[alucard]

Hola tengo el siguiente enunciado
Dados los polinomios  \( P(x)=(4a+b)x^2+5x+3 \) , \( Q(x)=(x-3)(2x+1) \) y \( R(x)=(a-b)x^3+cx+1 \) determinar a,b,c para que los polinomios P y Q sean opuestos, R tenga como raíz a \( x=1 \) y R sea divisible por el polinomio \( t(x)=2x-4 \)

Por teoría se que \( P(x)=C(x)Q(x)+R(x) \)

Intente hacerlo por sistemas de ecuaciones, pero tengo dudas del valor de \( C(x) \) que en mi sistema no aparece , hice lo siguiente

\( R(1)=0=a+b+c-1\\ R(2)=0=8a-8b+2c-1 \)

luego para que P sea opuesto a Q, solo considere \( P(x)=-Q(x)\rightarrow{}(4a+b)x^2+5x+3=-(x-3)(2x+1)=-2x^2+5x+3 \) de donde

\( 4a+b=-2 \)

3 ecuaciones con 3 incognitas , pero no sé si lo pensé bien , dado que tengo la duda sobre \( C(x) \)
Dudas:
Duda 1: Para que sean opuestos P y Q solo tengo que poner \( P(x)=-Q(x)C(x)+R(x) \) o ¿ese signo negativo multiplica a Q C y R?
Duda 2: \( C(x) \) no me lo dan en el problema  tengo que asumir que es una constante para que no me cambie el grado de P ¿correcto? el problema es que valor es esa constante 
Duda 3: Si  R es divisible por \( t(x) \) entonces , por el teorema del resto  R(2)=0 , esta bien? o necesariamente t(x) debe ser de la forma  \( t(x)=x\pm{a} \)
Duda 4: hay otra manera de encarar el problema sin sistemas de ecuaciones ?

[Masacroso]

Hola tengo el siguiente enunciado
Dados los polinomios  \( P(x)=(4a+b)x^2+5x+3 \) , \( Q(x)=(x-3)(2x+1) \) y \( R(x)=(a-b)x^3+cx+1 \) determinar a,b,c para que los polinomios P y Q sean opuestos, R tenga como raíz a \( x=1 \) y R sea divisible por el polinomio \( t(x)=2x-4 \)

Por teoría se que \( P(x)=C(x)Q(x)+R(x) \)

Intente hacerlo por sistemas de ecuaciones, pero tengo dudas del valor de \( C(x) \) que en mi sistema no aparece , hice lo siguiente

\( R(1)=0=a+b+c-1\\ R(2)=0=8a-8b+2c-1 \)

luego para que P sea opuesto a Q, solo considere \( P(x)=-Q(x)\rightarrow{}(4a+b)x^2+5x+3=-(x-3)(2x+1)=-2x^2+5x+3 \) de donde

\( 4a+b=-2 \)

3 ecuaciones con 3 incognitas , pero no sé si lo pensé bien

El desarrollo está bien excepto en la ecuación \( P(x)=C(x)Q(x)+R(x) \) que no sé por qué la has escrito ni a qué teoría te refieres. Te piden hallar \( P(x) \), \( Q(x) \) y \( R(x) \) y te dan unas condiciones a cumplir, las cuales equivalen a resolver un sistema de ecuaciones lineales. Resuélvelo, halla los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) y ya, no hace falta hacer nada más. ¿O es que el enunciado del ejercicio está incompleto?

[alucard]

El desarrollo está bien excepto en la ecuación \( P(x)=C(x)Q(x)+R(x) \) que no sé por qué la has escrito ni a qué teoría te refieres. Te piden hallar \( P(x) \), \( Q(x) \) y \( R(x) \) y te dan unas condiciones a cumplir, las cuales equivalen a resolver un sistema de ecuaciones lineales. Resuélvelo, halla los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) y ya, no hace falta hacer nada más. ¿O es que el enunciado del ejercicio está incompleto?

Tengo entendido que cuando se dividen polinomios se puede expresar de esta manera \( P(x)=C(x)Q(x)+R(x) \) eso esta mal??

[Masacroso]

Tengo entendido que cuando se dividen polinomios se puede expresar de esta manera \( P(x)=C(x)Q(x)+R(x) \) eso esta mal??

No es que esté mal en sí, sino que no sé por qué escribes eso, no veo relación a una ecuación así con el ejercicio.

[alucard]

Gracias ya lo entendí