[zimbawe]

Hola a todos, estoy atascado en el siguiente problema.

Sea \(  k  \) un cuerpo y \(  k(x)  \) el cuerpo de funciones racionales sobre \(  k  \). Muestre que \(  k(x) \otimes_{k} k(x)  \) no es un cuerpo.

Mi idea es definir

\(  \phi: k(x) \otimes_{k} k(x) \to k(x)  \) mediante \(  \phi(f \otimes g)=fg  \) la cual no es inyectiva, el problema es verificar que en efecto esto es un homomorfismo.

Quedo atento, gracias.

[Carlos Ivorra]

No sé si tienes claro que \( \phi \) está bien definida y es una aplicación lineal de \( k \)-espacios vectoriales. Eso es porque la aplicación \( (f, g)\mapsto fg \) es bilineal y balanceada por lo que se extiende a una aplicación lineal sobre el producto tensorial.

Luego, supongo que la estructura de anillo que consideras en el producto tensorial es la determinada por \( (f\otimes g)\cdot (f'\otimes g') = ff'\otimes gg' \). Entonces sólo tienes que comprobar que \( \phi((f\otimes g)\cdot (f'\otimes g')) = \phi(f\otimes g)\phi(f'\otimes g') \), pero eso es inmediato, ya que ambos miembros son \( ff'gg' \). Por la linealidad de \( \phi \) de esta igualdad se sigue que \( \phi(\alpha\beta) = \phi(\alpha)\phi(\beta) \), para todos los elementos \( \alpha,\beta \) del producto tensorial (cada uno es suma finita de tensores puros \( f\otimes g \), y sólo tienes que aplicar que \( \phi \) conserva las sumas y los productos de tensores puros.)

[zimbawe]

Hola Carlos, mi pregunta en realidad es si hay que definir \(  \phi  \) en la suma de forma natural. Esto es,

\(  \phi((f \otimes g)+(f^{\prime}+g^{\prime}))=fg+f^{\prime}g^{\prime})?  \)

Esa es mi verdadera pregunta.

[Carlos Ivorra]

Hola Carlos, mi pregunta en realidad es si hay que definir \(  \phi  \) en la suma de forma natural. Esto es,

\(  \phi((f \otimes g)+(f^{\prime}\otimes g^{\prime}))=fg+f^{\prime}g^{\prime})?  \)

Esa es mi verdadera pregunta.

No sé con qué definiciones concretas estás trabajando, pero he dado por supuesto que conoces uno de los teoremas básicos sobre productos tensoriales. Aquí la tienes enunciada para espacios vectoriales, aunque vale mas en general para módulos.

En tu caso, como la aplicación \( k(x)\times k(x)\longrightarrow k(x) \) dada por \( (f, g)\mapsto fg \) es bilineal, tienes que induce una única aplicación lineal \( \phi: k(x)\otimes_k k(x)\longrightarrow k(x) \), que es tu aplicación \( \phi \) y, en efecto, al ser lineal, cumple lo que dices.

[zimbawe]

Muchísimas gracias Carlos.