Autor Tema: Cálculo del número e con una calculadora científica

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19 Julio, 2021, 09:52 am
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Marcos Castillo

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Hola, tengo un texto del libro "Cálculo", de Robert A. Adams, Capítulo 3, "Funciones transcendentes", y una duda. Primero cito, y luego la duda:

Citar
En el caso de \( x=1 \) la fórmula dada en el Teorema 6 toma la siguiente forma:

\( e=\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\left({1+\dfrac{1}{n}}\right)^n} \)

Podemos utilizar esta fórmula para calcular aproximaciones a \( e \), como se muestra en la Tabla 2. Al obtener los números de esta tabla hemos hecho trampa en cierto sentido. Se obtuvieron utilizando la función \( y^x \) en una calculadora científica. Sin embargo, esta función se calcula realmente como \( e^{x\ln y} \).

(...)



Duda: la calculadora científica que yo tengo, Casio fx-82MS, no tiene la función \( y^x \). Es una curiosidad: ¿lo que quiere decir el texto es que cuando se emplea \( y^x \), la calculadora efectúa el cálculo \( e^{x\ln y} \)?

Un saludo
No man is an island (John Donne)

19 Julio, 2021, 10:43 am
Respuesta #1

feriva

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Hola, tengo un texto del libro "Cálculo", de Robert A. Adams, Capítulo 3, "Funciones transcendentes", y una duda. Primero cito, y luego la duda:

Citar
En el caso de \( x=1 \) la fórmula dada en el Teorema 6 toma la siguiente forma:

\( e=\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\left({1+\dfrac{1}{n}}\right)^n} \)

Podemos utilizar esta fórmula para calcular aproximaciones a \( e \), como se muestra en la Tabla 2. Al obtener los números de esta tabla hemos hecho trampa en cierto sentido. Se obtuvieron utilizando la función \( y^x \) en una calculadora científica. Sin embargo, esta función se calcula realmente como \( e^{x\ln y} \).

(...)



Duda: la calculadora científica que yo tengo, Casio fx-82MS, no tiene la función \( y^x \). Es una curiosidad: ¿lo que quiere decir el texto es que cuando se emplea \( y^x \), la calculadora efectúa el cálculo \( e^{x\ln y} \)?

Un saludo

Hola, Marcos.

Quiere decir que dando valores a "n" cada vez más grandes y haciendo esa cuenta (con calculadora o a mano) te aproximas al valor de "e" cada vez más; pero que ellos, en vez de usar esa cuenta dando valores a "n", han usado la función que dicen.

Ah, que debe de ser sobre cómo opera la calculadora; pues ni idea.

Matemáticamente es lo mismo


Supongo que buscamos que ocurra \( e^{xlog(y)}\approx e
  \) (mediante aproximaciones) entonces hllando logartimos a los dos lados \( x\cdot log(y)\cdot log(e)\approx log(e)
  \), o sea \( log(y)\approx\dfrac{1}{x}
  \), que implica \( e^{1/x}\approx y\Rightarrow e\approx y^{x}
  \).


Saludos.

19 Julio, 2021, 12:23 pm
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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La función de la calculadora es \( x^{\blacksquare} \).
Editado
Jusatamente dice eso y lo puede ver en la calculadora, la calculadora interpreta \( y^x = e^{x \cdot \log(y)}  \).
Supón \( x = e  \) e \( y=\sqrt{2} \) entonces haces \( \color{red}e\color{black} \cdot \log(\sqrt{2})  \) en la calculadora, llamas a la función \( e^x \) y le pones este resultado.
Directamente con la función \( x^{\blacksquare} \) escribes \( (\sqrt{2}) \) luego aprietas la función en la calculadora y luego pones el numero \( e \) elevado a uno.

Editado

No está pidiendo \( e^{x \cdot \log(y) } = e  \) está usando que por definición \( y^x = e^{x \cdot \log(y)}  \).

19 Julio, 2021, 02:13 pm
Respuesta #3

Abdulai

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...
Duda: la calculadora científica que yo tengo, Casio fx-82MS, no tiene la función \( y^x \).
Si tiene, la tecla tiene escrito ^

Citar
Es una curiosidad: ¿lo que quiere decir el texto es que cuando se emplea \( y^x \), la calculadora efectúa el cálculo \( e^{x\ln y} \)?
Sí,  aunque con x entero te analizan el signo de y y te puede devolver valores negativos, pero no sé si todas las calculadoras.

19 Julio, 2021, 05:25 pm
Respuesta #4

Marcos Castillo

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Jusatamente dice eso y lo puede ver en la calculadora, la calculadora interpreta \( y^x = e^{x \cdot \log(y)}  \).
Supón \( x = e  \) e \( y=\sqrt{2} \) entonces haces \( \color{red}e\color{black} \cdot \log(\sqrt{2})  \) en la calculadora, llamas a la función \( e^x \) y le pones este resultado.
Directamente con la función \( x^{\blacksquare} \) escribes \( (\sqrt{2}) \) luego aprietas la función en la calculadora y luego pones el numero \( e \) elevado a uno.


