[zorropardo]

Si $$X;Y \subset{ \mathbb{R}^{+}}$$ limitados inferiormente. Probar: $$\inf(XY)=\inf(X)\inf(Y)$$

Hice lo siguiente:

i) Por definicion de infimo de un conjunto tenemos: $$0< \inf(X) \leq{ x } ; \forall x \in X \quad $$ y $$ \quad 0< \inf(Y) \leq{ y } ; \forall y \in Y.$$
Entonces $$\inf(X) \inf(Y) \leq{ xy } ; \forall  x\in X, y \in Y. $$
  Asi el numero $$\inf(X) \inf(Y)  $$ es cota inferior del conjunto $$XY.$$ Por definicion de infimo del conjunto $$XY$$ tenemos : $$\inf(XY) \geq{ \inf(X) \inf(Y) } .......(1)$$

ii) Por otro lado, por definicion de infimo del conjunto $$XY $$ tenemos $$\inf(XY) \leq{ z} ; \forall z \in XY.$$
 Como $$z \in XY \Rightarrow{  z=xy ; x \in X , y \in Y }.$$ Luego   $$\inf(XY)  \leq{ xy}  \quad \forall  x \in X , y \in Y.$$ Ahora fijando $$y \in Y$$ tenemos $$ \inf(XY)  \leq{ xy} ; \quad \forall  x \in X  \Rightarrow{   \frac{\inf(XY)}{y}  \leq{  x }  }; \forall x \in X.$$

 Como el numero $$ \frac{\inf(XY)}{y} $$  es cota inferior del  del conjunto $$X \Rightarrow{   \inf(X) \geq{   \frac{\inf(XY)}{y}     }   }$$ osea

$$ y \geq{  \frac{  \inf(XY) }{ \inf(X) } }; \quad \forall y \in Y.$$ Como el numero $$\frac{  \inf(XY) }{ \inf(X) } $$ es cota inferior del conjunto $$Y$$ tenemos que $$\inf(Y) \geq{   \frac{  \inf(XY) }{ \inf(X) } }  \Rightarrow{   \inf(X) \inf(Y)  \geq{ \inf(XY)  } }........(2)$$

Por tanto de (1) y (2)  $$\inf(XY)=\inf(X)\inf(Y).$$

Esta bien mi razonamiendo, para la prueba

[delmar]

Hola

Lo veo bien. Felicitaciones.

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
Esta bien mi razonamiendo, para la prueba

Sin pretender decir que está mal  , a mi entender, si \( X,Y\subset \mathbb{R}^{+} \) solo se  puede garantizar que \( 0\leq \inf\{X\} \) y que  \( 0\leq \inf\{Y\} \); por tanto, \( \forall\,x\in X \) es \( 0\leq \inf\{X\}\leq x,\,\, \) y \( \,\forall\,y\in Y \) es \( 0\leq \inf\{Y\}\leq y \) de donde, dados \( x\in X,y\in Y \) arbitrarios se cumple \( 0\leq \inf\{X\}\inf\{Y\}\leq xy \) con lo cual, \( 0\leq \inf\{X\}\inf\{Y\}\leq \inf\{XY\} \). Para la otra desigualdad, creo que has complicado un poco la demostración; me parece que basta con aplicar que, dados \( x\in X,y\in Y \) arbitrarios, se cumple que \( \inf\{XY\}\leq xy\leq\inf\{X\}\inf\{Y\} \); en definitiva, \( 0\leq \inf\{X\}\inf\{Y\}=\inf\{XY\} \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Sin pretender decir que está mal  , a mi entender, si \( X,Y\subset \mathbb{R}^{+} \) solo se  puede garantizar que \( 0\leq \inf\{X\} \) y que  \( 0\leq \inf\{Y\} \); por tanto, \( \forall\,x\in X \) es \( 0\leq \inf\{X\}\leq x,\,\, \) y \( \,\forall\,y\in Y \) es \( 0\leq \inf\{Y\}\leq y \) de donde, dados \( x\in X,y\in Y \) arbitrarios se cumple \( 0\leq \inf\{X\}\inf\{Y\}\leq xy \) con lo cual, \( 0\leq \inf\{X\}\inf\{Y\}\leq \inf\{XY\} \).

