[alfe]

Demuestre que el numero \( a_{n} \)=\( 3^{2n+2} \)+\( 2^{6n+1} \) es divisible por 11 para todo entero no negativo de n.

Espero que algun compañero me lo pueda resolver

[martiniano]

Hola.

Por inducción parece que sale. En el paso inductivo utiliza que:

\( 3^{2(n+1)+2}+2^{6(n+1)+1}=9\cdot{}3^{2n+2}+64\cdot{}2^{6n+1}= \)
\[ 9\cdot{}(3^{2n+2}+2^{6n+1}-2^{6n+1})+64\cdot{}2^{6n+1}=
 \]
\[ 9\cdot{}(3^{2n+2}+2^{6n+1})+55\cdot{2^{6n+1}}
 \]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Demuestre que el numero \( a_{n} \)=\( 3^{2n+2} \)+\( 2^{6n+1} \) es divisible por 11 para todo entero no negativo de n.

Espero que algun compañero me lo pueda resolver

También, trabajando módulo \( 11 \):

\( 3^{2n+2}\equiv9^{n+1}\equiv(-2)^{n+1} \)
\( 2^{6n+1}\equiv2\cdot 64^n\equiv2\cdot (-2)^n \)

Sumando:

\( (-2)^{n+1}+2\cdot (-2)^n\equiv((-2)+2)\cdot (-2)^n\equiv 0 \)

Saludos.