Autor Tema: Calcular el punto crítico de una función exponencial

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10 Julio, 2021, 10:27 am
Respuesta #10

feriva

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Hola, Marcos, voy a explicarme mejor.

Según pones, llegan a

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}e^{x\mbox{ln}\; x}=e^{x\mbox{ln}\; x}\left({\mbox{ln}\; x+x\left({\dfrac{1}{x}}\right)}\right)=x^{x}(1+\mbox{ln}\; x)
  \)

Imagina que en vez de eso tienes \( lim_{x\rightarrow5}\, x^{x}(1-\dfrac{1}{x-5})
  \). Entonces. el límite del primer factor es 3125  para x exactamente igual a 5, pero el del segundo no existe para x==5.

Logaritmo de cero no existe (si se considerase, sería un número hiperreal).

Plantéate esto: ¿A qué número hay que elevar 2 (o la base que sea) para que dé cero? Si lo elevo a cero, es 1. Tengo pues que elevarlo a una potencia negativa muy grande para acercarme a cero (si haces pruebas con la calculadora, como no tiene precisión, llegará un momento en que te dé cero, pero eso no lo puedes tener en cuenta porque la calculadora no tiene precisión infinita). Y la potencia no puede ser menos infinito, porque los números reales no son infinitos en valor absoluto, no pueden tener infinitas cifras (su parte entera no puede); del mismo modo que pasa aquí \( \dfrac{1}{x-5}  \) si x se acerca infinitamente a 5, entonces el valor de la fracción se hace infinito y eso no existe en los reales.

Saludos.

10 Julio, 2021, 02:30 pm
Respuesta #11

franma

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Buenas a todos,

Recién me levanto y veo que se esta armando una buena discusión ;D.
Si nos quedamos en el contexto del libro, la función \( f(x)=x^x \) se definió con dominio \( (0,+\infty) \) luego tenemos base positiva y exponente positivo así que no tiene raíces en el dominio.

De esto concluimos que la expresión \( x^x\cdot (1+\ln(x)) \) solo será 0 cuando \( 1+\ln(x)=0 \).

Si por otro motivo queremos extender el dominio a \( [0,+\infty) \), eso ya depende de la convención que tomemos, de todos modos como dice feriva en la expresión original la derivada no puede evaluarse en 0 porque estaríamos evaluando \( \ln(0) \).

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

12 Julio, 2021, 07:31 am
Respuesta #12

Marcos Castillo

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Hola, feriva, Masacroso, franma, Luis, Rincón


Lo que nos puede servir es calcular el limite por derecha (ya que es solo para x>0) y ver que valor obtenemos.
Luego recordar que para x>0 tenemos base positiva y exponente positivo por lo que siempre será positiva.

Vamos con ello:
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{e^{x\ln(x)}}=e^{\lim_{x \to{0^+}}{x\ln(x)}}=e^{\lim_{x \to{0^+}}{\frac{\ln(x)}{1/x}}} \)

Aquí aplicamos L'hopital:

\( \displaystyle e^{\lim_{x \to{0^+}}{-x}}=1 \)

Luego no puede tener raices.


Perfecto. Pregunta del libro, resuelta


Lo que vale \( 0^0 \) depende de la convención que se tome y el contexto. Si lo que quieres es continuar la función \( f(x)=x^x \) en el cero lo puedes hacer definiendo \( f(0):= \lim_{x\to 0}f(x) \), si tal límite existe (que en este caso existe y es \( 1 \), como se ve en la gráfica). Debido a lo anterior la convención usual es definir \( 0^0:=1 \). Pero en este caso sería una función diferente a la original, ya que su dominio es distinto.


Si lo que quiero es continuar en el 0, el límite cuando \( x \) tiende a 0 por la derecha, ¿no debe ser igual al valor de la función en 0?


La pregunta es: ¿por qué nunca vale cero?. Se me ocurre que la forma de probarlo es probar la discontinuidad en ese punto; o que no esté definido:

\( x^0=1 \), y \( 0^x=0 \)

Pero estás confundiendo dos cosas distintas:

- Una cosa es que la función \( x^x \) no esté definida para \( x=0 \).

