Hola estimados foristas acá con un problema al que no llego a la respuesta, esperando sus luces y sugerencias, lo enuncio.
X es una variable aleatoria uniforme en \( (0, \gamma) \), \( X_1,X_2,...,X_n \) es una muestra aleatoria de X. Determinar el estimador por el método de momentos \( \tilde{\gamma} \) y su esperanza \( E(\tilde{\gamma}) \) y varianza \( \sigma_{\tilde{\gamma}}^2=Var(\tilde{\gamma}) \)
SOLUCIÓN
El primer momento de X es igual a la esperanza del momento muestral de orden 1
\( E(X)=E(M_1)\Rightarrow{\displaystyle\frac{\gamma}{2}=E(\bar{X})} \)
En el método para la estimación, la esperanza muestral, se considera lo observado en consecuencia \( \displaystyle\frac{\tilde{\gamma}}{2}=\bar{X}\Rightarrow{\tilde{\gamma}=2\bar{X}} \)
Es evidente que el estimador es una estadística depende de la muestra y también tiene una media y una varianza.
\( E(\tilde{\gamma})=E(2\bar{X})=2E(\bar{X})=2(\displaystyle\frac{\gamma}{2})=\gamma \)
\( Var(\tilde{\gamma})=E(\tilde{\gamma}^2)-E^2(\tilde{\gamma})=E(\tilde{\gamma}^2)-\gamma^2 \) Ec 1
\( E(\tilde{\gamma}^2)=E((2\bar{X})^2)=E(4\vec{X}^2)=4E(\bar{X}^2) \)
En este punto se hace uso de un teorema ya demostrado :
\( Var(M_k)=\displaystyle\frac{1}{n}(m_{2k}-m_k^2) \) Donde M son los momentos muestrales y m los momentos de la variable
\( Var(\bar{X})=\displaystyle\frac{1}{n}(m_2-m_1^2)=\displaystyle\frac{1}{n}(E(X^2)-E^2(X))=\displaystyle\frac{\sigma_X^2}{n}=\displaystyle\frac{\gamma^2}{12n} \) Conocida la fórmula de la varianza de una variable uniforme
\( Var(\bar{X})=E(\bar{X}^2)-E^2(\bar{X})=\displaystyle\frac{\gamma^2}{12n}\Rightarrow{E(\bar{X}^2)=\displaystyle\frac{\gamma^2}{12n}+(\displaystyle\frac{\gamma}{2})^2} \)
Luego en la Ec 1 se tiene :
\( Var(\tilde{\gamma})=4(\displaystyle\frac{\gamma^2}{12n}+(\displaystyle\frac{\gamma}{2})^2)-\gamma^2=\displaystyle\frac{\gamma^2}{3n} \)
La cual no coincide con la respuesta del libro ponen \( \displaystyle\frac{\gamma^2}{12n} \)
Gracias de antemano, atento a sus sugerencias.
Saludos
