algoritmo de Euclides.
Por las dudas recuerdo que \( \mathbf{GL}_n(\mathbb{Z}) \) son las matrices con coeficientes en \( \mathbb{Z} \) invertibles y cuya inversa también tiene coeficientes en \( \mathbb{Z} \). Ya hemos visto en clase que se tiene \( \mathbf{GL}_n(\mathbb{Z}) = \{A \in M_n(\mathbb{Z}) : \det(A)= \pm 1\} \).
Bien, creo que con el apartado
(a) no he tenido problemas, si escribimos la matriz \( A = (v_1 | \cdots | v_n) \) y escribimos \( v_j = (a_1,...,a_n) = \text{mcd}(a_1,...,a_n) (a_1',...,a_n') =: \text{mcd}(a_1,...,a_n) v_j' \) tenemos que:
\( \pm 1 = \det (A) = \det(v_1,...,v_j,...,v_n)= \det(v_1,...,\text{mcd}(a_1,...,a_n) v_j',...,v_n) = \text{mcd}(a_1,...,a_n) \det(v_1,...,v_j',...,v_n) \)
Pero este ultimo producto es de enteros, luego debe ser \( \text{mcd}(a_1,...,a_n)= \pm 1 \) y \( \det(v_1,...,v_j',...,v_n) = \pm 1 \). Análogamente se prueba para las filas de \( A \).
Ahora para el apartado
(b), no tengo muy fresco el algoritmo de Euclides, pero supongo que nos interesara su relación con el teorema de Bezout, es decir, que existe una combinación lineal de las entradas de una columna (o fila) de \( A \) tal que suma \( 1 \).
Pero no he logrado relacionar esto con las transformaciones elementales que me han dado, he visto que:
- La primer matriz equivale a sumar la segunda fila a la primera.
- La segunda matriz intercambia las filas.
- La tercer matriz cambia el signo de la primer fila.
(todo esto multiplicando por las matrices a izquierda)
¿Alguna idea para seguir?
Saludos,
Franco.