- Otra cosa distinta es que la función \( f(x)=x^x \) con \( x>0 \) nunca tome el valor \( 0 \), es decir, no exista un \( a>0 \) tal que \( a^a=0 \). Esto es consecuencia directa de la definición:

\(  a^a=e^{a\cdot ln(a)} \)

 y de las propiedades/definición de la exponencial sabes que esta nunca sea anula.


¿Puedes explicarme un poco más este error de conceptos que estoy teniendo?

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

12 Julio, 2021, 08:20 am
Respuesta #13

Masacroso

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Lo que vale \( 0^0 \) depende de la convención que se tome y el contexto. Si lo que quieres es continuar la función \( f(x)=x^x \) en el cero lo puedes hacer definiendo \( f(0):= \lim_{x\to 0}f(x) \), si tal límite existe (que en este caso existe y es \( 1 \), como se ve en la gráfica). Debido a lo anterior la convención usual es definir \( 0^0:=1 \). Pero en este caso sería una función diferente a la original, ya que su dominio es distinto.


Si lo que quiero es continuar en el 0, el límite cuando \( x \) tiende a 0 por la derecha, ¿no debe ser igual al valor de la función en 0?

En el ejercicio te dan una función definida por la expresión \( f(x):= x^x \), y tenemos también que \( x^x:=e^{x\ln x} \), expresión que sólo está bien definida para valores de \( x \) positivos, para otros valores no está definida porque la función logaritmo no está definida para valores que no sean positivos. Entonces, desde este punto de vista, el dominio natural de \( f \) sería \( (0,\infty ) \), que es donde está bien definida la expresión \( x^x \).

Ahora bien, tú si quieres puedes definir otra función \( g:[0,\infty )\to \mathbb{R} \) tal que

\( \displaystyle{
g(x):=\begin{cases}
f(x),&\text{ si }x\in(0,\infty )\\
1,& \text{ si }x=0
\end{cases}
} \)

donde se asume la convención \( 0^0:= 1 \). Que tomes \( f \) o que tomes \( g \) para hacer el ejercicio depende de las convenciones que quieras suponer o utilizar. En cualquier caso, tomes la función \( f \) o la función \( g \), el resultado será el mismo para este ejercicio.

12 Julio, 2021, 09:15 am
Respuesta #14

Marcos Castillo

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Rincón, otro escollo salvado. ¡Sigo adelante!

¡Un saludo!

No man is an island (John Donne)

12 Julio, 2021, 09:31 am
Respuesta #15

Luis Fuentes

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Hola

Pero estás confundiendo dos cosas distintas:

- Una cosa es que la función \( x^x \) no esté definida para \( x=0 \).

- Otra cosa distinta es que la función \( f(x)=x^x \) con \( x>0 \) nunca tome el valor \( 0 \), es decir, no exista un \( a>0 \) tal que \( a^a=0 \). Esto es consecuencia directa de la definición:

\(  a^a=e^{a\cdot ln(a)} \)

 y de las propiedades/definición de la exponencial sabes que esta nunca sea anula.


¿Puedes explicarme un poco más este error de conceptos que estoy teniendo?

¿Pero exactamente qué duda tienes al respecto?.

Saludos.

12 Julio, 2021, 10:12 am
Respuesta #16

Marcos Castillo

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¿Pero exactamente qué duda tienes al respecto?.


La respuesta de Masacroso lo ha dejado todo claro


Pero estás confundiendo dos cosas distintas:

- Una cosa es que la función \( x^x \) no esté definida para \( x=0 \).

- Otra cosa distinta es que la función \( f(x)=x^x \) con \( x>0 \) nunca tome el valor \( 0 \), es decir, no exista un \( a>0 \) tal que \( a^a=0 \). Esto es consecuencia directa de la definición:

\(  a^a=e^{a\cdot ln(a)} \)

 y de las propiedades/definición de la exponencial sabes que esta nunca sea anula.


Estaba más despistado que despistado; me hacías notar que  una duda mía era acerca del dominio de \( x^x \); y otra  era una duda acerca de su imagen
No man is an island (John Donne)