Hola
Se ha aproximado la integral \( I=\int_0^2 f(x)\, dx \) con un método M de convergencia cuadrática, y se ha obtenido un error igual a \( E_1=0,799 \). También se ha aproximado la misma integral con el método Simpson con \( n=2 \) intervalos y el error obtenido es de \( E_S=0,395 \). Quiero calcular el error que obtendríamos en aplicar el método Simpson con un intervalo más, es decir, \( E_S(n=3) \). He intentado lo siguiente:
\( E_S(n=3)=-\dfrac{f^{iv)}(\xi)}{2880}(b-a)h^4=-\dfrac{f^{iv)}(\xi)}{2880}(b-a)\dfrac{(b-a)^4}{n^4}=\underbrace{-\dfrac{f^{iv)}(\xi)}{2880}(b-a)\dfrac{(b-a)^4}{2^4}}_{E_S(n=2)}\cdot \dfrac{2^4}{n^4} \)
\( =0,395\cdot \dfrac{2^4}{3^4}=\dfrac{158}{2025}\approx 0,0780 \)
Pero en la solución pone que tiene que salir \( 0,064 \), pero no sé como lo tengo que hacer.
Hay algo que me resulta extraño en el enunciado y su interpretación.
Un método númérico para aproximar una integral utiliza el valor de la función en unos cuantos nodos. Las cotas de error se basan en acotar una cierta derivada de la función y así controlar cuanto se aleja la función en otros puntos del valor en los nodos.
Pero no hay que confundir el error que predice una cota de error, con el error real obtenido.
La cota de error que predice una fórmula podría ser muy mala, pero el error real podría ser muy bajo. Entonces cuando dice que "hemos obtenido" tal error, no me queda claro si se refiere al error exacto (valor aproximado menos valor real) o al error estimado con una determinada acotación del mismo.
En el primer caso, si es el error exacto, no vamos a poder predecir en ningún caso el error con otro método; pudiera ser que la función estuviese muy mal condicionada para ser integrada numéricamente (muy oscilante) pero de casualidad en los nodos de un método concreto, éste funcione muy bien para aproximar la integral. Al cambiar de nodos, la aproximación podría pasar a ser desastrosa.
En el segundo caso, si lo que nos dan son cotas del error estimadas a priori, habría que saber exactamente cuáles son esas expresiones y cómo han sido acotadas, para poder saber la información exacta que nos dan.
Saludos.
