[FedeFrontera]

Buenos días, espero que se ecuentren bien, les traigo un problema solicitando ayuda, no logro encontrar una expresión para a y para b en función de c que no dependan simultáneamente.

Sean tres naturales \( a,b \) y \( c \) que verifican que:

\( a>b \)

\( 4c \) es divisor de \( mcd(a,b) \)

\( a^2+b^2=832\cdot c^2 \)

a) Hallar \( a \) y \( b \) en función de \( c \)
b) Sabiendo que el \( mcm(a,b) \) es \( 3456 \), hallar \( a \) y \( b \).

Desde ya muchas gracias.
Buena jornada.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días, espero que se ecuentren bien, les traigo un problema solicitando ayuda, no logro encontrar una expresión para a y para b en función de c que no dependan simultáneamente.

Sean tres naturales \( a,b \) y \( c \) que verifican que:

\( a>b \)

\( 4c \) es divisor de \( mcd(a,b) \)

\( a^2+b^2=832\cdot c^2 \)

a) Hallar \( a \) y \( b \) en función de \( c \)

Si \( 4c \) es divisor de \( d=mcd(a,b) \), entonces \( d=4ck \) y \( a=4cka',\,b=4ckb' \) con \( mcd(a',b')=1 \).

Entonces:

\( a^2+b^2=832\cdot c^2\quad \Rightarrow{}\quad (4ck)^2(a'^2+b'^2)=832c^2 \)

\( (ka')^2+(kb'^2)=2^2\cdot 13 \)

La única forma de descomponer \( 2^2\cdot 13 \) en suma de dos cuadrados de naturales el primero mayor que otro es \( 6^2+4^2=2^2\cdot 13 \).

De donde \( k=2 \), \( a'=3 \), \( b'=2 \). Es decir:

\( a=4cka'=24c \)
\( b=4ckb'=16c \)

b) Sabiendo que el \( mcm(a,b) \) es \( 3456 \), hallar \( a \) y \( b \).

Con la notación anterior ten en cuenta que:

\( mcm(a,b)=a'b'd \)

Termina...

Saludos.

[FedeFrontera]

Muchas gracias!