[serviraalgunnombre]

Me encuentro con el siguiente problema y no se como enfocarlo, alguien puede ayudarme??

Sea $$\sigma_N = \frac{S_1+···+S_N}{N}$$ las sumas parciales ponderadas de la serie de fourier

1. Comprobar que $$\sigma_N(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{N-1}(1-\frac{k}{N})(a_kcos(kt)+b_ksin(kt)$$

2. Probar que $$\int_{-\pi}^{\pi} |\sigma_nf-f|^2 = \int_{-\pi}^{\pi} |f|^2  - \pi\left[\frac{a_{0}^2}{2}+\sum_{k=1}^{N-1}(a_{k}^2+b_{k}^2)\right]+\frac{\pi}{N^2}\sum_{k=1}^{N-1}k^2(a_{k}^2+b_{k}^2)$$

3. Deducir que si $$f$$ es cuadrado integrable se tiene $$\lim_{N \to \infty}\frac{1}{N^2}\sum_{k=1}^{N-1}k^2(a_{k}^2+b_{k}^2)=0$$

[ani_pascual]

Hola:

Me encuentro con el siguiente problema y no se como enfocarlo, alguien puede ayudarme??
...

Quizás esté equivocado, pero respecto al punto 1. ¿no sería \( \sigma_N=\dfrac{S_0+\cdots S_{N-1}}{N} \)? donde es \( S_j=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^j(a_k\cos (kt)+b_k\sen (kt)) \) con \( 0\leq j\leq (N-1) \)?
De este modo, \( \sigma_N(t)=\dfrac{1}{N}\left[\dfrac{a_0}{2}+\left(\dfrac{a_0}{2}+a_1\cos t+b_1\sen t\right)+\left(\dfrac{a_0}{2}+a_1\cos t+b_1\sen t+a_2\cos (2t)+b_2\sen (2t)\right)+\cdots +\\\left(\dfrac{a_0}{2}+a_1\cos t+b_1\sen t+a_2\cos (2t)+b_2\sen (2t)+\cdots +a_{N-1}\cos (N-1)t+b_{N-1}\sen(N-1)t\right)\right]=\\\dfrac{1}{N}\left[N\dfrac{a_0}{2}+(N-1)(a_1\cos t+b_1\sen t)+(N-2)(a_2\cos(2t)+b_2\sen(2t))+\cdots +(a_{N-1}\cos(N-1)t+b_{N-1}\sen(N-1)t)\right]=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{N-1}\left(1-\dfrac{k}{N}\right)(a_k\cos(kt)+b_k\sen(kt)) \)
Añadido:
Bueno, veo que también puede interpretarse \( S_j=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{j-1}(a_k\cos(kt)+b_k\sen(kt)) \) para \( 1\leq j\leq N \), en cuyo caso la expresión dada, \( \sigma_N(t)=\dfrac{S_1+\cdots +S_N}{N} \) sería correcta.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Revisa el enunciado:

2. Probar que $$\color{red}\int_{-\pi}^{\pi} |\sigma_nf-f|^2\color{black} = \int_{-\pi}^{\pi} |f|^2  - \pi\left[\frac{a_{0}^2}{2}+\sum_{k=1}^{N-1}(a_{k}^2+b_{k}^2)\right]+\frac{\pi}{N^2}\sum_{k=1}^{N-1}k^2(a_{k}^2+b_{k}^2)$$

Debe de ser creo:

\( \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} |\sigma_n-f|^2 \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Revisa el enunciado:

2. Probar que $$\color{red}\int_{-\pi}^{\pi} |\sigma_nf-f|^2\color{black} = \int_{-\pi}^{\pi} |f|^2  - \pi\left[\frac{a_{0}^2}{2}+\sum_{k=1}^{N-1}(a_{k}^2+b_{k}^2)\right]+\frac{\pi}{N^2}\sum_{k=1}^{N-1}k^2(a_{k}^2+b_{k}^2)$$

Debe de ser creo:

\( \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} |\sigma_n-f|^2 \)

Después ten en cuenta que:

\( 2\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sigma_nf=2\pi\left(\dfrac{a_0^2}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{}\left(1-\dfrac{k}{N}\right)(a_k^2+b_k^2)\right) \)

Y dado que \( \{1,sin(nx),cos(nx)\} \) es un sistema ortogonal:

\( \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sigma_n^2=\pi\left(\dfrac{a_0^2}{2}+\left(1-\dfrac{k}{N}\right)^2(a_k^2+b_k)^2\right) \)

Y nota que:

\( \left(1-\dfrac{k}{N}\right)^2-2\left(1-\dfrac{k}{N}\right)=\dfrac{k^2}{N^2}-1 \)

Saludos.