De acuerdo en que los ínfimos podrían ser CERO y es el detalle que le falta a la demostración de zorropardo, pero:

Para la otra desigualdad, creo que has complicado un poco la demostración; me parece que basta con aplicar que, dados \( x\in X,y\in Y \) arbitrarios, se cumple que \( \inf\{XY\}\leq \color{red}xy\leq\inf\{X\}\inf\{Y\}\color{black} \); en definitiva, \( 0\leq \inf\{X\}\inf\{Y\}=\inf\{XY\} \)

La desigualdad en rojo no está bien; sería de al revés en todo caso.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

La desigualdad en rojo no está bien; sería de al revés en todo caso.

Gracias por indicar la errata; ha sido un lapsus  ;quería decir que \( \forall\,x\in X,\forall\,y\in Y,\,\, 0\leq \inf\{XY\}\leq xy\Longrightarrow 0\leq \inf\{XY\}\leq \inf\{X\}\inf\{Y\} \)
Saludos

[delmar]

Hola

Hola

Sin pretender decir que está mal  , a mi entender, si \( X,Y\subset \mathbb{R}^{+} \) solo se  puede garantizar que \( 0\leq \inf\{X\} \) y que  \( 0\leq \inf\{Y\} \); por tanto, \( \forall\,x\in X \) es \( 0\leq \inf\{X\}\leq x,\,\, \) y \( \,\forall\,y\in Y \) es \( 0\leq \inf\{Y\}\leq y \) de donde, dados \( x\in X,y\in Y \) arbitrarios se cumple \( 0\leq \inf\{X\}\inf\{Y\}\leq xy \) con lo cual, \( 0\leq \inf\{X\}\inf\{Y\}\leq \inf\{XY\} \).

De acuerdo en que los ínfimos podrían ser CERO y es el detalle que le falta a la demostración de zorropardo, pero:

De acuerdo no consideré esa situación, cuando alguno de los ínfimos es CERO, realmente me agradan y aliento las demostraciones originales, una forma de abordar esta situación, rescatando las ideas de zorropardo es :

Partiendo de \( inf (X)\geq{\displaystyle\frac{inf(XY)}{y}}, \ \forall{y}\in{Y} \) de manera semejante se puede obtener \( inf (Y)\geq{\displaystyle\frac{inf(XY)}{x}}, \ \forall{x}\in{X} \) multiplicando ambas inecuaciones se llega a :

\( inf(X) \ inf(Y)\geq{\displaystyle\frac{inf(XY)^2}{xy}}, \ \forall{x}\in{X}\wedge \forall{y}\in{Y} \), si alguno de los ínfimos es CERO, se implica que \( inf(XY)=0=inf(X) \ inf(Y) \) lo que se quer.ia demostrar. La parte más dificultosa, cuando ninguno de los ínfimos es CERO, ya se ha demostrado, con lo cual queda completa la demostración.


Saludos

[ani_pascual]

Hola:
Otra forma de demostrar la segunda desigualdad...
Dado \( x\in X \) se verifica que \( 0\leq\inf\{XY\}\leq xy,\,\forall\,y\in Y,\,\Longleftrightarrow 0\leq \dfrac{\inf\{XY\}}{x}\leq y,\,\,\forall\,y\in Y \), luego \( 0\leq\dfrac{\inf\{XY\}}{x}\leq \inf\{Y\}\Longleftrightarrow 0\leq \inf\{XY\}\leq x\inf\{Y\} \). Así pues, si es \( \inf\{Y\}=0 \) entonces \( 0\leq \inf\{XY\}\leq 0 \), de donde \( \inf\{XY\}=0=\inf\{X\}\inf\{Y\} \). Y si es \( \inf\{Y\}>0 \) entonces \( 0\leq \dfrac{\inf\{XY\}}{\inf\{Y\}}\leq x \) lo cual implica que \( 0\leq \dfrac{\inf\{XY\}}{\inf\{Y\}}\leq \inf\{X\} \), ya que \( x\in X \) era arbitrario, con lo cual \( 0\leq \inf\{XY\}\leq \inf\{X\}\inf\{Y\} \).
Que es lo que hizo zorropardo, salvo que no tuvo en cuenta el caso de que uno de los ínfimos fuera cero.
Saludos

[zorropardo]

Gracias muchachos, por los comentarios y sugerencias,