[ani_pascual]

Hola:

Pero usas que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|a|^n}{n!} = L \) vamos usas que tiene límite.

Tienes razón; ese procedimeinto solo sirve para deducir que en caso de existir el límite tendría que ser cero.

Pero en esta respuesta tenías resuelto el límite.

Spoiler

Ha sido un lapsus. No sirve en este caso 
\( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|^{n+1}n!}{(n+1)!|a|^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a|}{n+1}=0 \) 

[cerrar]

No entiendo bien el porqué. Creo que ese es el criterio del cociente para probar si una serie es convergente. En este caso lo es y, por tanto, el término general de la serie converge a cero. Pero, según zorropardo aún no han estudiado las series.
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Pero antes que las series se usa ese criterio.
Si \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) es de términos positivos y a partir de un \( n_0 \) tenemos que \( \dfrac{x_{n+1}}{x_n} < c < 1 \) entonces la sucesión converge a cero.

[ani_pascual]

Hola:

Hola, la parte de series  todavia es abordada en los proximos capitulos. Por otro lado si es $$|a|>1.$$

Aunque aún no hayas estudiado las series, es un resultado elemental que una condición necesaria para que una serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\alpha<\infty \), es decir, sea convergente, es que \( \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0 \).
Ten en cuenta que \( a_n=S_n-S_{n-1}=(a_1+a_2+\cdots +a_n)-(a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}) \) y, por tanto, \( \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}S_n-S_{n-1}=\lim\limits_{n\to\infty}S_n-\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1}=\alpha-\alpha=0 \)
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Pero antes que las series se usa ese criterio.
Si \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) es de términos positivos y a partir de un \( n_0 \) tenemos que \( \dfrac{x_{n+1}}{x_n} < c < 1 \) entonces la sucesión converge a cero.

Pues lo tenía olvidado; gracias por recordármelo. 
Saludos

[ancape]

Hola

Presento esta otra forma de calcular el límite pues usa la fórmula de Stirling \( log(n!)\approx{n·log(n)-n} \) muy útil cuando queramos hacer desaparecer el factorial de un número grande como ocurre muy a menudo en mecánica estadística.

Tomado logaritmos, debemos calcular \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{n·log(a)-(n·log(n)-n)} \)

Saludos

[zorropardo]

Gracias por las respuestas.