Hola, Juan Pablo Sancho, Rincón.

Supongo \( x = e  \) e \( y=\sqrt{2} \):

\( e^{\sqrt 2}=4.113250379 \)...\( e^{\sqrt 2\ln e} \) es lo mismo.


 está usando que por definición \( y^x = e^{x \cdot \log(y)}  \).


Sí, pero, ... :( No entiendo la primera cita que hago...Bueno, la duda está solucionada, pero me queda esa espina.
No man is an island (John Donne)

19 Julio, 2021, 05:55 pm
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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Espero contestar a lo que preguntas ,cuando calcula \( y^x  \) lo que en verdad hace la calculadora o el ordenador es \( e^{x \cdot \log(y)}  \).
Ten en cuenta que si tenemos un número \( x \) y tenemos una función cualquiera \( f \) tal que \( f^{-1}(f(x)) \) está bien definido entonces:
\( x= f^{-1}(f(x))  \) en este caso:
\( y^x  \) aplico logaritmos \( x \cdot \log(y)  \) y aplico la función \( e^z  \) queda \( y^x = e^{x \cdot \log(y)}  \) , por aplicar una función y su inversa al número \( y^x \)
La función que verdaderamente tienes construida es \( g(x) = e^x  \) al poner \( y^x \) es para no tener que estár escribiendo \( e^{x \cdot \log(y)}  \).

21 Julio, 2021, 05:27 pm
Respuesta #6

Marcos Castillo

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Hola, creo que tenemos diferentes calculadoras. ¿Puede ser algo así tu teclado?

No man is an island (John Donne)

21 Julio, 2021, 05:56 pm
Respuesta #7

Juan Pablo Sancho

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No se parece mucho, pero en esa calculadora que pones tienes la tecla \( y^x \).

22 Julio, 2021, 07:23 am
Respuesta #8

Marcos Castillo

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Hola Juan Pablo Sancho

No he entendido tus mensajes. También he detectado lagunas retrotayéndome en el temario. Como voy tan atrasado en el temario, tendré que volver a matricularme de esta asignatura el próximo curso. Ahora voy a seguir leyendo. A ver.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

22 Julio, 2021, 09:22 am
Respuesta #9

feriva

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Hola Juan Pablo Sancho

No he entendido tus mensajes. También he detectado lagunas retrotayéndome en el temario. Como voy tan atrasado en el temario, tendré que volver a matricularme de esta asignatura el próximo curso. Ahora voy a seguir leyendo. A ver.

¡Un saludo!

Hola, Marcos.

Yo no creo que sea muy importante, al menos de momento, saber qué cosas piensa la calculadora.

Es cierto que \( y^{x}=e^{x\log(y)}
  \), pues hallando logaritmos a los dos lados

\( log(y^{x})=log(e^{x\log(y)})\Rightarrow
  \)

\( x\cdot log(y)=x\cdot log(y)\cdot log(e)\Rightarrow
  \)

\( x\cdot log(y)=x\cdot log(y)
  \), dado que \( log(e)=1
  \).

Lo cual es una identidad y eso quiere decir que la igualdad de partida, \( y^{x}=e^{x\log(y)}
  \), es verdadera (porque las cuentas de en medio están bien hechas; haciéndolas mal se puede llegar de una igualdad falsa a un identidad, pero si no hay errores, no puede pasar eso).

Hace años que no uso la calculadora de “mano” porque se me rompió y la otra que tengo lleva pilas de botón y nunca compro, pero creo recordar que se usaba así: primero haces la operación, por ejemplo, \( (1+\dfrac{1}{10})
  \) normalmente (con las teclas de sumar y dividir). Después das a la tecla \( y^{x}
  \) y después introduces la potencia, 10; así la calculadora arroja el valor de \( (1+\dfrac{1}{10})^{10}
  \).

En cualquier caso, tú le has metido estos dos datos mediante esa tecla: \( y=(1+\dfrac{1}{10})
  \) y \( x=10 \).

Lo que hace ella, cuando ya los tiene almacenados, parece ser que es

\( e^{x\log(y)}=e^{10\cdot log(1+\frac{1}{10})}
  \)

devolviendo el valor de esa cuenta cuyo resultado equivale, como hemos visto, a \( y^{x}=(1+\dfrac{1}{10})^{10}
  \), pues supone una identidad.

La trampa es que está usando “e” cuando tú estás hallando “e” por aproximación; en realidad es absurdo desde su punto de vista (si tuviera punto de vista) porque ella ya sabe el valor de “e”.

Para no hacer trampas, supongo, tendrías que hacer esta operación \( (1+\dfrac{1}{10})
  \) y multiplicarla por sí misma dando 10 veces a la tecla \( \times \)

Si haces pruebas, tienes que tener en cuenta que en la calculadora la tecla del logaritmo neperiano es "ln", no "log", que es para el logaritmo en base 10

Saludos.