Hola
Si consideramos la función \( f(x)=n\pi\cdot sin(x)-x \) con \( x\geq 0 \) tenemos en cuenta lo siguiente.
1) Las posibles raíces están en el intervalo \( [0,n\pi] \).
Efectivamente, si \( x>n\pi \) entonces \( f(x)<n\pi sin(x)-n\pi=n\pi(sin(x)-1)\leq 0 \).
2) En cada intervalo \( [2k\pi,2k\pi+\pi] \) con \( k\geq 0 \) y \( 2k+1\leq n \) hay exactamente dos raíces.
Efectivamente:
2.1) Se tiene que
\( f(2k\pi)=-2k\pi\leq 0 \), \( f(2k\pi+\pi/2)=\pi(n-2k-1/2)> 0 \), \( f((2k+1)\pi)=-(2k+1)\pi<0 \) y por tanto por el Teorema de Bolzano hay al menos una raíz en primera mitad del intervalo y otra en la segunda.
2.2) \( f''(x)=-n\pi\sin(x)<0 \) en \( (2k\pi,2k\pi+1) \), por tanto la función es cóncava y a lo sumo tiene dos raíces en el intervalo \( [2k\pi,2k\pi+\pi] \) .
3) En cada intervalo \( [(2k+1)\pi,(2k+2)\pi] \) no hay raíces. Basta tener en cuenta que en esos intervalos el seno es no positivo:
\( f(x)=n\pi\cdot sin(x)-x\leq -x<0 \)
4) Entonces el número de soluciones es el doble del número de valores enteros \( k\geq 0 \) tales que \( 2k+1\leq n \).
4.1) Si \( n=2m \) par entonces \( 2k+1\leq 2m \) equivale a \( k< m \) y así hay \( m \) valores de \( k \), es decir, \( 2m=n \) soluciones.
4.2) Si \( n=2m+1 \) impar entonces \( 2k+1\leq 2m+1 \) equivale a \( k\leq m \) y así hay \( m+1 \) valores de \( k \), es decir, \( 2m+2=n+1 \) soluciones.
Saludos,
